高等数学第二章极限与连续

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1、第 二 章极极 限限 与与 连连 续续1 数列的极限数列的极限2 函数的极限函数的极限3 无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量4 极限的运算法则极限的运算法则5 极限存在准则和两个重要极限极限存在准则和两个重要极限6 函数的连续性函数的连续性基本要求基本要求1 1、了解了解数列的概念及性质数列的概念及性质; ;2 2、了解了解数列极限与函数极限的概念及几何意义数列极限与函数极限的概念及几何意义; ;2 2、掌握掌握极限的性质及四则运算法则极限的性质及四则运算法则; ;3 3、掌握掌握极限存在准则，并会利用它们求极限极限存在准则，并会利用它们求极限; ;4 4、掌握掌握利用重要极限求极限的方法利

2、用重要极限求极限的方法; ;5 5、理解理解无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量的概念的概念; ;6 6、了解了解函数的连续性概念函数的连续性概念, ,会判别函数的连续性会判别函数的连续性; ;7 7、掌握闭区间上掌握闭区间上连续函数的性质连续函数的性质. .1 数列的极限数列的极限1.1 数列的概念数列的概念定义定义1 无穷多个按照一定顺序排列的数无穷多个按照一定顺序排列的数数列中的每一个数称为数列中的每一个数称为几个数列的例子：几个数列的例子： 通项通项(1)(2)数列的项数列的项,第第n n项项称为数列的称为数列的通项通项或或一般项一般项. 称为称为数列数列,简记为简记为,(3)(5)(

3、4)它依次取数轴上的点它依次取数轴上的点上的函数上的函数: 数列数列可看作定义域为正整数集可看作定义域为正整数集在几何上在几何上, 数列数列可看作数轴上的一个动点可看作数轴上的一个动点,数列的简单性质数列的简单性质如果数列如果数列 满足满足那么称数列为那么称数列为单调递增单调递增数列；数列；一、单调性一、单调性单调递增和单调递减数列统称为单调递增和单调递减数列统称为单调数列单调数列. 那么称数列为那么称数列为单调递减单调递减数列数列.如果数列如果数列满足满足二、有界性二、有界性 如果存在如果存在M0,对于任何正整数对于任何正整数n ，恒有，恒有那么称数列那么称数列 如果数列所有的项都不超过某一

4、个常数，即如果数列所有的项都不超过某一个常数，即 如果数列所有的项都不小于某一常数，即如果数列所有的项都不小于某一常数，即 为有为有上界上界的的; , ,那么称数列那么称数列, ,那么称数列那么称数列为有为有下界下界的的.为为有界有界的；否则称为的；否则称为无界无界的的. .1.3 数列的极限数列的极限n = 1 xn = 2 221334443556一、一、 数列极限的定义数列极限的定义研究一个数列研究一个数列,主要研究当主要研究当n n无限增大时无限增大时的变化趋势的变化趋势 .(用记号用记号来表示来表示)，对应的对应的由观察可知由观察可知 如果数列没有极限如果数列没有极限,就称该数列是就

5、称该数列是发散发散的的. 时时收敛收敛于于a, 观观察前面所举数列的例子察前面所举数列的例子, 不难看出：不难看出： 无限地趋近于某一个常数无限地趋近于某一个常数a ，就称数列，就称数列，如果当，如果当对数列对数列当当记作记作描述性描述性: :定义定义1 1例如上面的数列有例如上面的数列有 = 1 趋势不定收 敛发 散例如例如, ,例：求下列数列的极限例：求下列数列的极限 解解(1)原式原式 = = 1(2)原式原式 = 5.(5 + ) 3 n2(1)(2)极限的定义极限的定义. .下面用精确的、定量化的数学语言来给出数列下面用精确的、定量化的数学语言来给出数列我们用我们用来表示来表示x与与

6、a的的 接近程度接近程度,用用 来表示来表示n n无限增大无限增大 .先说明在数学上如先说明在数学上如何刻划何刻划“无限接近无限接近”与“无限增大无限增大” ：( (不论它多么不论它多么定义定义如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数e e小小),),存在正数存在正数N,N,不等式不等式都成立都成立, ,那末就称常数那末就称常数a是数列是数列的极限的极限, ,记为记为如果数列没有极限如果数列没有极限,就说数列是发散的就说数列是发散的. 或或上述定义称为上述定义称为定义定义.或者称数列或者称数列收敛于收敛于a,nx使得对于使得对于时的一切时的一切,例例1 用数列极限的定义证明用数列极限的定义

7、证明证证 记记要使要使只要只要 从而可取正整数从而可取正整数由极限的定义得由极限的定义得 则当则当时时,恒有恒有几何解释几何解释.),(,内内都落在都落在所有的点所有的点时时当当aaxNnne ee e+ +- - 面的点只有有限个面的点只有有限个(至多只有至多只有N个个). 而在这区间外而在这区间外设设其几何意义为其几何意义为:即落在点即落在点的的邻域邻域内，内，1.4 收敛数列的性质收敛数列的性质 1.唯一性唯一性2.有界性有界性由定理由定理2 2可得无界数列必定发散可得无界数列必定发散. . 注意有界性是数列收敛的注意有界性是数列收敛的必要条件必要条件,非充分条件非充分条件.有界，但由定

8、义知它不收敛。有界，但由定义知它不收敛。 如数列如数列定理定理1 1 若数列若数列收敛收敛, ,则它的极限唯一则它的极限唯一. .定理定理2 若数列若数列收敛，则数列必有界。收敛，则数列必有界。2 函数的极限函数的极限2.1 自变量趋于无穷大时自变量趋于无穷大时,函数函数 f (x) 的极限的极限 趋趋于于无无穷穷大大，实实际际上上包包括括三三种种情情形形： 取取正正值值无无限限增增大大； 取取负负值值而而 无无限限增增大大; 既既可可取取正值正值,也可取负值也可取负值,而而 无限增大无限增大. (1) x 时时,函数函数 f (x) 的极限的极限 例：观察例：观察当当 x绝对值绝对值 无限增

9、大时，容易看出，无限增大时，容易看出， f (x) 无限接近于定数无限接近于定数 0 . 定义定义1设函数设函数为某个常数为某个常数)时有定义时有定义，当当如果当如果当 的绝对值无限增大时，对应的函数值的绝对值无限增大时，对应的函数值 无限地无限地趋向于某一个常数趋向于某一个常数A，那么我们就称，那么我们就称A为当为当函数函数的极限，记作的极限，记作或或例如例如0.或或正无穷大时函数正无穷大时函数f(x) 的极限，记作的极限，记作趋向于某一个常数趋向于某一个常数A，那么我们就称，那么我们就称A为当为当x趋向于趋向于 如果当如果当时时,对应的函数值对应的函数值f(x) 无限地无限地(2)自变量自

10、变量 x + 时时,函数函数 f (x) 的极限的描述：的极限的描述：例如例如,由函数由函数的图形可见的图形可见,即即 时时,当当常数常数或记作或记作无限地趋向于无限地趋向于对对 ,在直线在直线 的上、下方各作一的上、下方各作一直线直线与与,则总存在一个正数则总存在一个正数 , 使得在区间使得在区间 内内,函数函数 的图形的图形 完全位于完全位于这两条直线之间这两条直线之间. .XAA-几何意义几何意义：(3)对于自变量无限减小时函数的变化趋势，讨论类似对于自变量无限减小时函数的变化趋势，讨论类似. .例如例如,由图可见由图可见 y = 2x= 0= 例例自变量趋于有限值时函数的极限自变量趋于

11、有限值时函数的极限 下面讨论当自变量下面讨论当自变量 趋于有限值趋于有限值 时，时，x对应的对应的 无限接近于某一个常数无限接近于某一个常数A的情形的情形 。考察函数考察函数 当当时的变化趋势。如图所示时的变化趋势。如图所示：何种方式趋于何种方式趋于2,相应的函数值相应的函数值 时我们称当时我们称当 时时, 函数函数 以以2为极限为极限, 记作记作当当 在实数轴上不论以在实数轴上不论以与与2无限接近无限接近,这这或或0-1-2-324-4-1-2-3123定义定义3 设函数在点设函数在点 的某个去心邻域有定义，如果当的某个去心邻域有定义，如果当无限接近于无限接近于（但（但 ）, ,时时地趋向于

12、某一个常数地趋向于某一个常数A，那么我们就称，那么我们就称A为当为当对应的函数值对应的函数值无限无限的极限，记作的极限，记作时时或或无限接近于常数无限接近于常数A.(不论多么小不论多么小), 表示表示一般地一般地,用用表示表示(即即与与的接近程度的接近程度下面给出函数极限的下面给出函数极限的定义：定义：时，时，定义定义,若对若对, 0, 0 d d$ $ e e 使当使当则称函数则称函数 当当 时以时以A为极限为极限,记作记作 或或设函数设函数定义定义4的某一去心邻域有的某一去心邻域有在点在点恒有恒有作一直线作一直线与与得一带形区域得一带形区域 ,则总可以则总可以内函数的图形内函数的图形完全位

13、于这两条直线之间。完全位于这两条直线之间。函数函数时以时以A为极限的为极限的几何解释几何解释:当当与与使得在区间使得在区间找到相应的的一个正数找到相应的的一个正数,对任意给定的对任意给定的的上、下方各的上、下方各,在直线在直线例：求极限例：求极限 解：解：当自变量当自变量 x 从从 x0 的右侧趋近于的右侧趋近于 x0 时，函数时，函数 f (x) 无限趋近无限趋近常数常数 A，则称，则称 A 为为 x x0 时函数时函数 f (x) 的右极限。记为：的右极限。记为：或或 f ( x0 0 ) = A 或 f ( x0 + 0 ) = A 2.3 单侧极限单侧极限 当自变量当自变量 x 从从

14、x0 的左侧趋近于的左侧趋近于 x0 时，函数时，函数 f (x) 无限趋近常无限趋近常数数 A，则称，则称 A 为为 x x0 时函数时函数 f (x) 的左极限。记为：的左极限。记为：左、右极限统称为左、右极限统称为单侧极限单侧极限。 定理定理1： f (x) 在在 x x0 时的极限存在的充要条件是时的极限存在的充要条件是 左、右极限都存在且相等。即左、右极限都存在且相等。即例：函数例：函数 不存在。不存在。 例例3 求函数求函数 时的左极限和右极限时的左极限和右极限,并证明并证明 当当不存在不存在.由于由于所以所以不存在。不存在。解当解当11-1-10同理同理例：讨论例：讨论 在在 x

15、 = 0 处的极限情况。处的极限情况。 解：当解：当 x 0时，时， f（x）= 1， 当当 x 0 时，时， f（x） = 1. f（0 0）= 1， f（0 + 0）= 1故故 f（x）在）在 x = 0 处的极限不存在。处的极限不存在。1.唯一性唯一性函数极限的性质函数极限的性质定理定理2 若若存在，则此极限值唯一。存在，则此极限值唯一。2.局部有界性局部有界性存在，则存在，则定理定理3 若若在在的某个去的某个去3.局部保号性局部保号性定理定理3 若若则则,使得对于使得对于内的一切内的一切，有，有内有界。内有界。心邻域心邻域3 无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量例：例： 当当 x 时，

16、时， 是无穷小量是无穷小量； 当当 x 时，时，e x 是无穷小量是无穷小量 ； 当当 x 0 时，时，sin x 是无穷小量是无穷小量； 当当 x 1 时，时，x 2 1 是无穷小量是无穷小量。 3.1 无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量 时的无穷小量时的无穷小量,简称为无穷小。简称为无穷小。定义定义1 如果如果那么函数那么函数称为当称为当即即 以零为极限的变量以零为极限的变量,称之为称之为无穷小无穷小. (1)无穷小量的定义无穷小量的定义注注1：无穷小量是就自变量的变化过程而言的。：无穷小量是就自变量的变化过程而言的。 它不是一个很小很小的数，而是极限为它不是一个很小很小的数，而是极限为

17、 0 的变量。的变量。注注2：数：数 0 是无穷小量。是无穷小量。 定理：定理：lim f (x) = A 的充分必要条件是函数的充分必要条件是函数 f (x) 可以表示可以表示为常数为常数 A 与无穷小量与无穷小量 之和之和.即有即有 f (x) = A + . lim f (x) = A (2)无穷小与函数极限之间的关系无穷小与函数极限之间的关系为当为当时的无穷小量时的无穷小量。(3) 无穷大量的定义无穷大量的定义 注：无穷大量是就自变量的变化过程而言的。注：无穷大量是就自变量的变化过程而言的。 它不是一个很大很大的数，而是极限为它不是一个很大很大的数，而是极限为 的变量的变量。 在自变量

18、的某一变化趋势下，若函数在自变量的某一变化趋势下，若函数 f (x) 的绝对值无的绝对值无 限地增大，则称限地增大，则称 f (x) 为无穷大量。记为为无穷大量。记为 lim f (x) = 或或 f (x) .= = 2例例在自变量的同一变化趋势下，无穷大量的倒数是无穷小量；在自变量的同一变化趋势下，无穷大量的倒数是无穷小量； 无穷小量（无穷小量（0）的倒数是无穷大量。）的倒数是无穷大量。(4) 无穷大量与无穷小量的关系无穷大量与无穷小量的关系 3.2 无穷小量的运算性质无穷小量的运算性质 推论推论 (1) 常数与无穷小量的积仍为无穷小量。常数与无穷小量的积仍为无穷小量。 (2) 有限个无穷

19、小量的积仍为无穷小量。有限个无穷小量的积仍为无穷小量。解：解： 当当 x 0 时，时，x 是无穷小量；是无穷小量； 定理定理3 有限个无穷小的代数和仍是无穷小有限个无穷小的代数和仍是无穷小.定理定理4 有界变量与无穷小的乘积是无穷小。有界变量与无穷小的乘积是无穷小。例例 求求.是有界变量，是有界变量， 当当 x0时，时，无穷小的比较无穷小的比较 为为了了比比较较两两个个无无穷穷小小趋趋向向于于零零的的“快快慢慢”,我们引入无穷小我们引入无穷小阶阶的概念的概念: 定义定义3 设设 和和 是是 时的无穷小时的无穷小,且且(2)如果如果 ,那么称那么称 是比是比 低阶低阶的无穷小；的无穷小；(1)

20、如果如果 ,那么称那么称 是比是比 高高阶阶的无穷小；记作的无穷小；记作(3)如果如果 ,那么称那么称 与与 为为同同阶阶无穷小；无穷小；(4)如果如果 ,那么称那么称 与与 是是等价等价无无穷小。记作穷小。记作将定义将定义3 3中的中的 换成其他形式的极限过程可换成其他形式的极限过程可得到类似的定义。得到类似的定义。例如例如, ,所以当所以当高阶的无穷小高阶的无穷小;时，时， 是比是比所以当所以当时时,是比是比 低阶的无穷小低阶的无穷小.，当，当时，时，关于等价无穷小的关于等价无穷小的替换性质替换性质:定理定理5 5 在某过程中在某过程中,设设 且且存在，则存在，则所以当所以当为同阶无穷小为同阶无穷小;与与时时,例例3求求从而有从而有 解当解当时，时，1.(2)(3)(5)(6)(8);2. (1)(4)(5)(6) (8)3.(2)(4);4.P48 一、极限一、极限作业作业