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1、第七章立体几何第七章立体几何第六节空间向量及其运算第六节空间向量及其运算(理理)考纲要求考情分析1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定量及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.1.从考查内容看，对本考点的考查以空间向量的运算为主，特别是数量积的运算及其应用，更是考查的热点. 2.从考查题型看，若对空间向量单独考查，则以选择题，填空题的形式出现若作为解题的工具，则出现在解答题中，且与线面关系、求角、求距离等问题结合在一起考查，属中档题.一、空间向量的有关概念名称定义空
2、间向量在空间中，具有 和 的量叫做空间向量，其大小叫做向量的 或_单位向量长度或模为 的向量零向量 的向量相等向量方向 且模 的向量相反向量 相反且 相等的向量共线向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线 或 ，则称这些向量叫做共线向量或 ，a平行于b记作_共面向量平行于同一 的向量叫做共面向量大小方向长度模1模为0相同相等方向模互相平行重合平行向量ab平面二、空间向量中的有关定理ab 不共线 pxayb 不共面 pxaybzc 基底 基向量 设不共线向量，a与b确定平面为，若存在惟一的有序实数对，使cab，则表示c的有向线段与的关系是怎样的？提示：可能与平行，也可能在内2空间向量的数乘实数与
3、空间向量a的乘积 仍然是一个向量，称为 当0时，a与a方向 ；当0时，a与a方向 ；a的长度是a的长度的|倍a数乘相同相反AOB 0， 垂直 ab 同向 反向 |a|b|cosa，b ab ab|a|b|cosa，b ab0 aa |a|2 3空间向量数量积的运算律(1)结合律：(a)b ；(2)交换律：ab ；(3)分配律：a(bc) a(b)(R)baabac五、空间向量的坐标运算1a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)解析：由向量加法知正确；当ab时，a与b所在直线平行或重合，故是错误的；很明显是正确的；根据向量与平面平行的定义知，是错误的答案：B答案：D【考向探寻】1空间向量的
4、加法、减法与数乘运算2空间向量基本定理及向量的分解3空间向量线性运算的坐标表示【典例剖析】(1)画出图形，结合三角形法则或平行四边形法则求解(2)根据向量坐标运算的法则求解(3)将所表示的向量放入三角形或多边形中利用向量的线性运算法则求解答案：A(2)解析：2a3b2(3，5，4)3(2，1，8)(6，10，8)(6，3，24)(12，13，16)答案：(12，13，16) (1)用已知向量表示未知向量时，一定要结合图形进行，以图形为指导是解题的关键(2)首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们把这个法则称为向量加法的多边形法则向量加法的三角形法则、平行四边形
5、法则在空间中仍然成立(3)空间向量的坐标运算类似于平面向量.【考向探寻】1证明点共线、点共面2向量共线、共面中的参数问题【典例剖析】答案：CFGEH且FGEH，四边形EFGH为平行四边形，E，F，G，H四点共面【活学活用】1如图所示，已知ABCD是平行四边形，P点是ABCD所在平面外一点，连接PA、PB、PC、PD.设点E、F、G、H分别为PAB、PBC、PCD、PDA的重心试判断平面EFGH与平面ABCD的位置关系，并用向量方法证明你的判断 【考向探寻】1空间向量数量积的计算；2利用数量积解决垂直、夹角、长度问题【典例剖析】 (1)已知向量a(1，1，0)，b(1，0，2)，且kab与2ab
6、互相垂直，则k_ (1)用数量积解决问题时的方法应用数量积解决问题时一般有两种方法：一是取空间向量的一组基底，一般来讲该基底最好已知相互之间的夹角及各向量的模；二是建立空间直角坐标系利用坐标系运算来解决后者更为简捷(2)应用类型证明线与线平行问题，可转化为证明向量共线问题证明线与线垂直问题，可转化为向量的垂直问题，进而利用数量积解决求线段长度问题，可转化为求向量的模或用两点间距离公式求解【活学活用】2如图所示，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，MAC，NC1D，且MNAC，MNC1D，试求MN的长 已知空间四边形ABCD中，ABCD，ACBD，判断AD与BC的位置关系向量运算不满足消去律，即由abbc推不出ac，而上面解法中却用了这一错误结论，因而导致解题错误向量的数量积满足交换律和结合律，即abba，(a)b(ab)a(b)，但不满足消去律，即由abbc得到ac是不正确的；同时(ab)ca(bc)也是不成立的
