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1、1第十一章马尔柯夫预测法第十一章马尔柯夫预测法2 本章学习要点：本章学习要点： 本章重点是要掌握马尔柯夫预测的原本章重点是要掌握马尔柯夫预测的原理与方法，并能应用此方法进行市场占有理与方法，并能应用此方法进行市场占有率的预测和期望利润的预测。率的预测和期望利润的预测。311.1 11.1 基本概念基本概念 一、状态和状态转移一、状态和状态转移n n状态是指客观事物可能出现或存在的状况。状态是指客观事物可能出现或存在的状况。状态是指客观事物可能出现或存在的状况。状态是指客观事物可能出现或存在的状况。 如企业的产品在市场上可能畅销，也可能滞销。如企业的产品在市场上可能畅销，也可能滞销。如企业的产品
2、在市场上可能畅销，也可能滞销。如企业的产品在市场上可能畅销，也可能滞销。n n状态转移是指客观事物由一种状态到另一种状态的变状态转移是指客观事物由一种状态到另一种状态的变状态转移是指客观事物由一种状态到另一种状态的变状态转移是指客观事物由一种状态到另一种状态的变化。化。化。化。 客观事物的状态不是固定不变的，它可能处于这种状态，也客观事物的状态不是固定不变的，它可能处于这种状态，也客观事物的状态不是固定不变的，它可能处于这种状态，也客观事物的状态不是固定不变的，它可能处于这种状态，也可能处于那种状态，往往条件变化，状态也会发生变化。如某可能处于那种状态，往往条件变化，状态也会发生变化。如某可能
3、处于那种状态，往往条件变化，状态也会发生变化。如某可能处于那种状态，往往条件变化，状态也会发生变化。如某种产品在市场上本来是滞销的，但是由于销售渠道变化了，或种产品在市场上本来是滞销的，但是由于销售渠道变化了，或种产品在市场上本来是滞销的，但是由于销售渠道变化了，或种产品在市场上本来是滞销的，但是由于销售渠道变化了，或者消费心理发生了变化等，它便可能变为畅销产品。者消费心理发生了变化等，它便可能变为畅销产品。者消费心理发生了变化等，它便可能变为畅销产品。者消费心理发生了变化等，它便可能变为畅销产品。4 二、马尔柯夫链二、马尔柯夫链 设预测对象为一系统，若该系统在某一时刻可能设预测对象为一系统，
4、若该系统在某一时刻可能设预测对象为一系统，若该系统在某一时刻可能设预测对象为一系统，若该系统在某一时刻可能出现的状态为出现的状态为出现的状态为出现的状态为E E E Ei i i i，而该系统从状态，而该系统从状态，而该系统从状态，而该系统从状态E E E Ei i i i变化到另一状态变化到另一状态变化到另一状态变化到另一状态E E E Ej j j j的状态转移过程称为马尔柯夫过程。一个马尔柯夫的状态转移过程称为马尔柯夫过程。一个马尔柯夫的状态转移过程称为马尔柯夫过程。一个马尔柯夫的状态转移过程称为马尔柯夫过程。一个马尔柯夫过程若具有如下的两个特征，则称其为马尔柯夫链。过程若具有如下的两个
5、特征，则称其为马尔柯夫链。过程若具有如下的两个特征，则称其为马尔柯夫链。过程若具有如下的两个特征，则称其为马尔柯夫链。n n一是具有无后效性。即系统的第一是具有无后效性。即系统的第一是具有无后效性。即系统的第一是具有无后效性。即系统的第n n n n次试验结果出现的次试验结果出现的次试验结果出现的次试验结果出现的状态，只于第状态，只于第状态，只于第状态，只于第n-1n-1n-1n-1次时所处的状态有关，与它以前所次时所处的状态有关，与它以前所次时所处的状态有关，与它以前所次时所处的状态有关，与它以前所处的状态无关；处的状态无关；处的状态无关；处的状态无关；n n二是具有稳定性。即在较长时间下，
6、该过程逐渐趋于二是具有稳定性。即在较长时间下，该过程逐渐趋于二是具有稳定性。即在较长时间下，该过程逐渐趋于二是具有稳定性。即在较长时间下，该过程逐渐趋于稳定状态，而与初始状态无关。稳定状态，而与初始状态无关。稳定状态，而与初始状态无关。稳定状态，而与初始状态无关。 5 三、概率向量三、概率向量 在一行向量中，如果每一元素都为非负，且其和在一行向量中，如果每一元素都为非负，且其和在一行向量中，如果每一元素都为非负，且其和在一行向量中，如果每一元素都为非负，且其和等于等于等于等于1 1 1 1，则称该向量为概率向量。如：，则称该向量为概率向量。如：，则称该向量为概率向量。如：，则称该向量为概率向量
7、。如：A=A=A=A=（0.3 0.5 0.3 0.5 0.3 0.5 0.3 0.5 0.20.20.20.2） 四、概率矩阵四、概率矩阵 由概率向量构成的矩阵称为概率矩阵。由概率向量构成的矩阵称为概率矩阵。由概率向量构成的矩阵称为概率矩阵。由概率向量构成的矩阵称为概率矩阵。 概率矩阵有下列性质：概率矩阵有下列性质：概率矩阵有下列性质：概率矩阵有下列性质：n n若若若若A A、B B都是概率矩阵，则都是概率矩阵，则都是概率矩阵，则都是概率矩阵，则AB AB 也是概率矩阵；也是概率矩阵；也是概率矩阵；也是概率矩阵；n n若若若若A A是概率矩阵，则是概率矩阵，则是概率矩阵，则是概率矩阵，则A
8、An n也是概率矩阵。也是概率矩阵。也是概率矩阵。也是概率矩阵。 6 五、转移矩阵五、转移矩阵 系统由状态系统由状态系统由状态系统由状态E E E Ei i i i经过一次转移到状态经过一次转移到状态经过一次转移到状态经过一次转移到状态E E E Ej j j j的概率为的概率为的概率为的概率为p p p pijijijij，则系统全部一次转移概率的集合所组成的矩阵称，则系统全部一次转移概率的集合所组成的矩阵称，则系统全部一次转移概率的集合所组成的矩阵称，则系统全部一次转移概率的集合所组成的矩阵称为一次转移矩阵，记为：为一次转移矩阵，记为：为一次转移矩阵，记为：为一次转移矩阵，记为： K K
9、K K次转移矩阵记为次转移矩阵记为次转移矩阵记为次转移矩阵记为P P P P（k k k k） 转移矩阵具有以下两个性质：转移矩阵具有以下两个性质：转移矩阵具有以下两个性质：转移矩阵具有以下两个性质：711.2 11.2 马尔柯夫预测马尔柯夫预测 一、马尔柯夫预测模型一、马尔柯夫预测模型 设系统在设系统在设系统在设系统在K=0K=0K=0K=0时所处的初始状态为已知，即初始状态向时所处的初始状态为已知，即初始状态向时所处的初始状态为已知，即初始状态向时所处的初始状态为已知，即初始状态向量量量量 为已知为已知为已知为已知 经过经过经过经过K K K K次转移后所处的状态向量记为：次转移后所处的状
10、态向量记为：次转移后所处的状态向量记为：次转移后所处的状态向量记为： 则：则：则：则： 8 马尔柯夫预测模型马尔柯夫预测模型n n矩阵形式为：矩阵形式为：矩阵形式为：矩阵形式为： 9 二、稳定状态二、稳定状态n n当系统处于稳定状态时，有当系统处于稳定状态时，有当系统处于稳定状态时，有当系统处于稳定状态时，有 ，即系统第，即系统第，即系统第，即系统第n n n n期的状态概率与第期的状态概率与第期的状态概率与第期的状态概率与第n-1n-1n-1n-1期的状态概率相等，且有期的状态概率相等，且有期的状态概率相等，且有期的状态概率相等，且有 n n由马尔柯夫预测模型知：由马尔柯夫预测模型知：由马尔
11、柯夫预测模型知：由马尔柯夫预测模型知：n n所以有：所以有：所以有：所以有： 10n n矩阵形式：矩阵形式：矩阵形式：矩阵形式： n n展开得：展开得：展开得：展开得：n n约束条件：约束条件：约束条件：约束条件： 11n n整理可得方程组：整理可得方程组：整理可得方程组：整理可得方程组： n n矩阵形式：矩阵形式：矩阵形式：矩阵形式：n n记记记记12n n所以：所以：所以：所以： n n用用用用 的逆矩阵的逆矩阵的逆矩阵的逆矩阵 左乘上式，得：左乘上式，得：左乘上式，得：左乘上式，得：n n这就是所求的稳定状态的概率。这就是所求的稳定状态的概率。这就是所求的稳定状态的概率。这就是所求的稳定
12、状态的概率。1311.3 11.3 市场占有率预测市场占有率预测例例例例: : : :设某地区有甲、乙、丙三家企业，生产同一种产品，设某地区有甲、乙、丙三家企业，生产同一种产品，设某地区有甲、乙、丙三家企业，生产同一种产品，设某地区有甲、乙、丙三家企业，生产同一种产品，共同供应共同供应共同供应共同供应1000100010001000家用户。假定在家用户。假定在家用户。假定在家用户。假定在10101010月末经过市场调查得月末经过市场调查得月末经过市场调查得月末经过市场调查得知，甲、乙、丙三家企业拥有的用户分别是：知，甲、乙、丙三家企业拥有的用户分别是：知，甲、乙、丙三家企业拥有的用户分别是：知
13、，甲、乙、丙三家企业拥有的用户分别是：250250250250，300300300300，450450450450户，而户，而户，而户，而11111111月份用户可能的流动情况如下：月份用户可能的流动情况如下：月份用户可能的流动情况如下：月份用户可能的流动情况如下： 现要求我们根据这些市场调查资料预测现要求我们根据这些市场调查资料预测现要求我们根据这些市场调查资料预测现要求我们根据这些市场调查资料预测11111111、12121212两个两个两个两个月三家企业市场用户各自的拥有量。月三家企业市场用户各自的拥有量。月三家企业市场用户各自的拥有量。月三家企业市场用户各自的拥有量。 到 从甲乙丙合计
14、甲乙丙23010102503004502025030301041014预测步骤：预测步骤：n n根据调查资料，确定初始状态概率向量为：根据调查资料，确定初始状态概率向量为：根据调查资料，确定初始状态概率向量为：根据调查资料，确定初始状态概率向量为：n n根据市场调查情况，确定一次转移概率矩阵为：根据市场调查情况，确定一次转移概率矩阵为：根据市场调查情况，确定一次转移概率矩阵为：根据市场调查情况，确定一次转移概率矩阵为：15步骤步骤n n利用马尔柯夫预测模型进行预测，利用马尔柯夫预测模型进行预测，利用马尔柯夫预测模型进行预测，利用马尔柯夫预测模型进行预测，11111111月份三个企业市月份三个企
15、业市月份三个企业市月份三个企业市场占有率为：场占有率为：场占有率为：场占有率为： 16n n所以所以所以所以11111111月份三个企业市场用户拥有量分别为：月份三个企业市场用户拥有量分别为：月份三个企业市场用户拥有量分别为：月份三个企业市场用户拥有量分别为： 甲：甲：甲：甲：10000.28 = 280 10000.28 = 280 10000.28 = 280 10000.28 = 280 户户户户 乙：乙：乙：乙：10000.27 = 270 10000.27 = 270 10000.27 = 270 10000.27 = 270 户户户户 丙：丙：丙：丙：10000.45 = 450
16、10000.45 = 450 10000.45 = 450 10000.45 = 450 户户户户n n若若若若12121212月份用户的流动情况与月份用户的流动情况与月份用户的流动情况与月份用户的流动情况与11111111月份相同，即转移概率月份相同，即转移概率月份相同，即转移概率月份相同，即转移概率矩阵不变，则矩阵不变，则矩阵不变，则矩阵不变，则12121212月份三个企业市场占有率为：月份三个企业市场占有率为：月份三个企业市场占有率为：月份三个企业市场占有率为： 17n n12121212月份三个企业市场用户拥有量分别为：月份三个企业市场用户拥有量分别为：月份三个企业市场用户拥有量分别为
17、：月份三个企业市场用户拥有量分别为： 甲：甲：甲：甲：10000.306 = 306 10000.306 = 306 10000.306 = 306 10000.306 = 306 户户户户 乙：乙：乙：乙：10000.246 = 246 10000.246 = 246 10000.246 = 246 10000.246 = 246 户户户户 丙：丙：丙：丙：10000.448 = 448 10000.448 = 448 10000.448 = 448 10000.448 = 448 户户户户18稳定状态概率为：稳定状态概率为： 19例题：例题：n n某地区销售某地区销售某地区销售某地区销售A
18、 A A A、B B B B、C C C C三种牌号的味精，经调查在三种牌号的味精，经调查在三种牌号的味精，经调查在三种牌号的味精，经调查在1000100010001000个个个个顾客中有顾客中有顾客中有顾客中有400400400400个顾客购买个顾客购买个顾客购买个顾客购买A A A A牌号味精，有牌号味精，有牌号味精，有牌号味精，有300300300300个顾客购买个顾客购买个顾客购买个顾客购买B B B B牌号味精，有牌号味精，有牌号味精，有牌号味精，有300300300300个顾客购买个顾客购买个顾客购买个顾客购买C C C C牌号味精。顾客购买味牌号味精。顾客购买味牌号味精。顾客购买
19、味牌号味精。顾客购买味精的流动情况如下表：精的流动情况如下表：精的流动情况如下表：精的流动情况如下表： 次数下 期 状 态合计ABC本期状态A160120120400B1809030300C180309030020初始状态为：初始状态为：初始状态为：初始状态为：转移概率矩阵：转移概率矩阵：转移概率矩阵：转移概率矩阵： 21 本月的状态：本月的状态：本月的状态：本月的状态： 即本月即本月即本月即本月A A A A牌号味精的市场占有率为牌号味精的市场占有率为牌号味精的市场占有率为牌号味精的市场占有率为0.520.520.520.52，B B B B牌号味精牌号味精牌号味精牌号味精的市场占有率为的市
20、场占有率为的市场占有率为的市场占有率为0.240.240.240.24，C C C C牌号味精的市场占有率为牌号味精的市场占有率为牌号味精的市场占有率为牌号味精的市场占有率为0.240.240.240.24。 22 同理也可以预测第三个月的市场占有率：同理也可以预测第三个月的市场占有率：同理也可以预测第三个月的市场占有率：同理也可以预测第三个月的市场占有率： 即第三个月这三种牌号味精的市场占有率分别为即第三个月这三种牌号味精的市场占有率分别为即第三个月这三种牌号味精的市场占有率分别为即第三个月这三种牌号味精的市场占有率分别为50.08%50.08%50.08%50.08%，24.96%24.9
21、6%24.96%24.96%，24.96%24.96%24.96%24.96%。 23 稳定状态：稳定状态：稳定状态：稳定状态： 即达到市场平衡状态时，即达到市场平衡状态时，即达到市场平衡状态时，即达到市场平衡状态时，A A A A牌的市场占有率为牌的市场占有率为牌的市场占有率为牌的市场占有率为50%50%50%50%，B B B B牌的市场占有率为牌的市场占有率为牌的市场占有率为牌的市场占有率为25%25%25%25%，C C C C牌的市场占有率也是牌的市场占有率也是牌的市场占有率也是牌的市场占有率也是25%25%25%25%。 24例题：例题： 某半导体收音机厂晶体管袖珍收音机销售情况如
22、下表，某半导体收音机厂晶体管袖珍收音机销售情况如下表，某半导体收音机厂晶体管袖珍收音机销售情况如下表，某半导体收音机厂晶体管袖珍收音机销售情况如下表，分析预测下月可能的销售量。分析预测下月可能的销售量。分析预测下月可能的销售量。分析预测下月可能的销售量。时序（t）销量（y）时序（t）销量（y）时序（t）销量（y）183.4870.91563.5285.99138.316103.93106.110124.71777.84154.41195.818114.45132.012139.019157.6647.51363.720190.2745.81485.121105.925假设该产品销售量可分为如下
23、三个状态：假设该产品销售量可分为如下三个状态：假设该产品销售量可分为如下三个状态：假设该产品销售量可分为如下三个状态： 低水平销售状态低水平销售状态低水平销售状态低水平销售状态 正常销售状态正常销售状态正常销售状态正常销售状态 高水平销售状态高水平销售状态高水平销售状态高水平销售状态 从某一状态向另一状态转移的次数为：从某一状态向另一状态转移的次数为：从某一状态向另一状态转移的次数为：从某一状态向另一状态转移的次数为： 次数下 期 状 态合计S1S2S3本期状态S1 S2 S3 550104127021326转移概率矩阵：转移概率矩阵：转移概率矩阵：转移概率矩阵： 第第第第21212121期的
24、销量为期的销量为期的销量为期的销量为105.9105.9105.9105.9千台，属于正常销售状态，千台，属于正常销售状态，千台，属于正常销售状态，千台，属于正常销售状态，由此经过一步转移到达各个状态的概率有以下关系：由此经过一步转移到达各个状态的概率有以下关系：由此经过一步转移到达各个状态的概率有以下关系：由此经过一步转移到达各个状态的概率有以下关系： 说明销量在目前状态下，经过一次转移低水平销量的说明销量在目前状态下，经过一次转移低水平销量的说明销量在目前状态下，经过一次转移低水平销量的说明销量在目前状态下，经过一次转移低水平销量的可能性最大。故预测第可能性最大。故预测第可能性最大。故预测
25、第可能性最大。故预测第22222222期收音机的销量不会超过期收音机的销量不会超过期收音机的销量不会超过期收音机的销量不会超过100100100100台。台。台。台。 2711.4 11.4 期望利润预测期望利润预测 期望利润预测是指产品在销售状况发生转移时对利期望利润预测是指产品在销售状况发生转移时对利期望利润预测是指产品在销售状况发生转移时对利期望利润预测是指产品在销售状况发生转移时对利润变化的预测。润变化的预测。润变化的预测。润变化的预测。 在期望利润预测中，产品销售状态的转移可视为马在期望利润预测中，产品销售状态的转移可视为马在期望利润预测中，产品销售状态的转移可视为马在期望利润预测中
26、，产品销售状态的转移可视为马尔柯夫链，则由此带来的利润也必将发生转变。这种尔柯夫链，则由此带来的利润也必将发生转变。这种尔柯夫链，则由此带来的利润也必将发生转变。这种尔柯夫链，则由此带来的利润也必将发生转变。这种随马尔柯夫链的状态转移所赋予的利润转变，称为随马尔柯夫链的状态转移所赋予的利润转变，称为随马尔柯夫链的状态转移所赋予的利润转变，称为随马尔柯夫链的状态转移所赋予的利润转变，称为带带带带利润的马尔柯夫链利润的马尔柯夫链利润的马尔柯夫链利润的马尔柯夫链。 设产品销售状态的一次转移概率矩阵为：设产品销售状态的一次转移概率矩阵为：设产品销售状态的一次转移概率矩阵为：设产品销售状态的一次转移概率
27、矩阵为： 1 1 1 1状态为畅销状态为畅销状态为畅销状态为畅销 2 2 2 2状态为滞销状态为滞销状态为滞销状态为滞销28 相对应的利润矩阵为：相对应的利润矩阵为：相对应的利润矩阵为：相对应的利润矩阵为： 由畅销仍保持畅销所带来的累计利润；由畅销仍保持畅销所带来的累计利润；由畅销仍保持畅销所带来的累计利润；由畅销仍保持畅销所带来的累计利润； 由畅销转变为滞销所带来的累计利润；由畅销转变为滞销所带来的累计利润；由畅销转变为滞销所带来的累计利润；由畅销转变为滞销所带来的累计利润； 由滞销转变为畅销所带来的累计利润；由滞销转变为畅销所带来的累计利润；由滞销转变为畅销所带来的累计利润；由滞销转变为畅
28、销所带来的累计利润； 由滞销仍保持滞销所带来的累计利润。由滞销仍保持滞销所带来的累计利润。由滞销仍保持滞销所带来的累计利润。由滞销仍保持滞销所带来的累计利润。 29 经一次转移的期望利润或称即时期望利润为：经一次转移的期望利润或称即时期望利润为：经一次转移的期望利润或称即时期望利润为：经一次转移的期望利润或称即时期望利润为： i=1 i=1 i=1 i=1时，表示一次转移后处于畅销时的期望利润；时，表示一次转移后处于畅销时的期望利润；时，表示一次转移后处于畅销时的期望利润；时，表示一次转移后处于畅销时的期望利润； i=2 i=2 i=2 i=2时，表示一次转移后处于滞销时的期望利润。时，表示一
29、次转移后处于滞销时的期望利润。时，表示一次转移后处于滞销时的期望利润。时，表示一次转移后处于滞销时的期望利润。 经过经过经过经过K K K K次转移后的期望利润为：次转移后的期望利润为：次转移后的期望利润为：次转移后的期望利润为： 30举例：举例： 设某种商品以往设某种商品以往设某种商品以往设某种商品以往24242424个季度的销售状态如下表所示，个季度的销售状态如下表所示，个季度的销售状态如下表所示，个季度的销售状态如下表所示，且经计算得到的相应利润矩阵为：且经计算得到的相应利润矩阵为：且经计算得到的相应利润矩阵为：且经计算得到的相应利润矩阵为： 试求下一个季度的即时期望利润和三个季度后的期
30、望试求下一个季度的即时期望利润和三个季度后的期望试求下一个季度的即时期望利润和三个季度后的期望试求下一个季度的即时期望利润和三个季度后的期望利润。利润。利润。利润。季度123456789101112销售状态畅畅滞畅滞滞畅畅畅滞畅滞季度131415161718192021222324销售状态畅畅滞滞畅畅滞畅滞畅畅畅31n n根据调查资料估计状态转移概率并确定状态转移概率根据调查资料估计状态转移概率并确定状态转移概率根据调查资料估计状态转移概率并确定状态转移概率根据调查资料估计状态转移概率并确定状态转移概率矩阵矩阵矩阵矩阵 步骤：次数下 期 状 态 S1 S2本期状态S1S2777232 n n求
31、期望利润矩阵：求期望利润矩阵：求期望利润矩阵：求期望利润矩阵： 33n n进行期望利润预测进行期望利润预测进行期望利润预测进行期望利润预测 下一季度，即一次转移后的期望利润为：下一季度，即一次转移后的期望利润为：下一季度，即一次转移后的期望利润为：下一季度，即一次转移后的期望利润为： 即：下一季度畅销时可期望获得利润即：下一季度畅销时可期望获得利润即：下一季度畅销时可期望获得利润即：下一季度畅销时可期望获得利润3 3 3 3千元；千元；千元；千元； 下一季度滞销时可期望获得利润下一季度滞销时可期望获得利润下一季度滞销时可期望获得利润下一季度滞销时可期望获得利润560560560560元。元。元
32、。元。 34 当当当当 K=2 K=2 K=2 K=2 时，即二次转移后的期望利润为：时，即二次转移后的期望利润为：时，即二次转移后的期望利润为：时，即二次转移后的期望利润为： 35 当当当当K=3K=3K=3K=3时，即三次转移后的期望利润为：时，即三次转移后的期望利润为：时，即三次转移后的期望利润为：时，即三次转移后的期望利润为：即：三个月后畅销时期望利润将达到即：三个月后畅销时期望利润将达到即：三个月后畅销时期望利润将达到即：三个月后畅销时期望利润将达到7.637.637.637.63千元；千元；千元；千元； 三个月后滞销时期望利润只能达到三个月后滞销时期望利润只能达到三个月后滞销时期望利润只能达到三个月后滞销时期望利润只能达到4.544.544.544.54千元。千元。千元。千元。
