《高中数学 第一章《数列》数列的应用课件 北师大版必修5》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 第一章《数列》数列的应用课件 北师大版必修5（28页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、北师大版高中数学必修北师大版高中数学必修5 5第第一章一章数列数列数 列 的 应 用 与数列有关的应用题大致有三类：与数列有关的应用题大致有三类：一一是有关等差数列的应用题；是有关等差数列的应用题；二二是有关等比数列的应用题；是有关等比数列的应用题；三三是有关递推数列中可化为等差、等比数列的问题是有关递推数列中可化为等差、等比数列的问题. . 解决有关数列的应用题与解决其它应用题解决有关数列的应用题与解决其它应用题相似的是要认真理解题意（可以通过相似的是要认真理解题意（可以通过列表、画列表、画图图等来加强对题意的理解），弄清各项之间的等来加强对题意的理解），弄清各项之间的关系，便于确定模型的类
2、型（等差或等比）；关系，便于确定模型的类型（等差或等比）；弄清项与项数的关系，便于确定计算公式；遇弄清项与项数的关系，便于确定计算公式；遇到问题按等比增长时，对次数的理解要准确到问题按等比增长时，对次数的理解要准确. .数 列 的 应 用例例1.1.（19941994年全国高考试题）某种细菌在培养过程年全国高考试题）某种细菌在培养过程中，每中，每2020分钟分裂一次（一个分裂为两个）分钟分裂一次（一个分裂为两个）. .经过经过3 3小时，这种细菌由小时，这种细菌由1 1个可繁殖成（个可繁殖成（ ）A.511A.511个个 B.512B.512个个 C.1023C.1023个个 D.1024D.
3、1024个个 分析分析 由题意，这种细菌原有的个数，经过由题意，这种细菌原有的个数，经过2020分钟，分钟， 4040分钟，分钟，6060分钟，分钟，分裂后的个数分别为分裂后的个数分别为1 1，2 2，2 22 2，2 23 3， . .这是一个等比数列，公比为这是一个等比数列，公比为2.2.因此经过因此经过3 3小时，小时，这种细菌的个数为这种细菌的个数为a a1010=1=12 210-110-1=2=29 9=512.=512.故本题应选故本题应选B.B. 说明说明 此类问题切忌硬套类型、公式此类问题切忌硬套类型、公式. .要注重对问题要注重对问题分析过程的思考（这里即细菌个数随时间变化
4、的规律分析过程的思考（这里即细菌个数随时间变化的规律的考察），这样即使不套用等比数列的公式，也会得的考察），这样即使不套用等比数列的公式，也会得出出2 29 9 的结果的结果. . 时间时间时间时间 细菌个数细菌个数细菌个数细菌个数经过1个20分钟2=21经过2个20分钟4=22经过3个20分钟8=23经过3小时29=512例例2.2.有若干台型号相同的联合收割机，收割一片土地有若干台型号相同的联合收割机，收割一片土地上的小麦，若同时投入工作至收割完毕需用上的小麦，若同时投入工作至收割完毕需用2424小时；小时；但它们是每隔相同的时间投入工作的，每一台投入工但它们是每隔相同的时间投入工作的，每
5、一台投入工作后都一直工作到小麦收割完毕作后都一直工作到小麦收割完毕. .如果第一台收割时如果第一台收割时间是最后一台的间是最后一台的5 5倍，求用这种方法收割完这片土地倍，求用这种方法收割完这片土地上的小麦需用多少时间？上的小麦需用多少时间？ 分析分析 依题意，这些联合收割机投入工作的时间组成依题意，这些联合收割机投入工作的时间组成一个等差数列，按所规定的方法收割，所需要的时间一个等差数列，按所规定的方法收割，所需要的时间等于第一台收割机所需要的时间，即求数列的首项等于第一台收割机所需要的时间，即求数列的首项. .解：解：设从每一台工作起，这设从每一台工作起，这n n台收割机工作台收割机工作
6、的时间依次为的时间依次为a a1 1，a a2 2， a an n小时，小时， 依题意，依题意，aan n 是一个等差数列，是一个等差数列，由由得，得，a a1 1+a+a2 2+ +a+an n=24n,=24n,由由、联立方程组得，联立方程组得，解之得，解之得，a1=40，an=8.答：用这种方法收割完这片土地上的全部小答：用这种方法收割完这片土地上的全部小麦需用麦需用4040小时小时. .例例3.3.某林场原有木材量为某林场原有木材量为a a，木材以每年，木材以每年25%25%的增长率生长，的增长率生长，而每年冬天要砍伐的木材量为而每年冬天要砍伐的木材量为x x，为了实现，为了实现经过经
7、过2020年达到年达到木材存有量翻两翻木材存有量翻两翻，求每年砍伐量，求每年砍伐量x x的最大值的最大值. .（设（设1.251.252020=86.74=86.74） 分析分析 木材的增长率是一个等比数列的问题，翻几翻问题也木材的增长率是一个等比数列的问题，翻几翻问题也是等比数列问题，原来是等比数列问题，原来a a，翻一翻，翻一翻2a2a，翻两翻，翻两翻4a4a，依次类推，依次类推. .解解例例4.4.顾客从商场购买一台售价为顾客从商场购买一台售价为1.251.25万元的电脑，万元的电脑，采用分期付款的方法，先付款采用分期付款的方法，先付款( (也称首付也称首付)0.25)0.25万元，万元
8、，余款以后再付，但要支付利息余款以后再付，但要支付利息. .如果按月利率如果按月利率1%,1%,每每月利息按复利计算月利息按复利计算( (即每月利息记入下月本金即每月利息记入下月本金) )（1 1）试分别计算）试分别计算1 1个月后、个月后、2 2个月后、个月后、3 3个月后个月后一年后顾客欠商场本利和一年后顾客欠商场本利和 . .（2 2）余额也采用分期付款的方法，）余额也采用分期付款的方法，要求每期付款数额相同，购买后要求每期付款数额相同，购买后第第1 1个月月底第个月月底第1 1次付款，再过次付款，再过1 1个个月第月第2 2次付款次付款购买后一年第购买后一年第1212次付清次付清. .
9、那么每期应付款多少元？那么每期应付款多少元？（1 1）试分别计算）试分别计算1 1个月后、个月后、2 2个月后、个月后、3 3个月后个月后一年后顾客欠商场本利和一年后顾客欠商场本利和 . . 解解 1 1个月后欠商场本利和：个月后欠商场本利和：1+11+11%=11%=1(1+1%)=1.01(1+1%)=1.01万元万元, ,2 2个月后欠商场本利和个月后欠商场本利和:1.01:1.01(1+1%)=1.02(1+1%)=1.02万元万元, ,3 3个月后欠商场本利和个月后欠商场本利和:1:11.011.013 3=1.03=1.03万元万元, ,一年后欠商场本利和一年后欠商场本利和:1:1
10、1.011.011212=1.13=1.13万元万元. .（2 2）余额也采用分期付款的方法，要求每期付款）余额也采用分期付款的方法，要求每期付款数额相同，购买后第数额相同，购买后第1 1个月月底第个月月底第1 1次付款，再过次付款，再过1 1个月第个月第2 2次付款次付款购买后一年第购买后一年第1212次付清次付清. .那么每那么每期应付款多少元？期应付款多少元？主要思路：主要思路：思路思路1 1：逐月计算欠款情况，最后欠款数为零：逐月计算欠款情况，最后欠款数为零. .思路思路2 2：从货款与还款随时间不断增值方面考虑：从货款与还款随时间不断增值方面考虑. .思路思路3 3：各期还款额等价到
11、货款初的角度来考虑：各期还款额等价到货款初的角度来考虑. .思路思路1 1：逐月计算欠款情况，最后欠款数为零逐月计算欠款情况，最后欠款数为零. . 解法解法111 1个月后欠个月后欠 1 1（1+1%1+1%）-x=1.01-x-x=1.01-x2 2个月后欠个月后欠 （1.01-x1.01-x） 1.01-x=1.01 1.01-x=1.012 2-1.01x-x-1.01x-x3 3个月后欠（个月后欠（1.011.012 2-1.01x-x-1.01x-x） 1.01-x 1.01-x =1.01 =1.013 3-1.01-1.012 2x-1.01x-xx-1.01x-x1212个月后
12、欠个月后欠1.011.011212-1.01-1.011111x-1.01x-1.011010x-x-1.01x-x-1.01x-x设每月付款设每月付款x x元，元，由1.0112-1.0111x-1.0110x-1.01x-x=0得x + 1.01x +1.0110x + 1.0111x = 1.0112答：每月还答：每月还870元元.思路思路2 2：从货款与还款随时间不断增值方面考虑从货款与还款随时间不断增值方面考虑. . 解法解法22商品购买商品购买1 1年后货款全部付清时年后货款全部付清时货款增值为货款增值为1 11.011.011212万元万元. .设每期付款额为设每期付款额为x x
13、万元万元第第1212期付款期付款x x万元时万元时, ,没有增值没有增值, ,还是还是x x万元，万元，第第1111期付款期付款x x万元万元, ,经过经过1 1个月增值为个月增值为x x1.011.01万万元，元，第第1010期付款期付款x x万元万元, ,经过经过2 2月增值为月增值为x x1.011.012 2万元，万元，第第1 1期付款期付款x x万元万元, ,经过经过1111月增值为月增值为x x1.011.011111万元万元. .由x + 1.01x + 1.0110x + 1.0111x = 1.0112答：每月还答：每月还870870元元. .思路思路3 3：各期还款额等价到
14、货款初的角度来考虑各期还款额等价到货款初的角度来考虑. . 解法解法33 货款初为货款初为1 1万元万元. .设每期付款设每期付款x x元元, ,则则第第1 1期所付的期所付的x x元元, ,在货款初只值在货款初只值第第2 2期所付的期所付的x x元元, ,在货款初只值在货款初只值第第3 3期所付的期所付的x x元元, ,在货款初只值在货款初只值第第1212期所付的期所付的x x元元, ,在货款初只值在货款初只值以下同解法一以下同解法一.例例5 5（19961996年全国高考试题）某地现有耕地年全国高考试题）某地现有耕地1000010000公顷，规划公顷，规划1010年后粮食年后粮食单产比现在
15、增加单产比现在增加22%22%，人均粮食占有量比现在提高，人均粮食占有量比现在提高10%10%，如果人口年增长，如果人口年增长率为率为1%1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷？（精确到，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷？（精确到1 1公顷，公顷，设设1.011.011010=1.1045=1.1045） 分析分析 这是一个实际应用问题这是一个实际应用问题. .由于考虑的是人口平均增长率，因此每年年由于考虑的是人口平均增长率，因此每年年底的人口总数组成一个等比数列，而每年年底的耕地数组成一个等差数列底的人口总数组成一个等比数列，而每年年底的耕地数组成一个等差数列. .设该地区现有人口为
16、设该地区现有人口为P P，那么，那么1010年后人口为年后人口为P P（1+1%1+1%）1010. .设耕地每年至多只能减少设耕地每年至多只能减少x x公顷，那么公顷，那么1010年后耕地面积为（年后耕地面积为（10000-10x10000-10x）公）公顷顷. .设现在粮食单产为设现在粮食单产为M M吨吨/ /公顷，那么公顷，那么1010年后粮食单产为年后粮食单产为M M（1+22%1+22%）吨）吨/ /公顷公顷. .解解答：按规划耕地平均每年至多只能减少答：按规划耕地平均每年至多只能减少4 4公顷公顷. .思考题：思考题：2. 2. 环境问题严重危害人民群众身心健康，也直环境问题严重危
17、害人民群众身心健康，也直接影响着北京举办接影响着北京举办20082008年奥运会年奥运会.2000.2000年我国北方年我国北方地区发生的多起沙尘暴，主要是由于土地沙漠化地区发生的多起沙尘暴，主要是由于土地沙漠化引起的引起的. .据调查，沙漠化土地面积每年以据调查，沙漠化土地面积每年以4%4%的速度的速度递增递增. .北京市以北地区北京市以北地区19951995年底年底有沙漠化土地面积有沙漠化土地面积2520025200亩亩，计划从，计划从19961996年年起每年在沙漠上种植相同起每年在沙漠上种植相同面积的树木，以改造沙漠为森林，计划在面积的树木，以改造沙漠为森林，计划在20072007年年
18、年底年底前完成对沙漠的改造任务，问每年至少植树前完成对沙漠的改造任务，问每年至少植树多少亩？多少亩？(1.04(1.041212=1.601)=1.601)思考题：思考题：第一题提示：第一题提示：第二题提示：第二题提示：9696年底沙漠化土地面积为年底沙漠化土地面积为:(25200-x) :(25200-x) 1.04;1.04;9797年底沙漠化土地面积为年底沙漠化土地面积为: : (25200-x) (25200-x) 1.04-x 1.04-x 1.041.04 =25200 =252001.041.042 2-x(1.04-x(1.042 2+1.04);+1.04);20072007
19、年底沙漠化土地面积为年底沙漠化土地面积为: : 25200 252001.041.041212-x(1.04-x(1.041212+1.04+1.041111+ +1.04).+1.04).答案：每年至少植树答案：每年至少植树25822582亩亩. .3.3.银行按规定在一定时间结算利息一次，结息后银行按规定在一定时间结算利息一次，结息后即将利息并入本金，这种计算方法叫做复利即将利息并入本金，这种计算方法叫做复利. .现在现在某企业进行技术改造，有两种方案：甲方案某企业进行技术改造，有两种方案：甲方案一一次性贷款次性贷款1010万元，第一年可获利万元，第一年可获利1 1万元，以后每年万元，以后
20、每年比上一年增加比上一年增加30%30%的利润；乙方案每年贷款的利润；乙方案每年贷款1 1万元，万元，第一年可获利第一年可获利1 1万元，以后每年比上一年增加万元，以后每年比上一年增加5 5千千元元. .两种方案使用期限都是两种方案使用期限都是1010年，到期一次性还本年，到期一次性还本付息付息. .若银行贷款利息均按年利息若银行贷款利息均按年利息10%10%计算，试比计算，试比较两种方案的优劣（计算时，精确到千元，并取较两种方案的优劣（计算时，精确到千元，并取1.11.110102.594,1.32.594,1.3101013.7913.79）思考题：思考题：第三题提示：第三题提示：净收益32.5-15.94=16.6万元所以甲方案优于乙方案.小结：（小结：（1）.等差数列、等比数列等差数列、等比数列是日常经济生活中的重要数学模型是日常经济生活中的重要数学模型;（2）.银行存款的计息方式银行存款的计息方式;（3）.银行的储蓄业务种类银行的储蓄业务种类;（4）.零存整取储蓄模型零存整取储蓄模型;（5）.定期自定期自动转存模型；（动转存模型；（6）.教育储蓄模型教育储蓄模型.作业：作业： 习题习题14第第1、2题题五、教后反思：五、教后反思：
