函数的微分及其应用

v引例 一块正方形金属片受热后其边长 x 由 x0 变到 x0Dx 考查此薄片的面积 A 的改变情况 因为 Ax2 所以金属片面积的改变量为 DA(x0Dx)2(x0)2 2x0Dx(Dx)2 A= =x02x0x0 x xx0 xx0 x( x)2 当Dx0时 (Dx)2o(Dx ) DA的主要部分是Dx的线性函数2x0Dx 2x0Dx是DA的近似值一、微分的定义一、微分的定义 设函数yf(x)在某区间内有定义 x0及x0Dx在这区间内 如果函数的增量Dyf(x0Dx)f(x0)可表示为DyADxo(Dx) 其中A是不依赖于Dx的常数 o(Dx)是比Dx高阶的无穷小 那么称函数yf(x)在点x0是可微的 而ADx叫做函数yf(x)在点x0相应于自变量增量Dx的微分 记作dy 即dyADx v微分的定义 函数f(x)在点x0可微  函数f(x)在点x0可导 并且Af (x0) 可微与可导的关系yf(x)在点x0可微DyADxo(Dx) dyADx 这是因为 一方面 另一方面其中a0(当Dx0) 且Af(x0)是常数 aDx o(Dx)  函数yf(x)在任意点 x 的微分 称为函数的微分 记作dy 或 df(x) 即dyf (x)Dx 例如 dcos x(cos x)Dx sin x Dx dex(e x)DxexDx yf(x)在点x0可微DyADxo(Dx) dyADx 可微与可导的关系 函数f(x)在点x0可微  函数f(x)在点x0可导 并且Af (x0)  例1 求函数yx2在x1和x3处的微分 dy(x2)|x1Dx2Dx 函数yx2在x3处的微分为 dy(x2)|x3Dx6Dx 例2 求函数 yx3当x2 Dx 002时的微分 yf(x)在点x0可微DyADxo(Dx) dyADx 解 函数yx2在x1处的微分为 解 先求函数在任意点x 的微分 dy(x3)Dx3x2Dx 再求函数当x2 Dx002时的微分 dy|x2 Dx3223x2| x2, Dx 求函数 当 从 2变到1.99时的微分4 、 练习 因为当yx时 dydx(x)DxDx 所以通常把自变量 x 的增量Dx称为自变量的微分 记作dx 即 dxDx 因此 函数yf(x)的微分又可记作 dyf (x)dx •自变量的微分二、微分的几何意义 当|Dx|很小时 |Dydy|比|Dx|小得多 因此 在点M的邻近 我们可以用切线段来近似代替曲线段 Dy是曲线上点的纵坐标的增量 dy是过点(x0 f(x0))的切线上点的纵坐标的增量 当x从x0变到x0Dx时三、基本微分公式与微分运算法则d(xm)m xm1dx d(sin x)cos xdx d(cos x)sin xdx d(tan x)sec2xdx d(cot x)csc2xdx d(sec x)sec x tan xdx d(csc x)csc x cot xdx d(a x)ax ln adx d(e x)exdx (xm)m xm1 (sin x)cos x (cos x)sin x(tan x)sec2 x (cot x)csc2x (sec x)sec x tan x (csc x)csc x cot x (a x)ax ln a (e x)ex微分公式: 导数公式: 1.基本初等函数的微分公式微分公式: 导数公式: 2.函数和、差、积、商的微分法则 公式d(uv)vduudv 的证明 因为 d(uv)(uvuv)dxuvdxuvdx 而 udxdu vdxdv 所以 d(uv)vduudv (uv)uv (Cu)Cu (uv)uvuvd(uv)dudvd(Cu)Cdu d(uv)vduudv求导法则 微分法则 求下列函数的微分 （A）（B）解：解法一：由微分法则解法二：由微分定义练习求下列函数的微分 设yf(u)及uj(x)可微 则复合函数yf[j(x)]的微分为dyyxdxf (u)j(x)dx 因为j(x)dxdu 所以 复合函数yf[j(x)]的微分公式也可以写成dyf (u)du 或 dyyudu 3.复合函数的微分法则 由此可见 无论u是自变量还是另一个变量的可微函数 微分形式 dyf (u)du保持不变 这一性质称为微分形式不变性  在求复合函数的导数时 可以不写出中间变量 例3 ysin(2x1) 求dy 2cos(2x1)dx cos(2x1)2dxcos(2x1)d(2x1)dyd(sin u)cos udu 若yf(u) uj(x) 则dyf (u)du 解 把2x1看成中间变量u 则 例4 解     例5 ye13xcos x 求dy e13x(3cos xsin x)dx (cos x)e13x(3dx)e13x(sin xdx)dyd(e13xcos x) cos xd(e13x)e13xd(cos x) 若yf(u) uj(x) 则dyf (u)du 应用积的微分法则 得 解  例6 在括号中填入适当的函数 使等式成立 (1) d( )xdx (2) d( )cos w t dt (2)因为d(sin w t)w cos w tdt 所以(1)因为d(x2)2xdx 所以 解 四、微分在近似计算中的应用 1.函数的近似计算 当函数yf(x)在点x0处的导数f (x)0 且|Dx|很小时 我们有 Dydyf (x0)Dx f(x0Dx)f(x0)dyf (x0)Dx f(x0Dx)f(x0)f (x0)Dx 若令xx0Dx 即Dxxx0 那么又有 f(x)f(x0)f (x0)(xx0) 特别当x00时 有 f(x)f(0)f (0)x  例7 有一批半径为 1cm 的球 为了提高球面的光洁度 要镀上一层铜 厚度定为001cm 估计一下每只球需用铜多少 g (铜的密度是89g/cm3)?求函数增量的近似公式 f(x0Dx)f(x0)f (x0)Dx 镀层的体积为 DVV(R0DR)V(R0) V (R0)DR4pR02DR 431412001013(cm3) 于是镀每只球需用的铜约为 01389116(g) 解 已知球体体积为  R01cm DR001cm 求函数值的近似公式 f(x0Dx)f(x0)f (x0)Dx 例8 利用微分计算sin 3030的近似值  sin x0 cos x0 Dx即 sin 303005076 sin(x0Dx) 解 sin 3030。