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1、二面角9/7/2024一、一、 二面角及二面角的平面角二面角及二面角的平面角平面的一条直线把平面分为平面的一条直线把平面分为两两部分，部分，其中的每一部分都叫做一个其中的每一部分都叫做一个半平面半平面。1 1 、半平面半平面ll二面角9/7/2024 从空间一直线出发的两个半从空间一直线出发的两个半2、二面角的定义二面角的定义3、二面角的平面角二面角的平面角角角 的平面角的平面角 一一个个平平面面垂垂直直于于二二面面角角的的棱棱，并并与与两两半半平平面面分分别别相相交交于于射射线线PA、PB垂足为垂足为P，则，则APB叫做二面叫做二面ABP平面所组成的图形叫做二面角平面所组成的图形叫做二面角记
2、作：记作：二面角二面角ABP APB 与与 APB是否相等是否相等?思考思考思考思考?相等相等(利用等角定理利用等角定理)注：二面角的平面角取值范围是: 00,18009/7/2024注：二面角的平面角的特点二面角的平面角的特点：3）角的边都要垂直于二面角的棱角的边都要垂直于二面角的棱1）角的顶点在棱上角的顶点在棱上2）角的两边分别在两个面内角的两边分别在两个面内10 lOABAOB(1)(2)9/7/2024二二.作二面角的平面角的常用方法作二面角的平面角的常用方法、点、点P在棱上在棱上、点、点P在一个半平面上在一个半平面上、点、点P在二面角内在二面角内pABABpABOp定义法定义法三垂线
3、定理法三垂线定理法垂面法垂面法二面角9/7/20241、如如图图，AB是是圆圆的的直直径径，PA垂垂直直圆圆所所在在的的平平面面，C是是圆圆上上任任一一点点，则二面角则二面角P-BC-A的平面角为的平面角为:A.ABP B.ACP C.都不是都不是 基础练练 习习2、已已知知P为为二二面面角角 内内一一点点，且且P到到两两个个半半平平面面的的距距离离都都等等于于P到到棱棱的的距距离离的的一一半半，则则这这个个二二面角的度数是多少？面角的度数是多少？pABOABCP60二面角9/7/2024例例1.1.如如图图，已已知知P P是是二二面面角角-ABAB-棱棱上上一一点点，过过P P分分别别 在在
4、 、 内内 引引 射射 线线PMPM、 PNPN， 且且MPN=60MPN=60 BPM=BPN=45BPM=BPN=45 ，求此二面角的度数。，求此二面角的度数。ABPMNCDO解解：在PB上取不同于P 的一点O，在内过O作OCAB交PM于C，在内作ODAB交PN于D，连CD，可得COD是二面角-AB-的平面角设PO = a ，BPM =BPN = 45CO=a， DO= a ， PC a ， PD a又MPN=60 CD=PC aCOD=90因此，二面角的度数为因此，二面角的度数为90aOPC二面角9/7/2024例例2 2如如图图P P为为二二面面角角 内内一一点点，PA,PBPA,PB
5、,且且PA=5PA=5，PB=8PB=8，AB=7AB=7，求这二面角的度数。，求这二面角的度数。 过过PA、PB的平面的平面PAB与与 棱棱 交于交于O点点PA PA PB PB 平面PABAOB为二面角的平面角又PA=5，PB=8，AB=7由余弦定理得由余弦定理得P= 60 AOB=120 这二面角的度数为这二面角的度数为120解：解：ABPO二面角9/7/2024OABPC取取AB 的中点为的中点为E，连连PE，OEO为为 AC 中点中点， ABC=90OEBC且且 OE BC在RtPOE中， OE ，PO 所求的二面角所求的二面角P-AB-C 的正切值为的正切值为例例3 3如如图图，三
6、三棱棱锥锥P-ABCP-ABC的的顶顶点点P P在在底底面面ABCABC上上的的射射影影是是底底面面RtRtABCABC斜斜边边ACAC的的中中点点O O，若若PB=AB=1PB=AB=1，BC= BC= ，求二面角，求二面角P-AB-CP-AB-C的正切值的正切值。PEO为二面角为二面角P-AB-C 的平面角的平面角在在RtPBE中中，BE ，PB=1，PEOEAB ，因此因此 PEABE解：解：EOP二面角9/7/2024二面角的计算：二面角的计算：1、找到或作出二面角的平面角找到或作出二面角的平面角2、证明证明 1中的角就是所求的角中的角就是所求的角3、计算出此角的大小计算出此角的大小一
7、一“作作”二二“证证”三三“计算计算”169/7/2024练练习习1 1：已已知知RtRtABCABC在在平平面面 内内，斜斜边边ABAB在在3030的的二二面面角角-AB-AB-的的棱棱上上，若若AC=5AC=5，BC=12BC=12，求求点点C C到到平平面面的距离的距离CO。ACBOD练练习习2 2：已已知知棱棱长长为为1 1正正方方体体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1,1,求求二二面面角角C C1 1-BD-B-BD-B1 1的大小。的大小。二面角Oarccos 9/7/2024二二、二面角的平面角二面角的平面角一一、二面角的定义二面角的定义 从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角1、定义、定义2、求二面角的平面角方法、求二面角的平面角方法点点P在棱上在棱上点点P在一个半平面上在一个半平面上点点P在二面角内在二面角内ABP小小结结ABppABpABO定义法定义法三垂线定理法三垂线定理法垂面法垂面法二面角9/7/2024ABCD作业:1、 A A为为二二面面角角 CD CD 的的棱棱CDCD上上一一点点，ABAB在在平平面面 内内且且与与棱棱CDCD成成4545角角，又又ABAB与与平平面面成成30 ，求求二二面面角角 CD CD 的的大小。大小。作作业业二面角9/7/20249/7/2024
