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1、第二章第二章 守恒定律守恒定律刚体的定轴转动定律刚体的定轴转动定律P*O 刚体绕刚体绕 O z 轴旋转轴旋转 , 力力 作用在刚体上点作用在刚体上点 P , 且在转动且在转动平面内平面内, 为由点为由点O 到力的到力的作用点作用点 P 的径矢的径矢 . 对转轴对转轴 Z 的力矩的力矩 2.9.3 刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律一一 、 力矩力矩 第二章第二章 守恒定律守恒定律刚体的定轴转动定律刚体的定轴转动定律O讨论讨论 1）若力若力 不在转动平面内，把力分解为平行和垂不在转动平面内，把力分解为平行和垂直于转轴方向的两个分量直于转轴方向的两个分量 2）合）合力矩等于各分力矩的力矩等于各分力矩
2、的矢量和矢量和 其中其中 对转轴的力对转轴的力矩为零，故矩为零，故 对转轴的对转轴的力矩力矩第二章第二章 守恒定律守恒定律刚体的定轴转动定律刚体的定轴转动定律3） 刚体内作用力和刚体内作用力和反反作用力的力矩互相作用力的力矩互相抵消抵消O第二章第二章 守恒定律守恒定律刚体的定轴转动定律刚体的定轴转动定律O二二 、 转动定律转动定律2）刚体刚体质量元受质量元受外外力力 ，内内力力 1）单个质点单个质点 与转与转轴刚性连接轴刚性连接外外力矩力矩内内力矩力矩O第二章第二章 守恒定律守恒定律刚体的定轴转动定律刚体的定轴转动定律 刚体定轴转动的角加速度与它所受的刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩合
3、外力矩成成正比正比 ，与刚体的，与刚体的转动惯量转动惯量成反比成反比 . 转动定律转动定律定义转动惯量定义转动惯量O第二章第二章 守恒定律守恒定律刚体的定轴转动定律刚体的定轴转动定律三三 转动惯量转动惯量 物理物理意义意义：转动惯性的量度：转动惯性的量度 . 质量离散分布刚体的转动惯量质量离散分布刚体的转动惯量转动惯性的计算方法转动惯性的计算方法 质量连续分布刚体的转动惯量质量连续分布刚体的转动惯量：质量元：质量元第二章第二章 守恒定律守恒定律刚体的定轴转动定律刚体的定轴转动定律2 对质量线分布的刚体：对质量线分布的刚体：质量线密度：质量线密度2 对质量面分布的刚体：对质量面分布的刚体：质量面
4、密度：质量面密度2 对质量体分布的刚体：对质量体分布的刚体：质量体密度：质量体密度：质量元：质量元 质量连续分布刚体的转动惯量质量连续分布刚体的转动惯量第二章第二章 守恒定律守恒定律刚体的定轴转动定律刚体的定轴转动定律OO 解解 设棒的线密度为设棒的线密度为 ，取一距离转轴，取一距离转轴 OO 为为 处的质量元处的质量元 例例2 一一质量为质量为 、长为、长为 的均匀细长棒，求的均匀细长棒，求通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量 .OO如转轴过端点垂直于棒如转轴过端点垂直于棒第二章第二章 守恒定律守恒定律刚体的定轴转动定律刚体的定轴转动定律ORO 例例3 一质量
5、为一质量为 、半径为、半径为 的均匀圆盘，求通的均匀圆盘，求通过盘中心过盘中心 O 并与盘面垂直的轴的转动惯量并与盘面垂直的轴的转动惯量 . 解解 设圆盘面密度为设圆盘面密度为 ，在盘上取半径为在盘上取半径为 ，宽为，宽为 的圆环的圆环而而圆环质量圆环质量所以所以圆环对轴的转动惯量圆环对轴的转动惯量第二章第二章 守恒定律守恒定律刚体的定轴转动定律刚体的定轴转动定律四四 平行轴定理平行轴定理P 转动惯量的大小取决于刚体的转动惯量的大小取决于刚体的质量质量、形形状及转轴的位置状及转轴的位置 . 质量为质量为 的刚体的刚体，如果对如果对其质心轴的转动惯量为其质心轴的转动惯量为 ，则则对任一与该轴平行
6、对任一与该轴平行，相距为相距为 的转轴的转动惯量的转轴的转动惯量CO注意注意圆盘对圆盘对P 轴轴的转动惯量的转动惯量O第二章第二章 守恒定律守恒定律刚体的定轴转动定律刚体的定轴转动定律竿竿子子长长些些还还是是短短些些较较安安全全？ 飞轮的质量为什么飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？大都分布于外轮缘？第二章第二章 守恒定律守恒定律刚体的定轴转动定律刚体的定轴转动定律 例例4 质量为质量为 的物体的物体 A 静止在光滑水平面上，静止在光滑水平面上，和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为 R、质、质量为量为 的圆柱形滑轮的圆柱形滑轮 C，并系在另一质量为
7、，并系在另一质量为 的物的物体体 B 上上. 滑轮与绳索间没有滑动，滑轮与绳索间没有滑动， 且滑轮与轴承间的摩且滑轮与轴承间的摩擦力可略去不计擦力可略去不计. 问：（问：（1） 两物体的线加速度为多少两物体的线加速度为多少？ 水平和竖直两段绳索的张力各为多少？（水平和竖直两段绳索的张力各为多少？（2） 物体物体 B 从从 再求线加速度及再求线加速度及绳的张力绳的张力. 静止落下距离静止落下距离 时，时，其速率是多少？（其速率是多少？（3）若滑轮与轴承间的摩若滑轮与轴承间的摩擦力不能忽略，并设擦力不能忽略，并设它们间的摩擦力矩为它们间的摩擦力矩为ABC第二章第二章 守恒定律守恒定律刚体的定轴转动
8、定律刚体的定轴转动定律ABCOO 解解 （1）隔离物体分）隔离物体分别对物体别对物体A、B 及滑轮作及滑轮作受力分析，取坐标如图，受力分析，取坐标如图，运用牛顿第二定律运用牛顿第二定律 、转、转动定律列方程动定律列方程 . 第二章第二章 守恒定律守恒定律刚体的定轴转动定律刚体的定轴转动定律如令如令 ，可得，可得（2） B由静止出发作匀加速直线运动，下落的速率由静止出发作匀加速直线运动，下落的速率ABC第二章第二章 守恒定律守恒定律刚体的定轴转动定律刚体的定轴转动定律（3） 考虑滑轮与轴承间的摩考虑滑轮与轴承间的摩擦力矩擦力矩 ，转动定律，转动定律结合（结合（1）中其它方程）中其它方程第二章第二
9、章 守恒定律守恒定律刚体的定轴转动定律刚体的定轴转动定律ABC第二章第二章 守恒定律守恒定律刚体的定轴转动定律刚体的定轴转动定律2.9.4 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律1 刚体定轴转动的角动量刚体定轴转动的角动量2 刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理非刚体定轴转动的角动量定理非刚体定轴转动的角动量定理O第二章第二章 守恒定律守恒定律刚体的定轴转动定律刚体的定轴转动定律 角动量守恒定律是自然界的一个基本定律角动量守恒定律是自然界的一个基本定律. 内力矩不改变系统的角动量内力矩不改变系统的角动量. 守守 恒条件恒条件若若 不变，不变
10、， 不变；若不变；若 变，变， 也变，但也变，但 不变不变.刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理3 刚体定轴转动的角动量守恒定律刚体定轴转动的角动量守恒定律，则，则若若讨论讨论 在在冲击冲击等问题中等问题中常量常量第二章第二章 守恒定律守恒定律刚体的定轴转动定律刚体的定轴转动定律 有许多现象都可以有许多现象都可以用角动量守恒来说明用角动量守恒来说明.自然界中存在多种守恒定律自然界中存在多种守恒定律2 动量守恒定律动量守恒定律2能量守恒定律能量守恒定律2角动量守恒定律角动量守恒定律2电荷守恒定律电荷守恒定律2质量守恒定律质量守恒定律2宇称守恒定律等宇称守恒定律等花样滑冰花样滑冰跳水运
11、动员跳水跳水运动员跳水第二章第二章 守恒定律守恒定律刚体的定轴转动定律刚体的定轴转动定律 被被 中中 香香 炉炉惯性导航仪（陀螺）惯性导航仪（陀螺） 角动量守恒定律在技术中的应用角动量守恒定律在技术中的应用 第二章第二章 守恒定律守恒定律刚体的定轴转动定律刚体的定轴转动定律 例例3 质量很小长度为质量很小长度为l 的均匀细杆的均匀细杆,可绕过其中心可绕过其中心 O并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动.当细杆静止于水平当细杆静止于水平位置时位置时, 有一只小虫以速率有一只小虫以速率 垂直落在距点垂直落在距点O为 l/4 处处, 并背离点并背离点O 向细杆的端点向细杆的
12、端点A 爬行爬行.设小虫与细杆的质量均设小虫与细杆的质量均为为m.问问:欲使细杆以恒定的角速度转动欲使细杆以恒定的角速度转动, 小虫应以多大速小虫应以多大速率向细杆端点爬行率向细杆端点爬行? 解解 小虫与细杆的碰撞视为完全非弹性碰撞，碰撞小虫与细杆的碰撞视为完全非弹性碰撞，碰撞前后系统角动量守恒前后系统角动量守恒第二章第二章 守恒定律守恒定律刚体的定轴转动定律刚体的定轴转动定律由角动量定理由角动量定理即即考虑到考虑到第二章第二章 守恒定律守恒定律刚体的定轴转动定律刚体的定轴转动定律 例例4 一杂技演员一杂技演员 M 由距水平跷板高为由距水平跷板高为 h 处自由下处自由下落到跷板的一端落到跷板的
13、一端A,并把跷板另一端的演员并把跷板另一端的演员N 弹了起来弹了起来.设跷板是匀质的设跷板是匀质的,长度为长度为l,质量为质量为 ,跷板可绕中部支撑跷板可绕中部支撑点点C 在竖直平面内转动在竖直平面内转动,演员的质量均为演员的质量均为m.假定演员假定演员M落落在跷板上在跷板上,与跷板的碰撞是完全非弹性碰撞与跷板的碰撞是完全非弹性碰撞.问演员问演员N可可弹起多高弹起多高?ll/2CABMNh 解解 碰撞前碰撞前 M 落在落在 A点的速度点的速度 碰撞后的瞬间碰撞后的瞬间, M、N具有相同的线速度具有相同的线速度第二章第二章 守恒定律守恒定律刚体的定轴转动定律刚体的定轴转动定律 把把M、N和跷板作
14、为和跷板作为一个系统一个系统, 角动量守恒角动量守恒解得解得演员演员 N 以以 u 起起跳跳, 达到的高度达到的高度ll/2CABMNh第二章第二章 守恒定律守恒定律刚体的定轴转动定律刚体的定轴转动定律 例例5 一长为一长为 质量为质量为 匀质细杆竖直放置，其匀质细杆竖直放置，其下端与一固定铰链下端与一固定铰链 O 相接，并可绕其转动相接，并可绕其转动 . 由于此由于此竖直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小竖直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转转动动 .试计算细杆转动到与竖直线成试计算细杆转动到与竖直线成 角时的角加速度角时的角加速度和角速度和角速度 . 解解 细杆受重力和细杆受重力和铰链对细杆的约束力铰链对细杆的约束力作用，由转动定律得作用，由转动定律得第二章第二章 守恒定律守恒定律刚体的定轴转动定律刚体的定轴转动定律式中式中得得由角加速度的定义由角加速度的定义代入初始条件积分代入初始条件积分 得得
