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1、 9.6 空空间间向量的向量的夹夹角和距离公式角和距离公式莱州市第十三中学孙兴文一、向量的直角坐一、向量的直角坐标标运算运算则设),(),(321321bbbbaaaa?;?ab;?ab;?a;? ?a b/;.?ab;?ab112233(,)?abab ab112233(,)?abab ab123(,),()?aaaR11223 3?a ba ba b112233,()? ?ab ab abR112222/?ababab1 122330?aba ba b|?uuu ruuu ruuu r uuu rgABABAB AB212121(,)?xxyyzz222212121()()()?xxyyz
2、z222,212121()()()?A Bdxxyyzz在空间直角坐标系中，已知、，则，则111(,)Axyz222(,)Bxyz二、距离与二、距离与夹夹角角（1）空间两点间的距离公式cos,| | | |?r rr rrra babab11223 3222222123123;?aba ba baaabbb（2）.两个向量夹角公式注意：（1）当时，同向；（2）当时，反向；（3）当时，。cos,1?rrabrr与 abcos,1?r ra brr与 abcos,0?rrab?rrab思考：当及时，的夹角在什么范围内？1cos,0?rra b,10cos?rra b练习练习一：一：1.求下列两个向
3、量的夹角的余弦：(1)(2,3,3),(1,0,0) ;?ab(2)( 1,1,1),( 1,0,1) ;? ? ?ab2.求下列两点间的距离：(1)(1,1,0) ,(1,1,1) ;AB(2)(3,1,5) ,(0,2,3) .?CD三、三、应应用用举举例例例1已知、，求：线段的中点坐标和长度；(3, 3,1)A(1, 0, 5)BAB解：设是的中点，则(, )M xy zAB?113()(3,3,1)1,0,52,3 ,222?u uu u ruu u ru uu rOMOAOB点的坐标是.M32,32?222,(1 3)(03)(5 1)29 .?A BdOABM例2如图，在正方体中，
4、求与所成的角的余弦值。1111?ABCDAB C D11?B E11114?ABDF1BE1DFF1E1C1B1A1D1DABCyzxO解：设正方体的棱长为1，如图建立空间直角坐标系，则?Oxyz13(1,1,0) ,1,1,4?BE11(0,0 ,0) ,0, 1 .4?，DF1311,1(1,1,0)0,1 ,44BE?u uu u r例2如图，在正方体中，求与所成的角的余弦值。1111?ABCDABC D11?B E11114?ABDF1BE1DFF1E1C1B1A1D1DABCxyzO1110, 1(0,0,0)0, 1 .44?uu uu r，DF1111150 01 1,4416?
5、 ? ? ?uu uu r uu u u rgBE DF111717|,|.44?u uuu ruuuu rBEDF111111151516cos,.17| |171744?u uu u ru u uu ruu u u r uu uu rguu uu ru u uu rBED FBEDFBEDF正方体ABCD-A1B1C1D1,E,F分别是C1A，D1 A1的中点，1）求cos.2）求点A到直线EF的距离。（用向量法）FEC1B1A1D1DABC课堂练习：xyzO11111,ABCDABC DE F?1.若正方体的边长为分别是(1),(2).FAAEF?u u r u u u r111CC ,
6、D A的中点.求FE点 到直线的距离CB1A1D1C1BDAEF解:,Oxyz?建立如图的空间直角坐标系得11(1,0,0),(1,1,),(,0,1).22AEF111(,0, 1),(, 1,).222FAFE?uu u ruuu r56|,|.22FAFE?uu u ruuu r3.4FE FA ?uuu r uu u rg30cos,.10?uuu ruuu rFEFA课堂练习：xyzO11111,ABCDABC DE F?1.若正方体的边长为分别是(1),(2).FAAEF?u u r u u u r111CC ,D A的中点.求FE点 到直线的距离CB1A1D1C1BDAEF解:5
7、6(1)|,|.22FAFE?uu u ruuu r由知30cos,.10?u uu r u uu rFE FA30sin,.10?uuu r uuu rFEFAM,.AEAMFE?连结作11|sin,|22AEFSFAFEFA FEAMFE?uu u ruu u ruu u r uu u ruuuu ruuu rg5306|.2104AM ?uuu u rg6.4AEF故点 到直线的距离为课堂练习：xyzO11111,ABCDABC DE F?1.若正方体的边长为分别是(1),(2).FAAEF?u u r u u u r111CC ,D A的中点.求FE点 到直线的距离CB1A1D1C1B
8、DAEF思路二:M,AEAMFE?连结作|sin,AEFAF FE?u u ru u u r u u u r点 到 直线 的距 离公式 d= AF?在直角三角形 AFM中|sin,|AMAFF EFA?uuuu ruuu r uuu ruu u r| | sin,AMFAAF FE?uuuu ruu u ruuu r uuu rg课堂练习：课堂练习：四、四、课课堂小堂小结结：1.基本知识：（1）向量的长度公式与两点间的距离公式；（2）两个向量的夹角公式。2.思想方法：用向量计算或证明几何问题时，可以先建立直角坐标系，然后把向量、点坐标化，借助向量的直角坐标运算法则进行计算或证明。作业与练习? P74：1、2、4
