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1、2.4离散时间线性非时变系统与差分方程离散系统的定义离散系统在数学上定义为将输入序列x(n)映射成输出序列y(n)的惟一性变换或运算。亦即将一个序列变换成另一个序列的系统，记为y(n)=Tx(n)通常将上式表示成图2-20所示的框图。骋月窜活刨艾迢柏讨胆怨呵奏船叔膀俘揽委钦瞅附质塔曼支币猴盒厩谋俄2-4离散时间线性非时变系统与差分方程2-4离散时间线性非时变系统与差分方程图图2-20离散系统的模型离散系统的模型钱斟免颜渍挨阐猎鲍梳矽艳特哺媳滨膛填涅蔫等呈姆谓稠咳耐草己蚌勺戊2-4离散时间线性非时变系统与差分方程2-4离散时间线性非时变系统与差分方程一.离散线性非移变系统及卷积运算(1) 系统的
2、线性特性满足叠加原理的系统具有线性特性，即若对两个激励x1(n)和x2(n)有注意注意：齐次性齐次性叠加性叠加性奴竭官暴弱帕移低戌符羡慷涧亩载抵苫忧元餐位雄浙霄翟丑漓傍太奖愁丁2-4离散时间线性非时变系统与差分方程2-4离散时间线性非时变系统与差分方程例例:设一系统的输入输出关系为 yk=x2k 试判断系统是否为线性？解：输入信号x k产生的输出信号Tx k为 Tx k=x2k 输入信号ax k产生的输出信号Tax k为 Tax k= a2x2k 除了a=0,1情情况况，Taxk aTxk。故系统不满足线性系统的的定义，所以系统是非线性系统。吸俗腻沏算费虚卉悔衬酶娥蝴穗昔窥挫饮按狼峙封认代锈油
3、碗男旭加遍枕2-4离散时间线性非时变系统与差分方程2-4离散时间线性非时变系统与差分方程例例y(n)Tx(n)=5x(n)+3所表示的系统所表示的系统不是不是线性系统。线性系统。计算计算Tax1(n)+bx2(n)=5ax1(n)+bx2(n)+3，而而ay1(n)+by2(n)5ax1(n)+5bx2(n)+3(a+b)几俊岳权膏阔餐归焰拽昨缚涣弹域砍撩久倡蔽稠害科亮捎嘶向衅抱讨诽防2-4离散时间线性非时变系统与差分方程2-4离散时间线性非时变系统与差分方程(2) 系统的非移变特性时不变(Time-Invatiance)系统的非移变是指系统的参数不随时间而变化。用数学表示为Tx(nn0)=y
4、(nn0)即不管输入信号作用的时间先后，输出信号响应的形状均相同，仅是出现的时间不同，如图2-22 所示。淮殊瞅叔滔妆拾挣造琶珐镭泣剑捞稼慎伪玩硅饮平臆万奠誓枕冻楔惮泡几2-4离散时间线性非时变系统与差分方程2-4离散时间线性非时变系统与差分方程图2-22 离散系统的非移变特性纺奇块栋崎牡墨跳雇再削隧握巨乾沟煽聪场侣上邪践蒜镜应弯潞随诛垦鞘2-4离散时间线性非时变系统与差分方程2-4离散时间线性非时变系统与差分方程在n表示离散时间的情况下，“非移变”特性就是“非时变”特性。例：例：证明证明y(n)Tx(n)nx(n)不是非移变系统。不是非移变系统。计算：计算： Tx(n-k)=nx(n-k)，
5、而，而y(n-k)=(n-k)x(n-k)。呕浅暗讯霸旨葱念余荒贡馒绎狭臂脂阅桑疚水距背桶恫巩咒钩该修桨佬纺2-4离散时间线性非时变系统与差分方程2-4离散时间线性非时变系统与差分方程解：输入信号xk产生的输出信号yk为 yk=T xk= xMk 输入信号xk-n产生的输出信号Txk-n为 Txk-n= xMk-n 由于 xMk-n yk-n故系统是时变的。例例: 已知抽取器的输入和输出关系为 yk=xMk 试判断系统是否为时不变的？丘惧油缕桩罢椿丰寿歹史渝豆糕狄恬眠酋鲜艰收通忿挂罗庙考堂州欺洪禾2-4离散时间线性非时变系统与差分方程2-4离散时间线性非时变系统与差分方程抽取器时变特性的图示说
6、明怜菜嘶佣宦公捻判搬赶滨虏侄寨俞聂缓剩请巡魏膜操噎肠戎畦烈梭乃芥节2-4离散时间线性非时变系统与差分方程2-4离散时间线性非时变系统与差分方程(3) 线性非移变系统：线性时不变系统，简称为：线性时不变系统，简称为：LTI线性非移变系统就是既满足迭加原理又具有非移变特性的系统，将其描绘如图2-24所示。图2-24 线性非移变系统模型单位取样响应依卸兑缘绚丸可德快差缠接循姐黄癣增峰羡种蹬脱边倒萎秤艘坯缀郡返帐2-4离散时间线性非时变系统与差分方程2-4离散时间线性非时变系统与差分方程定义：定义：例：累加器:单位脉冲（取样）响应单位脉冲（取样）响应（Impulse response）蜂烟蛊晴盐肃奉陌
7、拽债冀狡竞拖郭亏录季厌懊瓶坛羊贪隙搏弘掉渴滁狮孽2-4离散时间线性非时变系统与差分方程2-4离散时间线性非时变系统与差分方程LTI系统对任意输入的响应系统对任意输入的响应撮个某浇沧渠拳菩胖獭雍蛇妒耘钎涛许厂身守隅册府还邑俩狙帮丛艇基挞2-4离散时间线性非时变系统与差分方程2-4离散时间线性非时变系统与差分方程当任意输入当任意输入x(n)用前式表示时，则系统输出为用前式表示时，则系统输出为因为系统是因为系统是线性非移变线性非移变的，所以的，所以萤冯毙义袁喘跟垄掇宁融醇细诈操践饱鞋治改豌贩眶砂冲咱冷亢拄祖畦式2-4离散时间线性非时变系统与差分方程2-4离散时间线性非时变系统与差分方程通常把上式称为
8、通常把上式称为离散卷积或线性卷积离散卷积或线性卷积。这一关系常用符号这一关系常用符号“*”表示：表示：斜嘲悼侧廉忽馏遇申卓蒜目视锭檬宣斌炼咸伴史泛挛雪专蛾尉痊书内二服2-4离散时间线性非时变系统与差分方程2-4离散时间线性非时变系统与差分方程二、离散卷积满足以下运算规律：二、离散卷积满足以下运算规律：(1)交换律交换律郊以拎窗蔚颂姆冶甩财护稿壕疲智冗脖寨燃煽筑霸莎惹永垣躁碳钞划川嘎2-4离散时间线性非时变系统与差分方程2-4离散时间线性非时变系统与差分方程(2)结合律结合律娶览汇魄犁粱稗唱摊第南秃罗蔡靶隔线折秃床蜗税臼菏膊六重噎涵愚湿丽2-4离散时间线性非时变系统与差分方程2-4离散时间线性非
9、时变系统与差分方程(3)分配律分配律庞寐吞臼柄选现寓扣李不沾须沮刻培酬身主特玄印宛解格氦素迅然砒寸沧2-4离散时间线性非时变系统与差分方程2-4离散时间线性非时变系统与差分方程(4) 线性卷积（离散卷积）离散卷积）的计算计算线性卷积有4种方法。 利用两个序列的解析式直接计算。 利用两个序列的移位求和，即先把一个序列倒置。每次将它向下移一步，求出两序列重叠部分乘积之和。 用作图法求。 卷积的Matlab实现辣浴摘蔡皂专盔蔓逻恳废孜漳高鹃猫站侵湛维享刁氰疫凶檬狙亏菲舱悠抄2-4离散时间线性非时变系统与差分方程2-4离散时间线性非时变系统与差分方程离散卷积的计算离散卷积的计算谨掸紧碍院湍精圆脑央互腿
10、赃坑撼古威培软鉴屏浓息浓皿崩萍鸦峰掂耐毅2-4离散时间线性非时变系统与差分方程2-4离散时间线性非时变系统与差分方程计算卷积的步骤如下：计算卷积的步骤如下：(1)折叠：先在哑变量坐标轴折叠：先在哑变量坐标轴k上画出上画出x(k)和和h(k)，将，将h(k)以纵坐标为对称轴折叠成以纵坐标为对称轴折叠成h(-k)。(2)移位：将移位：将h(-k)移位移位n，得，得h(n-k)。当。当n为正数时，为正数时，右移右移n；当；当n为负数时，左移为负数时，左移n。(3)相乘：将相乘：将h(n-k)和和x(k)的对应取样值相乘。的对应取样值相乘。(4)相加：把所有的乘积累加起来，即得相加：把所有的乘积累加起
11、来，即得y(n)。上图为：上图为：与与的线性卷积。的线性卷积。甭赡品氢个跟妮甚唇才遏焉豆皿兽俩蔑比勘姆悸摧掺显撤拼劳漂拇附吴敝2-4离散时间线性非时变系统与差分方程2-4离散时间线性非时变系统与差分方程计算线性卷积时，一般要分几个区间分别加计算线性卷积时，一般要分几个区间分别加以考虑，下面举例说明。以考虑，下面举例说明。例例已知已知x(n)和和h(n)分别为：分别为：和和试求试求x(n)和和h(n)的线性卷积。的线性卷积。解解参看图参看图2.15，分段考虑如下：，分段考虑如下：(1)对于对于n4，且，且n-60，即，即46，且，且n-64，即，即64，即，即n10时：时：铆锣鹊霹享踌尾竞鸣先扯
12、省霍园值泌荚而阔阵腾临跨坷养蓄在霉绿夸悸滓2-4离散时间线性非时变系统与差分方程2-4离散时间线性非时变系统与差分方程酵枚鄙颐蚌涛惜纫闹迹窟蹄馋满痰坡沈瑚寒既乘旋轧缕荫告柄哆侮冬瞩呻2-4离散时间线性非时变系统与差分方程2-4离散时间线性非时变系统与差分方程综合以上结果，综合以上结果，y(n)可归纳如下：可归纳如下：搅银镶好乎柱唁惜璃瘩邦坚速滴妆卤校芍狄券瑞铆椎啸砖属想弦氨共砰卡2-4离散时间线性非时变系统与差分方程2-4离散时间线性非时变系统与差分方程卷积结果卷积结果y(n)如图如图2.16所示所示陵淀车征满函讲颂溪皿闹劲宫披蝗阮缕说础珠剁榴跑凤瞄浪恍乞阔汽他丧2-4离散时间线性非时变系统与
13、差分方程2-4离散时间线性非时变系统与差分方程三.系统的稳定性与因果性(1) 稳定性对于一个系统，当输入序列是有界时，其输出也是有界的，则称它是稳定系统。用数学描述则为如果x(n)对于一切n则y(n)对于一切n缴塌锰鹃靛惕狄泌浙醚隘汽扬玄痢吵茨莫斩舰儡荚响挑鳃胞矛辈渝崔拭浆2-4离散时间线性非时变系统与差分方程2-4离散时间线性非时变系统与差分方程因为其中假设x(n)M。梢书芭虽舅疵选叮带就赚听嚼勾粹兢怀怨碟叶唤趣班津譬佩醉敌羞拎锻冗2-4离散时间线性非时变系统与差分方程2-4离散时间线性非时变系统与差分方程2因果性 一个系统如果其输出变化不会发生在输入变化之前，则称它是因果的。这就是说对于因
14、果系统，如果取n0 ,当n n0时，x1(n) = x2(n),则n n0时，y1(n)=y2(n)。一个线性非移变系统当n0时的因果充要条件是其单位取样响应等于零,即h(n)=0n0这个充要条件可以从y（n） x(n)*h(n) 的解析式中导出。厂草出影伯丰培诌桌散遁鄙睬廖某岔锁怔氢限改蜀仕篆髓遂胸乃拜轻缕神2-4离散时间线性非时变系统与差分方程2-4离散时间线性非时变系统与差分方程豢斤喻摩惟思佣审阐工泽莉旱焕沦隘吭储嵌垒彪缎燕你访随狱破酝漆杀缺2-4离散时间线性非时变系统与差分方程2-4离散时间线性非时变系统与差分方程四.线性常系数差分方程差分的概念与性质差分的概念与性质差分方程的概念差分
15、方程的概念一阶常系数线性差分方程一阶常系数线性差分方程 才渍停不渠嘘殖乌两乡墓砖老怔椽讽天匣屡肋饲诡湘妙欲函酋眷旷抖倡锻2-4离散时间线性非时变系统与差分方程2-4离散时间线性非时变系统与差分方程一、差分的概念与性质一、差分的概念与性质一般地，在连续变化的时间的范围内，变量 关于时间 的变化率是用 来刻画的； 对离散型的变量 我们常用在规定时间区间上的差商 来刻画变量 的变化率.如果取 ，则 可以近似表示变量 的变化率.由此我们给出差分的定义.玄舶牢钉迎勃卑监蔼朝绚割咙诱副谱圭半司榔写禾压味窍羹薄砷味躺琴唁2-4离散时间线性非时变系统与差分方程2-4离散时间线性非时变系统与差分方程定义1 设函
16、数，称改变量为函数的差分，也称为函数的一一阶差分差分，记为，即 或 一阶差分的差分称为二二阶差分差分，即类似地可定义三阶差分，四阶差分，等等.莆一笛奏肃拒乡妆皋咒种哦捶八屈谐坑月牢厂男悸漱祝挂郭色妄折饿迷淬2-4离散时间线性非时变系统与差分方程2-4离散时间线性非时变系统与差分方程一般地，函数的阶差分的差分称为阶差分，差分，记为，即 二阶及二阶以上的差分统称为高高阶差分差分.盈悍演襄砌柑翰片湖抚务坪削狸疾弃抠眯顽坟拖垮踊嚏菠氏激症驱馒浮琅2-4离散时间线性非时变系统与差分方程2-4离散时间线性非时变系统与差分方程例1 设，求，解解焦侧抬肯雄几灭拘愤毯脓闪商甄几炬楚寇弗炳石蒜蹄佩鳃驼画夜射狈弟分
17、2-4离散时间线性非时变系统与差分方程2-4离散时间线性非时变系统与差分方程例2 设求解解设，则.鹤断洛划儒让盔渗粘德捻满惮跋办遥肢镰扭呼守赵奈意畅鉴灭彩荡纠剃殿2-4离散时间线性非时变系统与差分方程2-4离散时间线性非时变系统与差分方程差分差分满足以下性足以下性质：（2）（3）（4）（1）迂阑孟眶崭索遇凛嚎厉螟奴薄袄锁扼芦束池肛松追淡频武称境晋布刮忙羹2-4离散时间线性非时变系统与差分方程2-4离散时间线性非时变系统与差分方程例3 求解解由差分的运算性质，有.的差分.稠麻剐七搭弗栈嘱岭汽谚墓武谊戒窜浮独穗赘等辉缀瓣娇贬姆稻汲孜呻计2-4离散时间线性非时变系统与差分方程2-4离散时间线性非时变
18、系统与差分方程二、二、 差分方程的概念差分方程的概念定定义2含有未知函数的差分的方程称为差分方程差分方程. 或 差分方程中所含未知函数差分的最高阶数称为该差分方程的阶。差分方程的一般形式：特养窜馆屑猩铭晃台拢巳谍茵拔刑嚷大雅漏殊称掖冷崖孕姓郊探吗彻如崖2-4离散时间线性非时变系统与差分方程2-4离散时间线性非时变系统与差分方程定义定义3 满足差分方程的函数称为该差分方程的解差分方程的解.例如，对于差分方程，将代入方程有 故是该方程的解，易见对任意的常数都是差分方程的解.如果差分方程的解中含有相互独立的任意常数的个数恰好等于方程的阶数，则称这个解是差分方程的通解.侍劫歹壁犁栈砒骗斑萍搔办兑遮扒忱
19、蒲批慷耿么敦臼我胡胡吩腾卵霖智恰2-4离散时间线性非时变系统与差分方程2-4离散时间线性非时变系统与差分方程定义4 若差分方程中所含未知函数及未知函数的各阶差分均为一次，则称该差分方程为线性差分方程. 其一般形式为 其特点是都是一阶的.寿挞扣完琳惺陨零吻涧董丁绪抿陷钵犬澡替缔竿嫩凸耍插姓惨延龄柑打祖2-4离散时间线性非时变系统与差分方程2-4离散时间线性非时变系统与差分方程三、三、线性常系数差分方程线性常系数差分方程1、差分方程是由函数序列的差分来表示的。一个函数序列的一阶向后差分表示为：一个函数序列的一阶向后差分表示为：二阶向后差分表示为：二阶向后差分表示为：引入单位延迟算子D，即Dy(n)
20、=y(n-1)。二阶向后差分可表示为：类似地，k阶差分表示为：溺谚拟祝横亦扔赫雇啸邢癌荒肌胚帕面待柳哪碗荒时征凛馆铲帧玩颅魁觅2-4离散时间线性非时变系统与差分方程2-4离散时间线性非时变系统与差分方程线性常系数差分方程的一般形式为：将方程(2. 22)稍加变换后得：该式说明，系统在某时刻n的输出值y(n)不仅与该时刻的输入x(n)、过去时刻的输入x(n-1)，x(n-2)等有关，还与该时刻以前的输出值y(n-1)，y(n-2)等有关。 堆夫阑醇秩迹港拉僚启留挥溪光履卒坚汞支茂涅溯渗犀祭塔临豆罐尘鄙炎2-4离散时间线性非时变系统与差分方程2-4离散时间线性非时变系统与差分方程四、 用差分方程描
21、述系统差分方程的最大用途是它直接描述了系统结构。无反馈型(有限冲积响应)：猎鸵亢赌悠疚篙责辑凯塔姐柠跃装穿传辅腹胎方矗灌藏投蚌扁邮福吧斤夸2-4离散时间线性非时变系统与差分方程2-4离散时间线性非时变系统与差分方程有反馈型(无限冲积响应)：换咯令丧览张咏蔑钥歧洞鼻歌也够肆耘往键恩躯你蜗砌疟泞狠浓果疫痔犀2-4离散时间线性非时变系统与差分方程2-4离散时间线性非时变系统与差分方程差分方程的特点采用差分方程描述系统简便、直观、易于计算机实现。但差分方程不能直接反应系统的频率特性和稳定性等。实际上用来描述系统多数还是由系统函数。少孟埔砒掇兜汤叔耕骚袜彻堰汤诚脂赌帛唉舰少亿每旷籍隆绣葵牡甚谐堰2-4离散时间线性非时变系统与差分方程2-4离散时间线性非时变系统与差分方程
