《高等数学-重积分的-计算-及应用课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学-重积分的-计算-及应用课件（33页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、高等数学 习题课习题课2一、一、 重积分计算的基本方法重积分计算的基本方法 二、重积分计算的基本技巧二、重积分计算的基本技巧 三、重积分的应用三、重积分的应用 第十章 重积分的 计算 及应用 一、重积分计算的基本方法一、重积分计算的基本方法31. 选择合适的坐标系被积函数用此坐标表示简洁或变量分离.2. 选择易计算的积分序积分域分块要少, 累次积分易算为妙 .图示法列不等式法3. 掌握确定积分限的方法 累次积分法累次积分法二、重积分计算的基本技巧二、重积分计算的基本技巧4分块积分法利用对称性1. 交换积分顺序的方法2. 利用对称性或质心公式简化计算3. 消去被积函数绝对值符号4. 利用重积分换
2、元公式55 5、二重积分的计算、二重积分的计算区域的特点：区域的特点： 穿过区域且平行于平行于y y 轴轴的直线与区域（）直角坐标系下（）直角坐标系下区域的特点区域的特点：穿过区域且平行于x x 轴轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.边界相交不多于两个交点.6（）极坐标系下（）极坐标系下7两个方面。1若 关于 轴对称，时，当 时， 运用对称性时，当则有必须兼顾被积函数与积分区域两个方面的对称性要相匹配，才能利用对87 7、二重积分的应用、二重积分的应用(1) (1) 体积体积设S曲面的方程为：曲面曲面S S的面积为的面积为(2) (2) 曲面面积曲面面积例例1.9计算积分其中D 由所围成 .
3、提示提示: :如图所示连续,所以例例2.2.10计算其中解解: 对于含有绝对值的函数 , 通常分区域积分原式 = 利用极坐标例例3 设 11上连续，试证明证明证明例例4. 计算二重积分12其中:(1) D为圆域(2) D由直线解解: (1) 利用对称性.围成 .(2) 积分域如图:13将D 分为添加辅助线利用对称性 , 得例例4. 计算二重积分其中:(2) D由直线围成 .特别：14轮换对称：轮换对称： 若D关于直线对称，则.例如计算：17例例6解：解：用极坐标计算。 对称。如图D是关于直线例例7. 计算积分18解解: 原式例例8 8.19证明证证: :左端= 右端20方法方法1. 投影法投影
4、法 (“先一后二先一后二” ) 微元线密度记作9 9、三重积分的计算、三重积分的计算21方法方法2. 截面法截面法 (“先二后一先二后一”)为底, d z 为高的柱形薄片质量为该物体的质量为记作22( () ) 柱面坐标柱面坐标( () ) 球面坐标球面坐标轮换对称：轮换对称：23例如计算：设例例1： 24计算解解 由轮换对称有设25例例2 解解被积函数仅为z的函数， 截面为圆域：故采用“先二后一”的方法。26例例3.计算其中是曲线绕轴旋转一周而成的曲面面所围的立体。解：解：绕轴旋转得由旋转面方程为所围成的立体如图.与两平27解解. 用“先二后一”计算例例3. 计算其中是曲线绕轴旋转一周而成的曲面面所围的立体。与两平旋转面方程为三、重积分的应用三、重积分的应用301. 几何方面面积 ( 平面域或曲面域 ) , 体积 , 形心质量, 转动惯量, 质心, 引力 证明某些结论等 2. 物理方面3. 其它方面例例1. 计算二重积分31解解:其中利用对称性利用对称性分区域 D 为(如图) , 则用形心公式用形心公式例例2 232设积分域 D 是以原点为中心, 半径为 r 的圆域 , 则解解: 由积分中值定理可知, 使存在于是 , 原式 =例例3.33解解: 在球坐标系下利用洛必达法则与导数定义,得其中
