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1、第十三章轴对称第十三章轴对称线段的垂直分平分线的性质线段的垂直分平分线的性质湖北省通山县教育局教研室袁观六八年级八年级 上册上册创设情境,引入新知问题问题1如图,小聪在如图,小聪在A处,小明在处,小明在B处,他们两人处,他们两人做抢礼物的游戏,问:礼物放在何处游戏才公平?做抢礼物的游戏,问:礼物放在何处游戏才公平?BA追问什么叫线段的垂直平分线?追问什么叫线段的垂直平分线?BA经过线段中点并且垂直于这条线段的经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线垂直平分线 创设情境,引入新知问题问题2 如图,直线如图,直线l 垂直平分线段垂直平分线段AB,P1,P2
2、,P3,是,是l 上的点,试猜想点上的点,试猜想点P1,P2,P3,到点,到点A 与点与点B 的距的距离之间的数量关系离之间的数量关系.猜想验证,探索性质ABlP1P2P3点点P1 1,P2 2,P3 3,到点,到点A 与点与点B之间的距离之间的距离相等相等追问追问你能用不同的方法验证这一结论吗?你能用不同的方法验证这一结论吗?ABlP1P2P3 如果把线段如果把线段AB沿直线沿直线l对折,线段对折,线段P1 1A与与P1 1B、线段线段P2 2A与与P2 2B、线段、线段P3 3A与与P3 3B都是重合的,因此都是重合的,因此它们也分别相等它们也分别相等猜想验证,探索性质问题问题3 3若在图
3、中的直线若在图中的直线l 上任取一点上任取一点P,那么这一点,那么这一点P与线段与线段AB 两个端点的距离相等吗?由此你能得出线段两个端点的距离相等吗?由此你能得出线段的垂直平分线有什么性质?的垂直平分线有什么性质? 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等的距离相等ABPCl猜想验证,探索性质问题问题4 4你能证明线段的垂直平分线的性质吗?你能证明线段的垂直平分线的性质吗? ABPCl已知:已知:如如图图,直,直线线lAB,垂足,垂足为为C,AC = =CB,点,点P 在在l 上上求求证证:PA = =PB证明:证明:“线段垂直平分线上的点与线段
4、两端点的距线段垂直平分线上的点与线段两端点的距离相等离相等”猜想验证,探索性质问题问题4 4你能证明线段的垂直平分线的性质吗?你能证明线段的垂直平分线的性质吗? 证证明:明:lAB, PCA =PCB又又 AC = =CB,PC = =PC, PCA PCB(SAS) PA = =PBABPCl猜想验证,探索性质线段垂直平分线的性质:线段垂直平分线的性质: 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等相等用符号用符号语语言表示言表示为为: CA = =CB,lAB, PA = =PBABPCl猜想验证,探索性质问题问题5 5“线段垂直平分线上的点
5、与这条线段两个端线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等点的距离相等”的题设和结论分别是什么?交换题设和的题设和结论分别是什么?交换题设和结论,你又能得到一个怎样的命题?结论,你又能得到一个怎样的命题? 结论:结论:与这条线段两个端点的距离相等与这条线段两个端点的距离相等 题设:题设:线段垂直平分线上的点线段垂直平分线上的点 命题:命题:与一条线段两个端点距离相等的点,与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上在这条线段的垂直平分线上猜想验证,探索性质追问追问1 1“与一条线段两个端点距离相等的点,在与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上这条线段的垂直平
6、分线上”这个命题是真命题吗?怎样这个命题是真命题吗?怎样证明?证明?已知:如已知:如图图,PA = =PB求求证证:点:点P 在在线线段段AB 的垂直平分的垂直平分线线上上PAB 猜想验证,探索性质证证明:明:过过点点P 作作线线段段AB 的垂的垂线线PC,垂足垂足为为C则则PCA = =PCB = =90在在RtPCA 和和RtPCB 中,中,PA = =PB,PC = =PC, RtPCA RtPCB(HL) AC = =BC又又 PCAB, 点点P 在在线线段段AB 的垂直平分的垂直平分线线上上PAB C 已知:如已知:如图图,PA = =PB求求证证:点:点P 在在线线段段AB 的垂直
7、平分的垂直平分线线上上猜想验证,探索性质 性质:性质:与一条线段两个端点距离相等的点,与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上在这条线段的垂直平分线上用数学符号表示为用数学符号表示为:PA = =PB,点点P 在在AB 的垂直平分的垂直平分线线上上PAB C 猜想验证,探索性质追问追问2 2“与一条线段两个端点距离相等的点与一条线段两个端点距离相等的点”有多有多少个?这些点组成了什么图形?少个?这些点组成了什么图形? “与一条线段两个端点距离相等的点与一条线段两个端点距离相等的点”有无数有无数个,这些点组成了这条线段的垂直平分线个,这些点组成了这条线段的垂直平分线. .因此,线
8、因此,线段的垂直平分线可以看成与这条线段两端点距离相等段的垂直平分线可以看成与这条线段两端点距离相等的的所有点的集合所有点的集合. .猜想验证,探索性质CABDEFK例例1 1尺规作图:经过已知直线外一点作这条直线尺规作图:经过已知直线外一点作这条直线的垂线的垂线. .运用性质,尺规作图 已知:直线已知:直线AB和和AB外一点外一点C(如图)(如图)求作:求作:AB的垂线,使它经过点的垂线,使它经过点C. 作法:作法:(1)任意取一点)任意取一点K ,使点使点K与点与点C 在在AB的的两旁两旁. . (3)分)分别别以点以点D和点和点E为圆为圆心,心,大于大于 长长为半径作弧为半径作弧,两弧相
9、交于点,两弧相交于点F . . (2)以点)以点C为圆为圆心,心,CK长长为半径为半径作弧作弧,交,交AB于点于点D和和E . . 直直线线CF 就是所求作的垂就是所求作的垂线线. .(4)作)作直线直线CF .(2)为为什么要以大于什么要以大于 的长为半径作弧的长为半径作弧? (3)为为什么直什么直线线CF 就是所求作的垂就是所求作的垂线线?问题问题6 6 (1 1)为什么任意取一点)为什么任意取一点K ,使点,使点K与点与点C 在直线在直线AB两旁?两旁?运用性质,尺规作图综合运用,巩固提高练习练习1.1.如图,如图,ADBC,BD = =DC,点点C 在在AE 的的垂直平分线上,垂直平分
10、线上,AB,AC,CE 的长度有什么关系?的长度有什么关系?AB+ +BD与与DE 有什么关系有什么关系?A B C D E 解:解: AB = =AC = =CE AB = =CE,BD = =DC, AB + +BD = =CD + +CE 即即AB + +BD = =DE 解:解:AB = =AC,点点A 在在BC 的垂直平分的垂直平分线线MB = =MC,点点M 在在BC 的垂直平分的垂直平分线线上,上,直直线线AM 是是线线段段BC 的垂直的垂直 平分平分线线练习练习2.如如图图,AB = =AC,MB = =MC直直线线AM 是是线线段段BC 的垂直平分的垂直平分线吗线吗?A B C D M 综合运用,巩固提高归纳小结,反思提高(1)本)本节课节课学学习习了哪些内容了哪些内容?(2)线线段垂直平分段垂直平分线线的性的性质质和判定是如何得到的?和判定是如何得到的? 两者之两者之间间有什么关系?有什么关系?(3)如何判断一条直)如何判断一条直线线是否是是否是线线段的垂直平分段的垂直平分线线? 教科书习题教科书习题13. .1第第6、9题题 布置作业