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1、1请问：请问：以上三个结论正确吗？为什么以上三个结论正确吗？为什么? 得出以上结论所用的方法有什么共同点和什么不同点得出以上结论所用的方法有什么共同点和什么不同点 问题问题 1：今天，据观察第一个到学校的是男同学，第二个到今天，据观察第一个到学校的是男同学，第二个到学校的也是男同学，第三个到学校的还是男同学，于是得出：这学校的也是男同学，第三个到学校的还是男同学，于是得出：这所学校里的学生都是男同学。所学校里的学生都是男同学。 问题问题 3：教师根据成绩单，逐一核实后下结论：教师根据成绩单，逐一核实后下结论：“全班及格全班及格” 问题问题 2：三角形的内角和为三角形的内角和为180，四边形的内
2、角和为，四边形的内角和为2180,五五边形的内边形的内 角和为角和为3180，于是有：凸，于是有：凸n边形的内角和为边形的内角和为(n-2) 180。 共同点：均用了归纳法得出结论；不同点：问题共同点：均用了归纳法得出结论；不同点：问题1 1、2 2是用的不完全是用的不完全 归纳法，问题归纳法，问题3 3是用的完全归纳法。是用的完全归纳法。一一、提出问题提出问题 1、错、错2、对、对3、对、对2问题情境二：数学家费马运用不完全问题情境二：数学家费马运用不完全归纳法得出费马猜想的事例归纳法得出费马猜想的事例猜想：都是质数法国的数学家费马（法国的数学家费马（PierredeFermat）(1601
3、年年1665年年)。十七世纪最卓越的数学家之一，十七世纪最卓越的数学家之一，他在数学许多领域中都有极大的贡献，他在数学许多领域中都有极大的贡献，因为他的本行是专业的律师，因为他的本行是专业的律师，为了表彰他的数学造诣，为了表彰他的数学造诣，世人冠以世人冠以“业余王子业余王子”之美称，之美称，3二、概念二、概念1、归纳法定义：归纳法定义： 对于某类事物，由它的一些特殊事例或其全部可对于某类事物，由它的一些特殊事例或其全部可能情况能情况，归纳出一般结论的推理方法，叫归纳出一般结论的推理方法，叫归纳法归纳法。2、归纳法分类：、归纳法分类： 归纳法归纳法 完全归纳法完全归纳法不完全归纳法不完全归纳法想
4、一想：由两种归纳法得出的结论一定正确吗？由两种归纳法得出的结论一定正确吗？说说 明：明：（1）不完全归纳法有利于发现问题，但结论）不完全归纳法有利于发现问题，但结论 不一定正确。不一定正确。（2）完全归纳法结论可靠，但一一核对困难。）完全归纳法结论可靠，但一一核对困难。提提出出问问题题如何寻找一种严格推理的归纳法？如何寻找一种严格推理的归纳法？4二、挖掘内涵、形成概念：二、挖掘内涵、形成概念：证明某些与自然数有关的数学题证明某些与自然数有关的数学题, ,可用下列方法来可用下列方法来证明它们的正确性证明它们的正确性: :(1)(1)验证验证当当n n取取第一个值第一个值n n0 0( (例如例如
5、n n0 0=1)=1)时命题成立时命题成立, ,(2)(2)假设假设当当n=k(kn=k(k N N* * ，k k n n0 0 ) )时命题成立时命题成立, , 证明当证明当n=k+1n=k+1时命题也成立时命题也成立完成这两步，就可以断定这个命题对从完成这两步，就可以断定这个命题对从n n0 0开始的所开始的所有正整数有正整数n n都成立。这种证明方法叫做都成立。这种证明方法叫做数学归纳法。数学归纳法。验证验证n=nn=n0 0时命时命题成立题成立若若当当n=k(n=k(k k n n0 0 ) )时命题成立时命题成立, , 证明当证明当n=k+1n=k+1时命题也成立时命题也成立命题
6、对从命题对从n n0 0开始的所开始的所有正整数有正整数n n都成立。都成立。【归纳奠基归纳奠基】【归纳递推归纳递推】5问题情境三问题情境三 多多米米诺诺骨骨牌牌课课件件演演示示63、数学归纳法、数学归纳法思考题：思考题：（1）数学归纳法能证明什么样类型的命题？）数学归纳法能证明什么样类型的命题？（2）数学归纳法有几个步骤？每个步骤说明什么问）数学归纳法有几个步骤？每个步骤说明什么问 题？题？（3）为什么这些步骤缺一不可？）为什么这些步骤缺一不可？（4）数学归纳法是完全归纳法还是不完全归纳法？）数学归纳法是完全归纳法还是不完全归纳法？ 7（二）、数学归纳法的步骤（二）、数学归纳法的步骤根据根据
7、(1)(2)知对任意的知对任意的 时命题成立。时命题成立。注：注：（1）证明当证明当 取第一个值取第一个值 或或 时结论正确时结论正确（2）假设当假设当 时结论正时结论正确，并证明当确，并证明当 时结论也正确。时结论也正确。两个步骤缺一不可：仅靠第一步不能说明结两个步骤缺一不可：仅靠第一步不能说明结论的普遍性；仅有第二步没有第一步，就失论的普遍性；仅有第二步没有第一步，就失去了去了递推的依据递推的依据。只有把第一、二步的结论结合在一起才能得只有把第一、二步的结论结合在一起才能得出普遍性结论。因此完成一二两步后，还要出普遍性结论。因此完成一二两步后，还要做一个做一个总的结论总的结论。（3 3）数
8、学归纳法用来证明与）数学归纳法用来证明与正整数正整数有关的命题。有关的命题。（1）（2）8数学归纳法的应用数学归纳法的应用题型一题型一用数学归纳法证明等式问题用数学归纳法证明等式问题题型二题型二用数学归纳法证明不等式问题用数学归纳法证明不等式问题题型三题型三用数学归纳法证明整除问题用数学归纳法证明整除问题题型四题型四用数学归纳法证明几何问题用数学归纳法证明几何问题题型五题型五用数学归纳法解决探究性问题用数学归纳法解决探究性问题9证明：证明：1、当、当n=1时时,左左=12=1，右，右=n=1时，等式成立时，等式成立2、假设、假设n=k时，等式成立，即时，等式成立，即那么，当那么，当n=k+1时
9、时左左=12+22+k2+(k+1)2= =右右n=k+1时，原等式成立时，原等式成立由由1、2知当知当n N*时，原等式都成立时，原等式都成立例例1.用数学归纳法证明用数学归纳法证明第二步的证明要用上归纳假设!10题型一题型一用数学归纳法证明等式问题用数学归纳法证明等式问题第二步的证明要用上归纳假设!11用数学归纳法证明：证明：证明： 请你来批作业请你来批作业第二步的证明没有用上归纳假设!12例例3、已知正数数列、已知正数数列an中中,前前n项和为项和为sn,且且用数学归纳法证明用数学归纳法证明:证证:(1)当当n=1时时,=1,结论成立结论成立.(2)假设当假设当n=k时时,结论成立结论成
10、立,即即则当则当n=k+1时时,故当故当n=k+1时时,结论也成立结论也成立.根据根据(1)、(2)知知,对一切正整数对一切正整数n,结论都成立结论都成立.第二步的证明要用上归纳假设!13(1)在第二步中在第二步中,证明证明n=k+1命题成立时命题成立时,必须用到必须用到 n=k命题成立这一归纳假设命题成立这一归纳假设,否则就打破数学否则就打破数学 归纳法步骤之间的逻辑严密关系归纳法步骤之间的逻辑严密关系,造成推理无造成推理无 效效. 证明中的几个注意问题：证明中的几个注意问题：(2)在第一步中的初始值在第一步中的初始值不一定从不一定从1取起取起，证明时，证明时 应根据具体情况而定应根据具体情
11、况而定.(3)在证明在证明n=k+1命题成立用到命题成立用到n=k命题成立时命题成立时,要要 分析命题的结构特点分析命题的结构特点,分析分析“n=k+1时时”命题是命题是什么，并找出与什么，并找出与“n=k”时命题形式的差别时命题形式的差别.弄清弄清 应增加的项应增加的项.141）明确首先取值）明确首先取值n0并验证命题真假（必不可少）；并验证命题真假（必不可少）；2）“假设假设n=k时命题正确时命题正确”并写出命题形式；并写出命题形式；3）分析）分析“n=k+1时时”命题是什么，并找出与命题是什么，并找出与“n=k”时命题形时命题形式的差别，弄清左端应增加的项；式的差别，弄清左端应增加的项；
12、4）明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘）明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等；法公式、因式分解、添拆项、配方等；5）两个步骤、一个结论缺一不可，否则结论不能成立：）两个步骤、一个结论缺一不可，否则结论不能成立：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：15 Microsoft Office PowerPoint，是微软公司的演示文稿软件。用户可以在投影仪或者计算机上进行演示，也可以将演示文稿打印出来，制作
13、成胶片，以便应用到更广泛的领域中。利用Microsoft Office PowerPoint不仅可以创建演示文稿，还可以在互联网上召开面对面会议、远程会议或在网上给观众展示演示文稿。 叫演16题型二题型二用数学归纳法证明不等式问题用数学归纳法证明不等式问题17例例5、用数学归纳法证明、用数学归纳法证明:证证:(1)当当n=2时时,左边左边=不等式不等式成立成立.(2)假设当假设当n=k(k2)时不等式成立时不等式成立,即有即有:则当则当n=k+1时时,我们有我们有:题型二题型二用数学归纳法证明不等式问题用数学归纳法证明不等式问题18即当即当n=k+1时时,不等式也成立不等式也成立.由由(1)、
14、(2)原不等式对一切原不等式对一切都成立都成立.例例6、证明不等式、证明不等式:证证:(1)当当n=1时时,左边左边=1,右边右边=2,不等式显然成立不等式显然成立.(2)假设当假设当n=k时不等式成立时不等式成立,即有即有:则当则当n=k+1时时,我们有我们有:19即当即当n=k+1时时,不等式也成立不等式也成立.根据根据(1)、(2)可知可知,原不等式对一切正整数都原不等式对一切正整数都成立成立.20例例7、求证、求证:证证:(1)当当n=2时时,左边左边=,右边右边=,由于由于故不等式成立故不等式成立.(2)假设假设n=k()时命题成立时命题成立,即即则当则当n=k+1时时,21即当即当
15、n=k+1时时,命题成立命题成立.由由(1)、(2)原不等式对一切原不等式对一切都成立都成立.22例例8、已知、已知x 1，且，且x 0，n N，n 2求证：求证：(1+x)n1+nx.（2）假设）假设n=k时，不等式成立，即时，不等式成立，即 (1+x)k1+kx当当n=k+1时，因为时，因为x 1 ，所以，所以1+x0，于是，于是左边左边=(1+x)k+1=(1+x)k(1+x)(1+x)(1+kx)=1+(k+1)x+kx2；右边右边=1+(k+1)x因为因为kx20，所以左边右边，即，所以左边右边，即(1+x)k+11+(k+1)x这就是说，原不等式当这就是说，原不等式当n=k+1时也
16、成立时也成立根据根据(1)和和(2)，原不等式对任何不小于，原不等式对任何不小于2的自然数的自然数n都成立都成立.证明证明： （1）当）当n=2时，左时，左(1x)2=1+2x+x2 x 0， 1+2x+x21+2x=右右 n=1时不等式成立时不等式成立23例例9、已知、已知求证求证:.证证:(1)当当n=2时时,不等式成立不等式成立.(2)假设当假设当n=k(k2)时不等式成立时不等式成立,即即则当则当n=k+1时时,有有:即当即当n=k+1时时,不等式成立不等式成立.由由(1),(2)所证不等式对一切所证不等式对一切都成立都成立.24题型三题型三用数学归纳法证明整除问题用数学归纳法证明整除
17、问题25例例11、用数学归纳法证明、用数学归纳法证明:当当n为正偶数时为正偶数时,xn-yn能被能被x+y整除整除.证证:(1)当当n=2时时,x2-y2=(x+y)(x-y),即能被即能被x+y整除整除,故命故命题成立题成立.(2)假设当假设当n=2k时时,命题成立命题成立,即即x2k-y2k能被能被x+y整除整除.则当则当n=2k+2时时,有有都能被都能被x+y整除整除.故故x2k+2-y2k+2能被能被x+y整除整除,即当即当n=2k+2时命题成立时命题成立.由由(1)、(2)知原命题对一切正偶数均成立知原命题对一切正偶数均成立.26例例12、用数学归纳法证明、用数学归纳法证明:能被能被
18、8整除整除.证证:(1)当当n=1时时,A1=5+2+1=8,命题显然成立命题显然成立.(2)假设当假设当n=k时时,Ak能被能被8整除整除,即即是是8的倍数的倍数.那么那么:因为因为Ak是是8的倍数的倍数,3k-1+1是偶数即是偶数即4(3k-1+1)也是也是8的倍数的倍数,所以所以Ak+1也是也是8的倍数的倍数,即当即当n=k+1时时,命题成立命题成立.由由(1)、(2)知对一切正整数知对一切正整数n,An能被能被8整除整除.27例例13、求证、求证:x3n-1+x3n-2+1能被能被x2+x+1整除整除.证证:(1)当当n=1时时,x3n-1+x3n-2+1=x2+x+1,从而命题成立从
19、而命题成立.(2)假设当假设当n=k时命题成立时命题成立,即即x3k-1+x3k-2+1能被能被x2+x+1整除整除则当则当n=k+1时时,x3(k+1)-1+x3(k+12+1=x3k+2+x3k+1+1=x3(x3k-1+x3k-2+1)-x3+1=x3(x3k-1+x3k-2+1)-(x-1)(x2+x+1)因为因为x3k-1+x3k-2+1、x2+x+1都能被都能被x2+x+1整除整除,所以上式右边能被所以上式右边能被x2+x+1整除整除.即当即当n=k+1时时,命题成立命题成立.根据根据(1)、(2)知知,对一切正整数对一切正整数n,命题成立命题成立.28题型四题型四用数学归纳法证明
20、几何问题用数学归纳法证明几何问题29例例15、平面内有、平面内有n (n 2)条直线，任何两条都不平行，任条直线，任何两条都不平行，任何三条不过同一点，问交点的何三条不过同一点，问交点的 个数个数 为多少为多少?并证明并证明.当当n=k+1n=k+1时：第时：第k+1k+1条直线分别与前条直线分别与前k k条直线各交于条直线各交于一点，共增加一点，共增加k k个点，个点，由由1 1）、）、2 2）可知，对一切）可知，对一切nNnN原命题均成立。原命题均成立。证明：证明：1 1）n=2n=2时：两条直线交点个数为时：两条直线交点个数为1,1, 而而f(2)= f(2)= 2 2(2-1)=1,
21、(2-1)=1, 命题成立。命题成立。 k+1 k+1条直线交点个数条直线交点个数=f(k)+k= k(k-1)+k=f(k)+k= k(k-1)+k = k(k-1+2)= k(k+1)= (k+1)(k+1)-1=f(k+1), = k(k-1+2)= k(k+1)= (k+1)(k+1)-1=f(k+1), 即当即当n=k+1n=k+1时命题仍成立。时命题仍成立。2 2）假设）假设n=k(kNn=k(kN,k2,k2) )时，时，k k条直线交点个数为条直线交点个数为 f(k)= k(k-1),f(k)= k(k-1),题型四题型四用数学归纳法证明几何问题用数学归纳法证明几何问题30题型
22、五题型五用数学归纳法解决探究性问题用数学归纳法解决探究性问题3132题型五题型五用数学归纳法解决探究性问题用数学归纳法解决探究性问题33例例18、是否存在常数、是否存在常数a、b,使得等式使得等式:对一切正整数对一切正整数n都成立都成立,并证明你的结论并证明你的结论.解解:令令n=1,2,并整理得并整理得以下用数学归纳法证明以下用数学归纳法证明:(1)当当n=1时时,由上面解法知结论正确由上面解法知结论正确.题型五题型五用数学归纳法解决探究性问题用数学归纳法解决探究性问题34(2)假设当假设当n=k时结论正确时结论正确,即即:则当则当n=k+1时时,故当故当n=k+1时时,结论也正确结论也正确.根据根据(1)、(2)知知,对一切正整数对一切正整数n,结论正确结论正确.35
