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1、 2.3 矩阵的矩阵的Jordan标准形标准形定义定义： 称称 阶矩阵阶矩阵为为Jordan块块。设。设 为为Jordan块，块，称准对角形矩阵称准对角形矩阵为为Jordan标准形矩阵标准形矩阵。由前面的例题和定理。由前面的例题和定理可知每个可知每个Jordan块的初等因子为块的初等因子为，从而，从而Jordan标准形矩阵的初等因子为标准形矩阵的初等因子为于是可以得到下面的定理于是可以得到下面的定理定理：定理： 设设 的初等因子为的初等因子为则则，这里，这里其中其中 我们称我们称 是矩阵是矩阵 的的Jordan标准形标准形。特别地，我们有特别地，我们有定理：定理： 可以对角化的充分必要条件是可
2、以对角化的充分必要条件是的初等因子都是一次因式。的初等因子都是一次因式。例例 1 求矩阵求矩阵的的Jordan标准形。标准形。解：解： 先求出先求出 的初等因子。对的初等因子。对 运用初等变换可以得到运用初等变换可以得到所以所以 的初等因子为的初等因子为故故 的标准形为的标准形为或或例例 2 求矩阵求矩阵的的Jordan标准形。标准形。解：解： 先求出先求出 的初等因子。对的初等因子。对 运运用初等变换可以得到用初等变换可以得到所以所以 的初等因子为的初等因子为故故 的的Jordan标准形为标准形为或或练习：练习： 求矩阵求矩阵的的Jordan标准形。标准形。求求Jordan标准形的另一种方法
3、：标准形的另一种方法：特征矩阵秩的特征矩阵秩的方法方法.具体操作步骤：具体操作步骤：（1）先求出该矩阵的特征多项式及其特征值。）先求出该矩阵的特征多项式及其特征值。（2）其）其Jordan标准形的主对角线上都是标准形的主对角线上都是 的的特征值，并且特征值特征值，并且特征值 在主对角线上出现的次在主对角线上出现的次数等于数等于 作为特征根的重数。对于每个特征值作为特征根的重数。对于每个特征值 ，求出以它为主对角元的各阶，求出以它为主对角元的各阶Jordan 块的数目块的数目 ，首先求出，首先求出 那么以那么以 为主对角元的为主对角元的 Jordan 块的总数是块的总数是这里这里 为该矩阵的阶数
4、，而以为该矩阵的阶数，而以 为主对角为主对角元的元的 阶阶 Jordan 块的数目是块的数目是依次先求出依次先求出直至满足条件直至满足条件为止。为止。（3）根据第二步求出的各阶）根据第二步求出的各阶Jordan块的数目，块的数目，就可以写出就可以写出 的一个的一个Jordan标准形。标准形。例例 1 用矩阵秩的方法求出矩阵用矩阵秩的方法求出矩阵的的Jordan标准形。标准形。解：解： 先求出先求出 的特征多项式及其特征值。的特征多项式及其特征值。 对于特征值对于特征值 ，它是，它是 的的1重根，重根，从而从而 在在 的的 Jordan 标准形的主对角线上标准形的主对角线上出现一次，因此出现一次
5、，因此 中主对角元为中主对角元为1 的的Jordan块块只有一个且它为一阶的。只有一个且它为一阶的。对于特征值对于特征值 ，先求，先求 所以所以 从而从而特征值特征值 是是 的两重根，从而的两重根，从而 在在 的的Jordan标准形标准形 的主对角线上出现两的主对角线上出现两次，因此次，因此 中主对角元为中主对角元为 3的的Jordan块只有一块只有一个且它为二阶的。故个且它为二阶的。故 的标准形为的标准形为或或练习：练习：用矩阵秩的方法求出矩阵用矩阵秩的方法求出矩阵的的Jordan标准形。标准形。例例 3 用矩阵秩的方法求出矩阵用矩阵秩的方法求出矩阵的的Jordan标准形。标准形。解：解：首
6、先求出其特征值，显然其特征多项式为首先求出其特征值，显然其特征多项式为所以所以 为为 的的4重根，从而重根，从而 在在 的的 Jordan 标准形标准形 的主对角线上出现四次，下的主对角线上出现四次，下面计算面计算 中主对角元为中主对角元为1 的的Jordan块的数目，块的数目，先计算先计算 ， 容易得到容易得到那么中主对角元为那么中主对角元为 的的Jordan块数是块数是由此立即可得其由此立即可得其Jordan标准形为标准形为如何求相似变换矩阵？如何求相似变换矩阵？ 设设 阶方阵阶方阵 的的Jordan标准形为标准形为 ,则则存在可逆矩阵存在可逆矩阵 使得使得，称称 为为相似变换矩阵相似变换
7、矩阵。对于相似变换矩阵。对于相似变换矩阵的一般理论我们不作过多的讨论，只通过具的一般理论我们不作过多的讨论，只通过具体的例题说明求体的例题说明求 的方法。的方法。例例 1 求方阵求方阵的的Jordan标准形及其相似变换矩阵标准形及其相似变换矩阵 。解：解： 首先用初等变换法求其首先用初等变换法求其Jordan标准形标准形：故故 的初等因子为的初等因子为从而从而 的的Jordan标准形为标准形为 再求相似变换矩阵：再求相似变换矩阵： 设所求矩阵为设所求矩阵为 ，则，则 ，对于，对于 按列分块记为按列分块记为于是有于是有从而可得从而可得整理以后可得三个线性方程组整理以后可得三个线性方程组前面的两个
8、方程为同解方程组，可以求出它前面的两个方程为同解方程组，可以求出它们的一个基础解系：们的一个基础解系：可以取可以取 ，但是不能简单地取，但是不能简单地取，这是因为如果，这是因为如果 选取不当会使得第三个选取不当会使得第三个非齐次线性方程组无解。非齐次线性方程组无解。由于由于的任意线性组合都是前两个方程组的解，所的任意线性组合都是前两个方程组的解，所以应该取以应该取 使得第三个非齐次方程有解，即其系数矩阵使得第三个非齐次方程有解，即其系数矩阵与增广矩阵有相同地秩，容易计算出其系数与增广矩阵有相同地秩，容易计算出其系数矩阵的秩为矩阵的秩为1，从而应该使得增广矩阵，从而应该使得增广矩阵 的秩也为的秩
9、也为1。即。即容易看出只需令容易看出只需令 就会使得上就会使得上述矩阵的秩为述矩阵的秩为1，于是，于是再由第三个方程解出一个特解为再由第三个方程解出一个特解为，那么所求相似变换矩阵为那么所求相似变换矩阵为练习：练习：求方阵求方阵的的Jordan标准形及其相似变换矩阵标准形及其相似变换矩阵 。解：解： 首先用初等变换法求其首先用初等变换法求其Jordan标准形标准形：故故 的初等因子为的初等因子为从而从而 的的Jordan标准形为标准形为 再求相似变换矩阵：再求相似变换矩阵： 设所求矩阵为设所求矩阵为 ，则，则 ，对于，对于 按列分块记为按列分块记为于是有于是有从而可得从而可得整理以后可得三个线
10、性方程组整理以后可得三个线性方程组前面的两个方程为同解方程组，可以求出它前面的两个方程为同解方程组，可以求出它们的一个基础解系：们的一个基础解系：可以取可以取 ，但是不能简单地取，但是不能简单地取，这是因为如果，这是因为如果 选取不当会使得第三个非选取不当会使得第三个非齐次线性方程组无解。由于齐次线性方程组无解。由于的任意线性组合都是前两个方程组的解，所以的任意线性组合都是前两个方程组的解，所以应该取应该取 使得第三个非齐次方程有解，即其系数矩阵与使得第三个非齐次方程有解，即其系数矩阵与增广矩阵有相同地秩，容易计算出其系数矩阵增广矩阵有相同地秩，容易计算出其系数矩阵的秩为的秩为1，从而应该使得
11、增广矩阵，从而应该使得增广矩阵的秩也为的秩也为1。即。即容易看只要容易看只要 就会使得上述增广矩就会使得上述增广矩阵的秩为阵的秩为1。令。令 ，于是，于是再由第三个方程解出一个特解为再由第三个方程解出一个特解为，那么所求相似变换矩阵为那么所求相似变换矩阵为从而有从而有一般地一般地，设，设 ，则存在，则存在 阶可逆矩阵阶可逆矩阵 使得使得其中其中 为为Jordan块，记块，记这里这里那么有那么有记记 ，又可得，又可得注意注意： 是矩阵是矩阵 的对应于特征值的对应于特征值 的特的特征向量，特征向量征向量，特征向量 的选取应该保证向量的选取应该保证向量 可以求出，同样向量可以求出，同样向量 的选取应
12、该保证向量的选取应该保证向量 可以求出，依此类推，并且使得可以求出，依此类推，并且使得线性无关。线性无关。Jordan标准形的某些应用标准形的某些应用例例 1 对于方阵对于方阵求求 。解：解：首先用初等变换法求其首先用初等变换法求其Jordan标准形：标准形：故故 的初等因子为的初等因子为从而从而 的的Jordan标准形为标准形为再求相似变换矩阵再求相似变换矩阵 且且 ，那么，那么 按照前面例题的方式，容易计算出按照前面例题的方式，容易计算出 从而例例 2 求解常系数线性微分方程组求解常系数线性微分方程组解：解： 令令那么此方程组可表示成那么此方程组可表示成由前面的例题可知存在由前面的例题可知
13、存在使得使得作线性替换作线性替换从而可得从而可得整理即得方程整理即得方程首先得到两个很显然的解首先得到两个很显然的解然后再解第三个方程然后再解第三个方程其解为其解为这样得到这样得到即即其中其中 为任意常数。为任意常数。例例 3 设设 为数域为数域 上的上的 阶方阵且满足阶方阵且满足 ，证明：，证明： 与对角矩阵与对角矩阵 相似。相似。证明：证明：设设 的的Jordan标准形为标准形为即有可逆矩阵即有可逆矩阵 使得使得由于由于 ，所以有，所以有从而从而 即即因此，只有当因此，只有当 为一阶矩阵时上面的矩阵等为一阶矩阵时上面的矩阵等式才成立且式才成立且 ，所以有，所以有这说明这说明 为一个对角矩阵
14、且主对角线上的元为一个对角矩阵且主对角线上的元素只能为素只能为1 或或0，适当地调换主对角线上的元，适当地调换主对角线上的元素次序可以得到方阵素次序可以得到方阵此矩阵仍然与此矩阵仍然与 相似。相似。例例 4 设设 为数域为数域 上的上的 阶方阵且存在阶方阵且存在正整数正整数 使得使得 ，证明：，证明： 与对角矩与对角矩阵相似且主对角线上的元素均为阵相似且主对角线上的元素均为 次单位根。次单位根。证明：证明：设设 的的Jordan标准形为标准形为即有可逆矩阵即有可逆矩阵 使得使得由于由于 ，所以有，所以有从而有从而有因此，只有当因此，只有当 为一阶矩阵时上面的矩阵等式为一阶矩阵时上面的矩阵等式才成立，这样有才成立，这样有 ，这表明，这表明 为对角矩为对角矩阵，所以阵，所以 与对角矩阵相似。与对角矩阵相似。例例 5 试写出试写出Jordan标准形均为标准形均为的两个矩阵。的两个矩阵。
