课时6 力的合成与分解 ►基础梳理◄1．矢量和标量既有大小又有方向，且合成时遵循平行四边形定则的物理量叫矢量，如力、速度等；只有大小没有方向的物理量叫标量，如时间、长度、质量、温度等． 2．合力和力的合成一个力产生的效果如果跟几个力共同作用时产生的效果相同，这个力就叫那几个力的合力．求几个力的合力叫力的合成． ►疑难详析◄1．矢量与标量的区别(1)表示方法不同．矢量既有大小，又有方向，用一根带箭头的线段来表示，线段的长短表示矢量的大小，箭头表示矢量的方向，如力的图示；标量只在数值后面带上单位即可，如某物体的质量m＝5 kg；(2)运算规则不同．标量的运算属于代数运算，同类标量，只要单位相同就可以直接相加减；矢量的运算要遵循平行四边形定则(或三角形定则)，合矢量与分矢量的关系就是平行四边形的对角线和两个邻边之间的关系； (3)两个概念中正负号的含义不同．矢量中的负号表示矢量的方向和规定的正方向相反，和大小无关；标量中的负号，表示标量的大小．(4)需要特别注意的是，高中阶段有个别标量属于双向标量，例如电流I、穿过某个面的磁通量Φ，它的方向和矢量的方向有本质的区别． 2．力的平行四边形定则(1)力的平行四边形定则：求两个互成角度的共点力的合力，可以用表示这两个力的线段为邻边作平行四边形，合力的大小和方向就可以用这个平行四边形的对角线表示出来．如图1，矢量的合成与分解都遵从平行四边形定则(可简化成三角形定则)． (2)平行四边形定则实质上是一种等效替换的方法．一个矢量(合矢量)的作用效果和另外几个矢量(分矢量)共同作用的效果相同，就可以用这一个矢量代替那几个矢量，也可以用那几个矢量代替这一个矢量，而不改变原来的作用效果．(3)在分析同一个问题时，合矢量和分矢量不能同时使用．也就是说，在分析问题时，考虑了合矢量就不能再考虑分矢量；考虑了分矢量就不能再考虑合矢量． 3．共点力合成的计算(1)同一直线上两个力的合成：同方向时F＝F1＋F2；反方向时F＝|F1－F2|，方向和较大的力方向相同．(2)互成角度的两力合成：求两个互成角度的共点力F1，F2的合力，可以把F1，F2的线段作为邻边作平行四边形，它的对角线即表示合力的大小和方向． ►深化拓展◄合力大小范围的确定方法(1)共点的两个力(F1、F2)的合力(F)的大小，与它们的夹角(θ)有关；θ越大，合力越小，θ越小，合力越大．F1与F2同向时合力最大；F1与F2反向时合力最小，合力的取值范围是：|F1－F2|≤F≤F1＋F2.合力可能比分力大，也可能比分力小，也可能等于某一分力．(2)共点的三个力，如果任意两个力的大小之和大于或等于第三个力，那么这三个共点力的合力可能等于零． ►基础梳理◄1．分力与力的分解如果几个力的作用效果跟原来一个力的作用效果相同，这几个力叫原来那个力的分力．求一个力的分力叫做力的分解．2．力的分解与力的合成的关系力的分解是力的合成的逆运算，也遵从平行四边形定则． ►疑难详析◄1．力的分解的唯一性与多解性 图2两个力的合力唯一确定，但一个力的两个分力不一定唯一确定，即已知一条确定的对角线，可以作出无数个平行四边形，如果没有条件限制，一个已知力可以有无数对分力．若要得到确定的解，则须给出一些附加条件： (2)已知一个分力的大小和方向，力的分解也是唯一的．(3)已知一个分力F1的方向和另一个分力F2的大小，对力F进行分解，如图2则有三种可能：(F1与F的夹角为θ)①F2F)．如图3所示，分别以F的始端、末端为圆心，以F1、F2为半径作圆，两圆有两个交点，所以F分解为F1、F2有两种情况．图3 (5)存在极值的几种情况①已知合力F和一个分力F1的方向，另一个分力F2存在最小值．②已知合力F的方向和一个分力F1，另一个分力F2存在最小值． 2．一个已知力按力的效果进行分解的方法在实际问题中，一个力如何分解，应按下述步骤：(1)先根据力的实际作用效果确定两个实际分力的方向；(2)再根据两个分力的方向画出平行四边形，且注意标度的选取；(3)根据平行四边形和学过的数学知识求出两个分力的大小和方向．求解方法：①平行四边形法；②正弦定理法；③相似三角形法；④余弦定理法． ►深化拓展◄图4如何将一个力进行正交分解求多个共点力的合力时，如果连续运用平行四边形定则求解，计算过程十分复杂，如果采用力的正交分解法求合力，计算过程就十分简单．如图4，其基本步骤是： (1)建立正交正方向(x轴、y轴)．通常选共点力的作用点为坐标原点，坐标轴的方向的选择则应根据实际问题来确定．原则是使坐标轴与尽可能多的力重合，即使需要向两坐标轴投影分解的力尽可能少，在处理静力学问题时，通常选用水平方向和竖直方向上的直角坐标，当然在其他方向较简便时，也可选用；(2)分解与坐标轴方向不重合的力；(3)沿着坐标轴方向求合力Fx、Fy； (4)求Fx、Fy的合力F，F与Fx、Fy的关系如下：F＝ ，其方向为tanα＝Fy/Fx注意：如果F合＝0，则必然Fx＝0，Fy＝0，这是处理多力作用下物体的平衡问题的常用规律． 题型一 力的合成 图5 [解析] 由图5可知，两根钢丝绳的拉力F1和F2之间的夹角为60°，可根据平行四边形定则用作图法和解三角形法求出电线杆受到的合力． 图6 法1：作图法，如图6a所示，自O点引两条有向线段OC和OD，夹角为60°，设定每单位长度表示100 N，则OC和OD的长度都是3个单位长度，作出平行四边形OCED，其对角线OE就表示两个拉力F1、F2的合力F，量得OE长为5.2个单位长度．所以合力F＝100×5.2 N＝520 N.用量角器量得∠COE＝∠DOE＝30°所以合力方向竖直向下． 法2：计算法．先画出力的平行四边形，如图6b所示，由于OC＝OD，所以得到的是菱形．连结CD、OE，两对角线垂直且平分，OD表示300 N，∠COO′＝30°，在三角形OCO′中，OO′＝OCcos30°.在力的平行四边形中，各线段的长表示力的大小则有 ＝F1cos30°所以合力F＝2F1cos30°＝2×300× N≈520 N.[答案] 520 N 方向竖直向下 题后反思：力的合成方法有“作图法”和“计算法”，两种解法各有千秋.“作图法”形象直观，一目了然，但不够精确，误差大；“计算法”是先作图，再解三角形，似乎比较麻烦，但计算结果更准确.今后我们遇到的求合力问题，多数都用计算法，即根据平行四边形定则作出平行四边形后，通过解其中的三角形求合力.在这种情况下作的是示意图，不需要很严格，但要规范，明确哪些该画实线，哪些该画虚线，箭头应标在什么位置等. 如图7甲所示，物体受到大小相等的两个拉力的作用，每个拉力均为200 N，两个力之间的夹角为60°，求这两个拉力的合力．图7 解析：根据平行四边形定则，作出示意图图7乙，它是一个菱形，我们可以利用其对角线垂直平分，通过解其中的直角三角形求合力．F＝2F1cos30°＝200 N＝346 N合力与F1，F2的夹角均为30°. 一个物体受三个共点力的作用，它们的大小分别为F1＝7 N、F2＝8 N、F3＝9 N．求它们的合力的取值范围？ 解析：因三个共点力的大小已知，方向未知．所以三力方向相同时，合力最大Fmax＝F1＋F2＋F3＝7＋8＋9＝24(N)而三个力的合力最小值确定，可求两个的合力范围．∴1 N≤F12≤15 N而F3在F1、F2合力的范围内，所以三个力合力的最小值Fmin＝0∴0 ≤F≤24 N.答案：0≤F≤24 N 题型二 按力的实际作用效果分解力图8[例2] 如图8所示，光滑斜面的倾角为θ，有两个相同的小球，分别用光滑挡板A、B挡柱，挡板A沿竖直方向．挡板B垂直于斜面，则两挡板受到小球压力的大小之比为__________，斜面受到两个小球压力大小之比为 [解析] 本题考查的是如何根据实际效果分解重力，应注意球与接触面间作用力的特点．球1重力分解如图9甲所示，F1＝Gtanθ，F2＝ ；球2重力分解如图乙所示，F1′＝Gsinθ，F2′＝Gcosθ. 图9 题后反思：(1)弹力的方向一定与接触面或接触点的切面垂直.(2)力产生的作用效果是进行力的分解的重要依据，根据作用效果先判断分力的方向，再用平行四边形定则求解. 两光滑平板MO、NO构成一具有固定夹角θ0＝75°的V形槽，一球置于槽内，用θ表示NO板与水平面之间的夹角，如图10甲所示．若球对板NO压力的大小正好等于球所受重力的大小，则下列θ值中哪个是正确的( ) 图10 A．15° B．30°C．45° D．60°解析：利用平行四边形定则将重力G按其作用效果分解为使球压紧挡板OM和ON的压力FM和FN，如图乙所示，FN大小正好等于球所受的重力的大小，则α＝β，又由几何关系知α＋θ＝180°－75°，α＋β＋θ＝180°.以上三式联立可得θ＝30°.答案：B 题型三 正交分解法的应用图11[例3] 质量为m的木块，在与水平夹角为θ的推力F作用下，沿水平地面做匀速运动，(如图11所示)．已知木块与地面间的动摩擦因数为μ，那么木块受到的滑动摩擦力应为 ( ) A．μmgB．μ(mg＋Fsinθ)C．μ(mg－Fsinθ)D．Fcosθ图12 [解析] 木块匀速运动时受到四个力的作用：重力mg、支持力FN、摩擦力Ff、推力F，建立如图12所示的坐标系，因木块做匀速运动，所有：Fcosθ＝FfFN＝mg＋Fsinθ又∵Ff＝μFN∴Ff＝μ(mg＋Fsinθ)，故BD答案是正确的．[答案] BD 题后反思：在对实际问题的求解中，可以用合成法，也可以用分解法，还可以用正交分解法，要善于根据题目要求，灵活选择解题方法,一般来说，在研究多个共点力作用的力学问题时，选用正交分解法比较方便. (2009.浙江高考)如图13所示，质量为m的等边三棱柱静止在水平放置的斜面上．已知三棱柱图13 与斜面之间的动摩擦因数为μ，斜面的倾角为30°，则斜面对三棱柱的支持力与摩擦力的大小分别为 ( ) 解析：本题考查力的平衡，意在考查考生受力分析的能力和理解平衡的条件．等边三棱柱静止在斜面上，处于平衡状态，故所受合力为零，由受力分析可知其受重力、弹力和静摩擦力，画出受力分析图可知斜面对三棱柱的支持力FN＝mgcos30°＝ mg，摩擦力F1＝mgsin30°＝ mg，A正确．答案：A 1.(2010.山东潍坊质检)若两个力F1、F2的夹角为α(90°<α<180°)，且α保持不变，则 ( )A．一个力增大，合力一定增大B．两个力都增大，合力一定增大C．两个力都增大，合力可能减小D．两个力都增大，合力可能不变 图14解析：参照图14分析：保持F1与F1和F2的夹角α不变，当F2增至F2′时，F1和F2的合力F变为F′，由图象可直观看出F>F′，即两分力中一个力增大，合力不一定增大．同理可分析出：两个力都增大，合力可能增大，可能减小，也可能不变，故C、D两项正确．答案：CD 图15 2.(2010.湖北黄石期中)如图15所示，重力为G的物体静止在倾角为α的斜面上，将重力G分解为垂直斜面向下的力F1和平行斜面向下的力F2，那么 ( )A．F1就是物体对斜面的压力B．物体对斜面的压力方向与F1方向相同，大小为GcosαC．F2就是物体受到的静摩擦力D．物体受到重力、斜面对物体的支持力、静摩擦力、F1和F2共五个力的作用 解析：某几个真实力的合力或某一真实力的分力，是为了研究问题方便而假想的力，实际上是不存在的，以本题为例，真实力G的两分力F1和F2是实际上并不存在的力，应与其他实际力区别开来，题中A、C两项将两个并不存在的力“F1和F2”与真实力“物体对斜面的压力和物体受到的静摩擦力”混为一谈，显然是错误的．由物体的平衡以及牛顿第三定律的知识，可以判断B项正确．答案：B 3．受斜向上的恒定拉力作用，物体在粗糙水平面上做匀速直线运动，则下列说法正确的是 ( )A．拉力在竖直方向的分量一定大于重力B．拉力在竖直方向的分量一定等于重力C．拉力在水平方向的分量一定大于摩擦力D．拉力在水平方向的分量一定等于摩擦力图16 解析：对物体进行受力分析如图16所示，由平衡条件得Fcosθ＝fN＋Fsinθ＝G故D正确．答案：D 图174．在建筑工地上有时需要将一些建筑材料由高处送到低处，为此工人们设计了一种如图17所示的简易滑轨：两根圆柱形木杆AB和CD互相平行(杆的长度不变)，斜靠在竖直的墙壁上，把一摞瓦片放在两木杆构成的滑轨上，瓦片将沿滑轨滑到低处．在实际操作中发现瓦片滑到底端时速度较大，有可能摔坏，为了防止瓦片被摔坏，下列措施中可行的是 ( ) A．减小每次运送瓦片的块数B．增多每次运送瓦片的块数C．减小两杆间的距离D．增大两杆间的距离图18 解析：防止瓦片被摔坏，则要求瓦片滑下的速度越小越好，在瓦片的位移一定的情况下，就要求其加速度越小越好．对瓦片受力分析，由牛顿第二定律有mgsinα－(Ff1＋Ff2)＝ma，要使加速度减小，则要增大杆和瓦片之间的摩擦力，那么就要增大正压力．由图18知，FN1和FN2的合力大小为mgcosα，则当FN1和FN2的夹角越大时，FN1和FN2就越大．当两杆的距离增加时，夹角增大，则D对．由以上分析知，改变瓦片的块数并不能改变它下滑的加速度，则A、B错．答案：D 5．如图19所示为一攀岩运动员正在竖直岩壁上攀登，由于身背很重的行装，重心上移至肩部的O点，总质量为75 kg.此时手臂与身体垂直．手臂与岩壁夹角θ为60°，求此时手受到的拉力和脚受到的作用力．(设手受到的拉力和脚受到的作用力均通过重心O，g取10 m/s2) 解析：对运动员进行受力分析如图20所示，根据平衡条件正交分解得：Fsin60°＝FNsin30°，Fcos60°＋FNcos30°＝mg.解得F＝ mg＝375 N，FN＝375 N.图19 图20 。
