第十一讲优化与数值积分

《第十一讲优化与数值积分》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第十一讲优化与数值积分（42页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、第十一讲 优化、数值积分与常微分方程数值解9/7/20249/7/20241第十一讲 优化、数值积分与常微分方程数值解11.1 无约束优化11.2 约束线性优化11.3 二次规划11.4 非线性方程求解11.5 数值积分的理论和方法11.6 数值积分的Matlab实现11.7 常微分方程数值解9/7/2024211.1 无约束优化形如：min f(x), x=(x1,xn)T的优化问题常称为无约束线性规划，实际上是多元函数的无条件极值问题，极值的点是局部最优解，全局最优解只能从局部最优解中比较得到，以下所谓最优解均指局部最优解9/7/2024311.1 无约束优化1. fminbnd功能：计算

2、非线性一元函数最小值。格式： X,FVAL = fminbnd(fun,x1,x2) 例：计算函数f(x)=(x3+x2-1)/(exp(x)+exp(-x)的最小值和最小值点，-5=x fun=(x3+x2-1)/(exp(x)+exp(-x); ezplot(fun) x,fval,exitflag=fminbnd(fun,-5,5)x = -3.3112fval = -0.9594exitflag = 19/7/2024511.1 无约束优化2. fminsearch功能：计算多元函数最小值。格式：X = fminsearch(fun,X0); X,fval,exitflag= fmin

3、search(.)例：求点(x1,x2)使目标函数f(x)取得最小值： f(x)=sin(x1)+cos(x2)9/7/2024611.1 无约束优化x0=0,0; fun=sin(x(1)+cos(x(2); x,fval,exitflag=fminsearch(fun,x0)x = -1.5708 3.1416fval = -2.0000exitflag = 19/7/2024711.2 约束线性优化约束优化即为含有一定条件的优化问题，其一般形式为若f,gi是线性函数，则称此模型为线性规划，否则称为非线性规划。9/7/2024811.2 约束线性优化linprog功能：约束线性优化。格式：

4、X= linprog(f,A,b,Aeq,beq) X= linprog(f,A,b,Aeq,beq,LB,UB) 这里，由Aeq与beq 确定了等式约束，LB，UB确定了x的范围，x0为初值。9/7/2024911.2 约束线性优化例：Min 5x1+4x2+2x3S.t 6x1-x2+3x3=8 x1+2x2+4x3=10 -1=x1=3 0=x2=09/7/20241011.2 约束线性优化clear f=-5 4 2; A=6 -1 1;1 2 4; b=8;10; lb=-1 0 0; ub=3,2;9/7/20241111.2 约束线性优化 x,f=linprog(f,A,b,lb

5、,ub)Optimization terminated.x = 1.3333 0.0000 0.000f = -6.66679/7/20241211.3 二次规划对于非线性规划，常见的是二次规划，其一般模型为： min f(x)= 0.5 xTHx+cx s.t. AX b特别，当H为正定矩阵时，目标函数为凸函数，线性约束下可行域为凸集，此时称凸二次规划。9/7/20241311.3 二次规划1. quadprog功能：求解二次规划问题格式：X= quadprog(H,f,A,b) X= quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq) X= quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq

6、,LB,UB) X= quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,LB,UB,X0)9/7/20241411.3 二次规划例：9/7/20241511.3 二次规划h=1 -1;-1 2; c=-2;-6; a=1 1;-1 2;2 1; b=2;2;3; lb=0 0; x,f=quadprog(h,c,a,b,lb)x =0.6667 1.3333f =-8.22229/7/20241611.4 非线性方程求解1.fzero功能：求非线性方程的近似解格式：x=fzero(f,x0) X,FVAL= fzero(f,.)例： x,f=fzero(sin,2)x =3.1416f =1.

7、2246e-0169/7/20241711.4 非线性方程求解2.fsolve功能：求非线性方程的近似解格式：x=fsolve(f,x0) X,FVAL=fsolve(f,X0,.)例： x,f=fsolve(cos(x)+x,1)x =-0.7391f =-2.8460e-0109/7/20241811.5数值积分的理论和方法9/7/20241911.5数值积分的理论和方法9/7/20242011.5数值积分的理论和方法9/7/20242111.5数值积分的理论和方法9/7/20242211.5数值积分的理论和方法9/7/20242311.6数值积分的Matlab实现 1. 一元函数的数值积

8、分函数1 quad、quadl功能 数值定积分，自适应Simpleson积分法。格式 q = quad(fun,a,b) %近似地从a到b计算函数fun的数值积分，误差为10-6。若给fun输入向量x，应返回向量y，即fun是一单值函数。9/7/20242411.6数值积分的Matlab实现 q = quad(fun,a,b,tol) %用指定的绝对误差tol代替缺省误差。tol越大，函数计算的次数越少，速度越快，但结果精度变小。 q = quad(fun,a,b,tol,trace,p1,p2,) %将可选参数p1,p2,等传递给函数fun(x,p1,p2,)，再作数值积分。若tol= 或t

9、race= ，则用缺省值进行计算。9/7/20242511.6数值积分的Matlab实现q,n = quad(fun,a,b,) %同时返回函数计算的次数n = quadl(fun,a,b,) %用高精度进行计算，效率可能比quad更好。例2-40fun = inline(3*x.2./(x.3-2*x.2+3);Q1 = quad(fun,0,2) % Q1=3.7224 Q2 = quadl(fun,0,2) % Q2=3.72249/7/20242611.6数值积分的Matlab实现函数2 trapz功能 梯形法数值积分格式 T = trapz(Y) %用等距梯形法近似计 算 Y的 积

10、分 。 若 Y是 一 向 量 ， 则trapz(Y)为Y的积分；若Y是一矩阵，则trapz(Y)为Y的每一列的积分。9/7/20242711.6数值积分的Matlab实现 T = trapz(X,Y) %用梯形法计算Y在X点上的积分。若X为一列向量，Y为矩阵，且size(Y,1) = length(X)，则对Y的每一列积分。9/7/20242811.6数值积分的Matlab实现2 二元函数重积分的数值计算函数 dblquad功能 矩形区域上的二重积分的数值计算格式 q = dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax) %调 用 函 数 quad在 区 域 xmin,xmax

11、, ymin,ymax上计算二元函数z=f(x,y)的二重积分。9/7/20242911.6数值积分的Matlab实现 q=dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,tol) 用指定的精度tol代替缺省精度10-6，再进行计算。 q=dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,tol,methoq=dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,tol,method)d) %用指定的算法method代替缺省算法quad。method的取值有quadl。9/7/20243011.6数值积分的Matlab实现q=dblquad(fun,xm

12、in,xmax,ymin,ymax,tol,method,p1,p2,) %将可选参数p1,p2,.等传递给函数fun(x,y,p1,p2,)。若tol=，method=，则使用缺省精度和算法quad。如：fun = inline(y./sin(x)+x.*exp(y); Q = dblquad(fun,1,3,5,7)计算结果为：Q = 3.8319e+0039/7/20243111.6数值积分的Matlab实现 q=dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,tol,methodq=dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,tol,method)

13、) %用指定的算法method代替缺省算法。method的取值有缺省算法或用户指定的、与缺省命令有相同调用次序的函数句柄。 q=dblquad(fun,xlower,xupper,ymin,ymax,tol,method,p1,p2,q=dblquad(fun,xlower,xupper,ymin,ymax,tol,method,p1,p2,) %将可选参数p1,p2,.等传递给函数fun(x,y,p1,p2,)。若tol=，method=，则使用缺省精度和算法。9/7/20243211.7 常微分方程数值解函数 ode45, ode45, ode23, ode23, ode113, ode1

14、13, ode15s, ode15s, ode23s, ode23s, ode23t, ode23tbode23t, ode23tb功能 常微分方程（ODE）组初值问题的数值解参数说明：solver为命令ode45、de23,ode113,ode15s,ode23s, ode23t, ode23tb之一。Odefun 为显式常微分方程y=f(t,y)。9/7/20243311.7 常微分方程数值解 TspanTspan 积 分 区 间 （ 即 求 解 区 间 ） 的 向 量tspan=t0,tf。要获得问题在其他指定时间点t0,t1,t2,上的解，则令tspan=t0,t1,t2,tf（要求是

15、单调的）。 Y0Y0 包含初始条件的向量。 Options Options 用命令odeset设置的可选积分参数。 P1,p2,P1,p2, 传递给函数odefun的可选参数。9/7/20243411.7 常微分方程数值解格式 T,Y T,Y = = solver(odefun,tspan,y0)solver(odefun,tspan,y0) %在区间tspan=t0,tf上，从t0到tf，用初始条件y0求解显式微分方程y=f(t,y)。对于标量t与列向量y，函数f=odefun(t,y)必须返回一f(t,y)的列向量f。解矩阵Y中的每一行对应于返回的时间列向量T中的一个时间点。要获得问题在其

16、他指定时间点t0,t1,t2,上的解，则令tspan=t0,t1,t2,tf（要求是单调的）。9/7/20243511.7 常微分方程数值解 T,Y T,Y = = solver(odefun,tspan,y0,options)solver(odefun,tspan,y0,options) %用参数options（用命令odeset生成）设置的属性（代替了缺省的积分参数），再进行操作。常用的属性包括相对误差值RelTol（缺省值为1e-3）与绝对误差向量AbsTol（缺省值为每一元素为1e-6）。 T,Y=solver(odefun,tspan,y0,options,p1,T,Y=solver

17、(odefun,tspan,y0,options,p1,p2p2) ) 将参数p1,p2,p3,.等传递给函数odefun，再进行计算。若没有参数设置，则令options=。9/7/20243611.7 常微分方程数值解1求解具体ODE的基本过程：（1）根据问题所属学科中的规律、定律、公式，用微分方程与初始条件进行描述。 F(y,y,y,y(n),t) = 0 y(0)=y0,y(0)=y1,y(n-1)(0)=yn-1 而y=y;y(1);y(2);,y(m-1)，n与m可以不等9/7/20243711.7 常微分方程数值解（2）运用数学中的变量替换：yn=y(n-1),yn-1=y(n-2

18、),y2=y,y1=y，把高阶（大于2阶）的方程（组）写成一阶微分方程组： ， 9/7/20243811.7 常微分方程数值解（3）根据（1）与（2）的结果，编写能计算导数的M-函数文件odefile。（4）将文件odefile与初始条件传递给求解器Solver中的一个，运行后就可得到ODE的、在指定时间区间上的解列向量y（其中包含y及不同阶的导数）。2求解器Solver与方程组的关系表见下表 9/7/202439函数指令函数指令含含 义义函函 数数含含 义义求求解解器器Solverode23普普通通2-3阶阶法法解解ODEodefile包含包含ODE的文件的文件ode23s低低阶阶法法解解刚

19、刚性性ODE选选项项odeset创创建建、更更改改Solver选选项项ode23t解解 适适 度度 刚刚 性性ODEodeget读取读取Solver的设置值的设置值ode23tb低低阶阶法法解解刚刚性性ODE输输出出odeplotODE的时间序列图的时间序列图ode45普普通通4-5阶阶法法解解ODEodephas2ODE的二维相平面图的二维相平面图ode15变变阶阶法法解解刚刚性性ODEodephas3ODE的三维相平面图的三维相平面图ode113普普通通变变阶阶法法解解ODEodeprint在命令窗口输出结果在命令窗口输出结果9/7/20244011.7 常微分方程数值解3因为没有一种算法

20、可以有效地解决所有的ODE问题，为此，MATLAB提供了多种求解器Solver，对于不同的ODE问题，采用不同的Solver。9/7/202441求解器SolverODE类型特点说明ode45非刚性一 步 算 法 ； 4， 5阶Runge-Kutta方程；累计截断误差达(x)3大部分场合的首选算法ode23非刚性一 步 算 法 ； 2， 3阶Runge-Kutta方程；累计截断误差达(x)3使用于精度较低的情形ode113非刚性多步法；Adams算法；高低精度均可到10-310-6计算时间比ode45短ode23t适度刚性采用梯形算法适度刚性情形ode15s刚性多步法；Gears反向数值微分；精度中等若ode45失效时，可尝试使用ode23s刚性一步法；2阶Rosebrock算法；低精度当精度较低时，计算时间比ode15s短ode23tb刚性梯形算法；低精度当精度较低时，计算时间比ode15s短9/7/202442