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1、3.43.4基本不等式基本不等式20022002年国际数学家大会会标年国际数学家大会会标 创设情境、体会感知创设情境、体会感知：三国时期三国时期吴国的数学家赵爽吴国的数学家赵爽思考：这会标中含有思考：这会标中含有怎样的几何图形？怎样的几何图形？思考：你能否在这个图思考：你能否在这个图案中找出一些相等关系案中找出一些相等关系或不等关系？或不等关系？一一 、探究探究问问2 2：RtABF,RtBCG,RtCDH,RtADERtABF,RtBCG,RtCDH,RtADE是全等三角是全等三角形，它们的面积总和是形，它们的面积总和是S=S=问问1 1：在正方形在正方形ABCDABCD中中, ,设设AF=
2、a,BF=b,AF=a,BF=b,则则AB=AB=则正方形的面积为则正方形的面积为S=S=。问问3 3：观察图形：观察图形S S与与SS有什么样的大有什么样的大小关系？小关系？ 易得，易得，s s,s s,即即ADCBHGFE问问4 4：那么它们有相等的情况吗？那么它们有相等的情况吗？何时相等？何时相等？变化的弦图变化的弦图结论：结论：一般地，对于任意实数一般地，对于任意实数a a、b b，我们有，我们有 当且仅当当且仅当a=ba=b时，等号成立时，等号成立问问5 5：当当a,ba,b为任意实数时，为任意实数时， 还成立吗？还成立吗？形数此不等式称为此不等式称为重要不等式重要不等式2.代数意义
3、：代数意义：几何平均数小于等于算术平均数几何平均数小于等于算术平均数2.代数证明:3.几何意义：几何意义：半弦长小于等于半径半弦长小于等于半径（当且仅当当且仅当a=b时时，等号成立等号成立）二二、新课讲解新课讲解1.1.思考思考: :如果用如果用 去替换去替换 中的中的 , , 能得到什么结论能得到什么结论? ? 必须要满足什么条件必须要满足什么条件? ?算术平均数算术平均数几何平均数几何平均数基本不等式基本不等式3.几何证明:从数列角度看从数列角度看:两个正数的等比中项小于等于它们的两个正数的等比中项小于等于它们的等差中项等差中项基本不等式：基本不等式：当且仅当当且仅当a =b时，等号成立时
4、，等号成立.当且仅当当且仅当a=b时，等号成立时，等号成立.重要不等式：重要不等式：注意：注意：（1）不同点：两个不等式的）不同点：两个不等式的适用范围适用范围不同。不同。（2）相同点：当且仅当）相同点：当且仅当a=b时，等号成立。时，等号成立。构造条件构造条件三三、应用应用例例1、若若 ,求求 的最小的最小值值.变变3:若若 ,求求 的最小值的最小值.变变1:若若 求求 的最小值的最小值变变2:若若 ,求求 的最小值的最小值.发现运算结构，应用不等式发现运算结构，应用不等式问问:在结论成立的基础上在结论成立的基础上,条件条件“a0,b0”可以变化吗可以变化吗？三三、应用应用例例2、已知已知
5、,求函数求函数 的最大值的最大值.变式变式:已知已知 ,求函数求函数 的最大值的最大值.发现运算结构，应用不等式发现运算结构，应用不等式应用要点：应用要点：一正一正 二定二定 三相等三相等例例3 3：（1 1）用用篱篱笆笆围围成成一一个个面面积积为为100m100m的的矩矩形形菜菜园园，问问这这个个矩矩形形的的长长、宽宽各各为为多多少少时时，所所用用篱笆最短。最短的篱笆是多少？篱笆最短。最短的篱笆是多少？解：设矩形菜园的长为解：设矩形菜园的长为x mx m，宽为，宽为y my m， 则则xy=100xy=100，篱笆的长为，篱笆的长为2 2（x+yx+y）m.m. 等号当且仅当等号当且仅当x=
6、yx=y时成立，此时时成立，此时x=y=10x=y=10. . 因此，这个矩形的长、宽都为因此，这个矩形的长、宽都为10m10m时，所用的篱笆最时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是短，最短的篱笆是40m. 40m. 结论结论1 1：两个正变量两个正变量积为定值积为定值，则，则和有最小值和有最小值，当且仅当两值相等时取最值。当且仅当两值相等时取最值。（2 2）用一段长为）用一段长为36m36m的篱笆围成一个矩形菜园，的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？面积最大，最大面积是多少？解：设矩形菜园的长为解：设矩形
7、菜园的长为x mx m，宽为，宽为y my m， 则则 2（ x + y ）= 36 , x + y = 18矩形菜园的面积为矩形菜园的面积为xymxym2 2=18/2=9得得 xy 81 xy 81当且仅当当且仅当x=y,x=y,即即x=y=9x=y=9时，等号成立时，等号成立 因此，这个矩形的长、宽都为因此，这个矩形的长、宽都为9m9m时，菜园面积最大，时，菜园面积最大，最大面积是最大面积是81m81m2 2结论结论2 2：两个正变量两个正变量和为定值和为定值，则，则积有最大值积有最大值，当且仅当两值相等时取最值。当且仅当两值相等时取最值。1、本节课主要内容？、本节课主要内容？你会了你会
8、了吗？吗？四、四、小结小结2 2、两个结论、两个结论: :（1 1）两个正数积为定值，和有最小值。）两个正数积为定值，和有最小值。 （2 2）两个正数和为定值，积有最大值。）两个正数和为定值，积有最大值。1. 1. 两个不等式两个不等式（1 1）（2 2） 当且仅当当且仅当a=ba=b时，等号成立时，等号成立注意：注意：1.1.两公式条件，前者要求两公式条件，前者要求a,ba,b为实数；后者要求为实数；后者要求a,ba,b为正数。为正数。 2. 2.公式的正向、逆向使用的条件以及公式的正向、逆向使用的条件以及“=”“=”的成立条件。的成立条件。2.2.不等式的简单应用：主要在于不等式的简单应用
9、：主要在于求最值求最值 把握把握 “七字方针七字方针” ” 即即 “一正，二定，三相等一正，二定，三相等”1.1.x x0, 0, 当当x x取何值时，取何值时， 的值最小？最小的值最小？最小值是多少？值是多少？2.2.已知直角三角形的面积等于已知直角三角形的面积等于5050，两条直角边各，两条直角边各为多少时为多少时, ,两条直角边的和最小，最小值是多两条直角边的和最小，最小值是多少？少？3.3.用用20cm20cm长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应怎样折？怎样折？ 作业作业(课本100页)1.设设 0， 0，若，若 是是 与与 的等比中的等比中项项，则则得
10、最小值为（得最小值为（ ）A. 8 B. 4 C. 1 D. （2009年天津理年天津理6）B证明证明:要证要证只要证只要证 ( ) 要要证，只要，只要证 ( ) 要要证，只要，只要证（ ) 显然显然: : 是成立的是成立的, ,当且仅当当且仅当 时时中的等号成立中的等号成立. .证明:当 时, . oabABPQ如图如图,AB,AB是圆是圆o o的的直径，直径，Q Q是是ABAB上任上任一点，一点，AQ=AQ=a a,BQ=,BQ=b b, ,过点过点Q Q作垂直于作垂直于ABAB的弦的弦PQPQ，连，连AP,BPAP,BP, ,则半弦则半弦PQ=PQ=_,_,半径半径AO=AO=_几何意义：几何意义：圆的半径不小于圆内半弦长圆的半径不小于圆内半弦长动态演示你能用这个图得出基本你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗不等式的几何解释吗? ?
