《数学 第三章 导数及其应用 3.3 导数在研究函数中的应用 3.3.2 函数的极值与导数1 新人教A版选修1-1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学 第三章 导数及其应用 3.3 导数在研究函数中的应用 3.3.2 函数的极值与导数1 新人教A版选修1-1（21页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.3.2 3.3.2 函数的极值函数的极值与导数与导数aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf(x)0f(x)0)0 , ,那么函那么函数数y=y=f(xf(x) ) 在为这个区间内的在为这个区间内的增函数增函数; ;如果在这个区间内如果在这个区间内ff( (x x)0)0那么函数那么函数y=y=f(xf(x) )在为这个区间内的在为这个区间内的减函数减函数. .一、知识回顾一、知识回顾: :如果在某个区间内恒有如果在某个区间内恒有 ,则则 为常数为常数.求函数单调区间的步骤求函数单调区间的步骤第第1 1步：步：求函数的导函数；求函数的导函数；第第2 2步：步：求导函数的零点求导函数的
2、零点( (如果导函数在定义如果导函数在定义域上非正或非负域上非正或非负, ,直接判断增减直接判断增减) )；第第3 3步：步：用导函数的零点将函数的定义域分用导函数的零点将函数的定义域分成若干个区间成若干个区间( (导函数不存在的点也要作为导函数不存在的点也要作为划分区间的端点考察划分区间的端点考察) )；第第4 4步：步：通过导函数在各个区通过导函数在各个区间的符号确定函数单调区间间的符号确定函数单调区间. .特别注意特别注意: :原函数的定义域原函数的定义域思考思考1： 观察下图，当观察下图，当t=t0时时,运动员距水面运动员距水面的高度最大的高度最大,那么函数那么函数 h（t）在此点的导
3、数是多）在此点的导数是多少呢？此点附近的图象有什么特点？相应地，导少呢？此点附近的图象有什么特点？相应地，导数的符号有什么变化规律？数的符号有什么变化规律？问题问题2：我们知道正弦函数的五点作图法是利用我们知道正弦函数的五点作图法是利用函数的五个关键点作出图形的函数的五个关键点作出图形的, ,利用图象的关键点利用图象的关键点与导数的关系与导数的关系, ,你能作出函数你能作出函数 的图的图象吗象吗? 上述作图中，图象的关键点十分重要，这些关键点与上述作图中，图象的关键点十分重要，这些关键点与函数的导数有何联系？我们将进行研究函数的导数有何联系？我们将进行研究 x(-,0) 0(0,2) 2 (2
4、,+) y + 0 - 0 + y 7 -1 二、新课二、新课函数的极值函数的极值: :o oa aX X1 1X X2 2X X3 3X X4 4b bax xy y如图如图: 探索思考：探索思考： y=f(x)在这些点的导数值是多少？在这些点附近，在这些点的导数值是多少？在这些点附近，y=f(x)的导数的符号有什么规律？的导数的符号有什么规律？ o oa aX X1 1X X2 2X X3 3X X4 4b bax xy y如图如图: 探索思考：探索思考：函数在函数在 X X2 2处的函数值比它附近所有各点的函数值都小，处的函数值比它附近所有各点的函数值都小， f(X X2 2)=0，而且
5、在，而且在 X X=X X2 2的左侧的左侧f (x)0.我们把点我们把点X X1 1叫做叫做y=f(x)的极大值点的极大值点,f (X X1 1)叫函数叫函数y=f(x)的极大值的极大值;点点 X X2 2叫做叫做y=f(x)的极小值点的极小值点,f (X X2 2)叫函数叫函数y=f(x)的极小值的极小值;以以X X1 1 ，X X2 2两点为例：函数在两点为例：函数在X X1 1 处的函数值比它附近所有各点处的函数值比它附近所有各点的函数值都大，的函数值都大， f(X X1 1)=0,而且在而且在 X X=X X1 1的左侧的左侧f(x)0，右侧右侧f(x)0 右侧右侧 f(x)0 ,
6、那么那么f(x0)是极大值是极大值;(2):如果在如果在x0附近的左侧附近的左侧 f(x)0 , 那么那么f(x0)是极小值是极小值.解方程解方程f(x)=0.当当f(x)=0时时:注意：注意：极值可能在函数不可导的点取到极值可能在函数不可导的点取到.如：如： x(-,-a) -a(-a,0)(0,a) a(a,+) f(x) + 0 - - 0 + f(x) 极大值极大值-2a 极小值极小值2a 故当故当x=-a时时,f(x)有极大值有极大值f(-a)=-2a;当当x=a时时,f(x)有极小值有极小值f(a)=2a.（注：利用奇函数求更易注：利用奇函数求更易）解解:函数的定义域为函数的定义域
7、为令令 ,解得解得x1=-a,x2=a(a0).当当x变化时变化时, ,f(x)的变化情况如下表的变化情况如下表:思考：函数的极大值一定大于极小值吗？思考：函数的极大值一定大于极小值吗？补充例题补充例题2:已知函数已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在在x=1处有极处有极值为值为10,求求a、b的值的值.解解: =3x2+2ax+b=0有一个根有一个根x=1,故故3+2a+b=0.又又f(1)=10,故故1+a+b+a2=10.由由、解得解得 或或当当a=-3,b=3时时, ,此时此时f(x)在在x=1处处无无极值极值,不合题意不合题意.当当a=4,b=-11时时,-3/11x1时时,
8、,此时此时x=1是是极极值点值点.故所求的解为故所求的解为a=4,b=-11.练习练习3:求函数求函数 的极值的极值.解解:令令 =0,解得解得x1=-1,x2=1.当当x变化时变化时, ,y的变化情况如下的变化情况如下表表: x x(-,-1)(-,-1) -1 -1(-1,1)(-1,1) 1 1 (2,+) (2,+)yy - - 0 0 + + 0 0 - - y y 极小值极小值-3-3 极大值极大值3 3 因此因此, ,当当x=1x=1时有极大值时有极大值, ,并且并且,y,y极大值极大值=3;=3;而而, ,当当x=-1x=-1时有极小值时有极小值, ,并且并且,y,y极小值极小
9、值=- 3.=- 3.练习练习2求下列函数的极值点：补充例补充例4:已知函数已知函数f(x)=-x3+ax2+b. (1)若函数若函数f(x)在在x=0,x=4处取得极值处取得极值,且极小值且极小值 为为-1,求求a、b的值的值. (2)若若 ,函数函数f(x)图象上的任意一点的切线图象上的任意一点的切线 斜率为斜率为k,试讨论试讨论k-1成立的充要条件成立的充要条件 . 解解:(1)由由 得得x=0或或x=2a/3.故故4a/3=4, a=6.由于当由于当x0时时, 故当故当x=0时时, f(x)达到极小值达到极小值f(0)=b,所以所以b=-1.(2)等价于当等价于当 时时,-3x2+2a
10、x-1恒成立恒成立,即即g(x)= 3x2-2ax-10对一切对一切 恒成立恒成立.由于由于g(0)=-10,故只需故只需g(1)=2-2a0,即即a1.反之反之,当当a1时时,g(x)0对一切对一切 恒成立恒成立.所以所以,a1是是k-1成立的充要条件成立的充要条件. 解法解法2:分离变量也可通过函数值域求出分离变量也可通过函数值域求出a的范围的范围.(2)等价于当等价于当 时时,-3x2+2ax-1恒成立恒成立,即即2ax3x2-1恒成立，显然当恒成立，显然当x=0时，不等式恒成立时，不等式恒成立当当 时，不等式化为时，不等式化为 令令 反之反之,当当a1时时,g(x)0对一切对一切 恒成立恒成立.所以所以,a1是是k-1成立的充要条件成立的充要条件.
