D极限存在准则及两个重要极限实用教案

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1、例例1. 证明证明(zhngmng)证: 利用(lyng)夹逼准则 .且由第1页/共49页第一页,共50页。2. 函数函数(hnsh)极限存在的夹极限存在的夹逼准则逼准则准则(zhnz)1.且第2页/共49页第二页,共50页。例2. 求解: 令则利用夹逼准则(zhnz)可知第3页/共49页第三页,共50页。3.准则准则2(单调有界数列单调有界数列(shli)必有极限必有极限)( 证明(zhngmng)略 )Mx1x5x4x3x2xna第4页/共49页第四页,共50页。第5页/共49页第五页,共50页。第6页/共49页第六页,共50页。二、二、两个两个(lin)重要极限重要极限注 第7页/共49

2、页第七页,共50页。圆扇形(shn xn)AOB的面积证: 当即亦即时,显然(xinrn)有AOB 的面积(min j)AOD的面积故有注 第8页/共49页第八页,共50页。如何(rh)计算:公式(gngsh)的推广:如果(rgu)请 公式的特点!注意第9页/共49页第九页,共50页。例例3.求求解: 例4. 求解: 令则因此(ync)原式注意:变量代换也是一种(y zhn)很有用的方法第10页/共49页第十页,共50页。例例5.求求解: 原式 =例6. 已知圆内接正 n 边形面积(min j)为证明(zhngmng): 证: 说明: 计算(j sun)中注意利用第11页/共49页第十一页,共

3、50页。例例7.求求解: 例8. 求解:原式第12页/共49页第十二页,共50页。例. 求 解:因为(yn wi)所以(suy),第13页/共49页第十三页,共50页。解例 当 时,求第14页/共49页第十四页,共50页。第15页/共49页第十五页,共50页。2.证: 利用(lyng)二项式公式 , 有第16页/共49页第十六页,共50页。大 大 正又比较(bjio)可知第17页/共49页第十七页,共50页。根据根据(gnj)准则准则 2 可知数列可知数列即有极限(jxin) .又内容(nirng)小结 注:这个极限值被瑞士欧拉(Euler)首先用字母e表示,它是一个无理数, 其值用e = 2

4、.7182818284)来表示.第18页/共49页第十八页,共50页。2.证: 当时, 设则第19页/共49页第十九页,共50页。当则从而(cng r)有故说明(shumng): 此极限也可写为:时, 令更一般(ybn)地有:第20页/共49页第二十页,共50页。例例9.求求解: 令则说明(shumng) :若利用则 原式第21页/共49页第二十一页,共50页。例例10.求求解: 原式 =第22页/共49页第二十二页,共50页。例11求极限(jxin)解第23页/共49页第二十三页,共50页。例11 (复利息问题)设银行(ynhng)将数量为A0的款贷出,每期利率为 r.若一期结算一次,则t 期后连本带利可收回 若每期结算(ji sun) m 次,则 t 期后连本带利可收回 现实生活中一些事物的生长 (r0) 和衰减 (r0) 和衰减 (r0)就遵从这种规律,而且是立即产生立即结算。例如细胞的繁殖、树木生长、物体冷却、放射性元素的衰减等。与此相反,若已知未来值At求现在值A0,则称贴现问题第五十页,共50页。

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