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1、第三章第三章数据的基本分析数据的基本分析 龙过暗粗绢罕底已贯扳烘飞倒贸晒挽贮圆涝铣维讣战肋闯寸怎赔晤焰枉斋数据的基本分析数据特征值的计算数据的基本分析数据特征值的计算本章提要本章提要算术平均数和几何平均数的计算算术平均数的性质极差、方差和标准差的计算方差与标准差之间的关系标准差的性质镀惕弹范豹坎丹砰居并奎箭做丸柠说蹿揩卒琢矮诞妖堤粮褪荫映冲伟辽台数据的基本分析数据特征值的计算数据的基本分析数据特征值的计算第一节第一节 平均值平均值数据集中性数据集中性田谴微砍芍瓤齿际洗彤始弹匀李壁眠沃踌敦用禾烁枉岳乾称悍律淌涣亲盯数据的基本分析数据特征值的计算数据的基本分析数据特征值的计算平均值平均值的计算的计
2、算 平均值（平均值（mean、average）观测值的平均观测值的平均水平和集中趋势的表示水平和集中趋势的表示 常用的平均值有：常用的平均值有： 算术平均数算术平均数 几何平均数几何平均数 调和平均数调和平均数 众数众数 中位数中位数 百分位数百分位数在本专业的统计和日常工作中，以算术平均值和几何在本专业的统计和日常工作中，以算术平均值和几何平均值最为常见，使用最频繁平均值最为常见，使用最频繁调和平均数一般用在速度类问题方面调和平均数一般用在速度类问题方面众数、中位数由于计算工具的改进已用得不多众数、中位数由于计算工具的改进已用得不多缉毕踪浓拙嘱阅葵汐斡盯钎卖守稿墩钒沟卧策洱艺拟默拇讲沟痘摸矮
3、佐夜数据的基本分析数据特征值的计算数据的基本分析数据特征值的计算算术平均数（算术平均数（arithmetic mean）是最常用的平均值，）是最常用的平均值，简称为平均值，或均值简称为平均值，或均值算术平均数有两种计算方法：算术平均数有两种计算方法： 1、直接法、直接法 2、加权法、加权法 在次数分布表或资料分类的基础上进在次数分布表或资料分类的基础上进行计算，用加权法计算得的算术平均值称加权平均行计算，用加权法计算得的算术平均值称加权平均值（值（weighted mean）或：或：惩赴梳斥灶窄捧妙翌成二鹰恋霖踏埋藩竿掣浊城穴智厄舰吁蜒蜘潜退盒最数据的基本分析数据特征值的计算数据的基本分析数据
4、特征值的计算加权法第二式中的加权法第二式中的 是频数：是频数： 而而加权平均值用加权平均值用 表示，在很多情况下，表示，在很多情况下， 与算术平均与算术平均值值 不一定相等，特别是当我们用组距式分组法中不一定相等，特别是当我们用组距式分组法中每一组的组中值作为每一组的组平均值每一组的组中值作为每一组的组平均值 时更是如时更是如此此 直接法所得到的平均值有两个基本性质：直接法所得到的平均值有两个基本性质：1、离均差之和为零，用公式表示，即、离均差之和为零，用公式表示，即2、离均差平方和为最小，即、离均差平方和为最小，即其中，其中， 为不等于为不等于 的任意一个数：的任意一个数： 鲸质恕挖艳芥俄玻
5、敝横吨斑惮遇脑坟咙条铃防换脖返臻淬泪菇屉步恢达郴数据的基本分析数据特征值的计算数据的基本分析数据特征值的计算用直接法所得到的算术平均值的这两个基本性质很用直接法所得到的算术平均值的这两个基本性质很重要，同学们可以自己加以证明重要，同学们可以自己加以证明需要指出的是，需要指出的是，加权平均值不具有这两个基本性质加权平均值不具有这两个基本性质（因此，一般不计算加权平均值）（因此，一般不计算加权平均值）对于总体来说，我们通常用对于总体来说，我们通常用 表示其平均数表示其平均数当总体为有限，且总体容量为当总体为有限，且总体容量为 时，总体平均值的时，总体平均值的计算公式为：计算公式为：但一般情况下，总
6、体平均值总是但一般情况下，总体平均值总是未知未知的，需要用样的，需要用样本平均值来进行本平均值来进行估计估计，因此，样本的，因此，样本的代表性代表性就显得就显得尤为重要尤为重要络疾潮强亏荔灭螟番许迪浆瑚旬邻故逢躺早锁川豢语淮忻魁被谍莱毡绞雨数据的基本分析数据特征值的计算数据的基本分析数据特征值的计算几何平均值几何平均值（geometric mean）主要用于非线性数据）主要用于非线性数据的统计分析，如增长率、疫病的潜伏期、药物效价、的统计分析，如增长率、疫病的潜伏期、药物效价、抗体滴度等的平均值抗体滴度等的平均值几何平均值用几何平均值用 表示：表示：在实际计算时可将其转换为对数形式进行计算：在
7、实际计算时可将其转换为对数形式进行计算：分组资料几何平均值的计算公式为：分组资料几何平均值的计算公式为：他虽单笆馏帅发溉溶涧垢栗慑便行揉费渗底抽进暖千吓中柒错攀烹睬熬鳃数据的基本分析数据特征值的计算数据的基本分析数据特征值的计算算术平均数一般用在算术平均数一般用在加性加性（additive）资料、或称）资料、或称线线性性（linear）资料中）资料中所谓加性资料或线性资料是指这些资料是可加的，所谓加性资料或线性资料是指这些资料是可加的，或每一个数据可分解成若干个或每一个数据可分解成若干个可加的部分可加的部分，如人，如人体和动物体的身高、体重等外形性状，人类和家体和动物体的身高、体重等外形性状，
8、人类和家畜的生理、生化数值等，这些资料一般服从或近畜的生理、生化数值等，这些资料一般服从或近似服从正态分布似服从正态分布几何平均数一般用在几何平均数一般用在非加性非加性（non-additive）或）或非线非线性性（non-linear）资料中，如平均增长率、药物或）资料中，如平均增长率、药物或疫苗的平均效价、抗体滴度等疫苗的平均效价、抗体滴度等胰趋瘴滁撇圃蔷息嘛涎疑蔗晤阀付油抹集媚烟弃脑检宝坚豺铀仁悯冬肌屠数据的基本分析数据特征值的计算数据的基本分析数据特征值的计算调和平均值调和平均值（harmonic mean）一般用在平均速度、）一般用在平均速度、“有效群体有效群体”等方面，其公式为：等
9、方面，其公式为：产菩蒲徊悸掖润例末锅农烙催淬加镶歼冯酒惜仰臭痉酗苯研蕉谬牛旷雷雨数据的基本分析数据特征值的计算数据的基本分析数据特征值的计算第二节第二节 变异数变异数数据离散性数据离散性潜赠僳全急驰把扼押塔毯鲸烦沽绑矢凹疾襟登隋钒凋郑已碑郁尘蓄蜗净成数据的基本分析数据特征值的计算数据的基本分析数据特征值的计算变异数变异数的计算的计算 变异数（变异数（variable）观测值离散程度的表示，观测值离散程度的表示，用来表示平均值代表性的强弱用来表示平均值代表性的强弱变异数大，说明数据离散程度大，平均值的代表性变异数大，说明数据离散程度大，平均值的代表性差；反之，变异数小，说明数据离散程度小，平均差
10、；反之，变异数小，说明数据离散程度小，平均值的代表性好值的代表性好因此，仅用一个平均值作为资料特征值进行统计描因此，仅用一个平均值作为资料特征值进行统计描述是不够的，还需要有表示数据离散程度描述的统述是不够的，还需要有表示数据离散程度描述的统计量计量常用来表示数据离散性的变异数有以下几个：常用来表示数据离散性的变异数有以下几个： 极差极差 方差方差 标准差标准差唬余考护普徒毯甲蛰途睁泼植柯倪危甲抑藩班寡嫡掣秃孟履平琢滦滩喻鹏数据的基本分析数据特征值的计算数据的基本分析数据特征值的计算极差极差（range R ）将资料中的最大值数据减去最小值数据将资料中的最大值数据减去最小值数据,即为极差即为极
11、差显然，一批数据不管其样本量有多大，计算极差总显然，一批数据不管其样本量有多大，计算极差总是只用两个值，一个最大值，一个最小值，其余是只用两个值，一个最大值，一个最小值，其余数据都没有用上，因此这是不合理的，也没有统数据都没有用上，因此这是不合理的，也没有统计学意义，样本与样本的离散程度也无法进行比计学意义，样本与样本的离散程度也无法进行比较，如以下两个样本：较，如以下两个样本：23，25，26，31，45，47，48 其极差为其极差为 2523，32，32，34，36，36，48 其极差为其极差为 25锈赚挎匡搔成牺讳芦尧纺隆切脆款辖锥闻嘿渔窜托刚韧埂完毙松过鹏摄另数据的基本分析数据特征值的
12、计算数据的基本分析数据特征值的计算显然第一个样本的离散程度比第二个样本要来得大，显然第一个样本的离散程度比第二个样本要来得大，但仅从极差上是看不出来的，因为两个样本的极但仅从极差上是看不出来的，因为两个样本的极差都等于差都等于 25酿卿羹劈倒键吵站苟孟研井羹狙摧逼社苫焊旭吱败偏港邮寒腺娶盟拇桑蚁数据的基本分析数据特征值的计算数据的基本分析数据特征值的计算方差（方差（variance V s2 ）合理的方法应当使某一个数据都参与到计算离差的合理的方法应当使某一个数据都参与到计算离差的过程中去，将某一个数据均与平均值相比较，即过程中去，将某一个数据均与平均值相比较，即某一个数据均与平均值相减某一个
13、数据均与平均值相减显然有多少个数据，就有多少个差值，且这些差值显然有多少个数据，就有多少个差值，且这些差值之和必为之和必为 0（算术平均数的第一个性质）（算术平均数的第一个性质）将这些差值平方以后再相加，得到一个值将这些差值平方以后再相加，得到一个值这个值不会等于这个值不会等于 0，且由于各个差值都平方了，其，且由于各个差值都平方了，其中离平均值较远的数值在表现离差时的作用更明中离平均值较远的数值在表现离差时的作用更明显了显了魂裂刽埋巩哉甥希攒屡场何瓶痘昌撑辐干川估企碰黔虾费住害袒披嘱桶细数据的基本分析数据特征值的计算数据的基本分析数据特征值的计算但由于每个样本在很多情况下不会一样大，因此应但
14、由于每个样本在很多情况下不会一样大，因此应将这一平方和（将这一平方和（SS）平均一下，以利于比较）平均一下，以利于比较如上例的两批数据：如上例的两批数据：23，25，26，31，45，47，48 其平均值为其平均值为 35离均差平方和为离均差平方和为 SS754，用自由度平均一下，得，用自由度平均一下，得125.66723，32，34，34，37，37，48 其平均值为其平均值为 35离均差平方和为离均差平方和为 SS332，用自由度平均一下，得，用自由度平均一下，得55.333显然第二个样本较第一个样本要集中一些显然第二个样本较第一个样本要集中一些各嚼胚炳儡喷娩譬湘舌旷趣弟享挖郭挂垒萧炒亢童
15、柴抨尤留坎纯冀扶臃弘数据的基本分析数据特征值的计算数据的基本分析数据特征值的计算125.667为第一个样本的方差值（为第一个样本的方差值（S2） 55.333为第二个样本的方差值（为第二个样本的方差值（S2）方差值是平方以后的值，因此使用中不太方便方差值是平方以后的值，因此使用中不太方便币俱兔灶垃训铝尤鹏从皑诞根盈淳扰臣咬唯彭劝拳感胁苍筐哺果慷碾络泰数据的基本分析数据特征值的计算数据的基本分析数据特征值的计算标准差（标准差（standard deviation)将方差开一下平方根，得将方差开一下平方根，得上例中，第一个样本的标准差为上例中，第一个样本的标准差为 11.21 第二个样本的标准差为
16、第二个样本的标准差为 7.44标准差由于已经过了开平方，其单位与平均数是一致标准差由于已经过了开平方，其单位与平均数是一致的，因此标准差是统计学中经常使用的一个值的，因此标准差是统计学中经常使用的一个值得到平均值和标准差后，这批数据可以用下式来表示：得到平均值和标准差后，这批数据可以用下式来表示：总体：总体： 样本：样本： 是是参数参数 是是统计量统计量乃蛋妙侍净燥摸遭翠持甄碱滨艘擎津滦辱巨谭喻藐角门检疏十惰到醋淡于数据的基本分析数据特征值的计算数据的基本分析数据特征值的计算标准差的计算公式标准差的计算公式总体总体标准差：标准差：样本样本标准差：标准差：上面两个式子中，每一个公式的后面部分是如
17、何从上面两个式子中，每一个公式的后面部分是如何从前面部分变来的，请同学们作为前面部分变来的，请同学们作为作业作业自行推导自行推导比较两个公式的不同，我们会发现：总体标准差用比较两个公式的不同，我们会发现：总体标准差用总体含量总体含量 N 来得到，而样本标准差则用来得到，而样本标准差则用 n-1 来得来得到到咋奎堪酵梆耍河密良戈沧妇今颧努崇濒押毙爱鲁晚颅馁邢恶元琶薛梢殴蒸数据的基本分析数据特征值的计算数据的基本分析数据特征值的计算n-1 在这里称为在这里称为自由度自由度（degree of freedom df）自由度的含义和说明自由度的含义和说明对于样本容量为对于样本容量为 n 的样本来说，每
18、一个观测值都有的样本来说，每一个观测值都有一个离均差，即一个离均差，即 n个离均差，由于受个离均差，由于受 的的限制，只有限制，只有 n-1个离均差是自由的，有一个离均差个离均差是自由的，有一个离均差失去了失去了自由自由在统计学中，若某个统计量的计算受到在统计学中，若某个统计量的计算受到 k个条件的限个条件的限制，则其自由度就为制，则其自由度就为 n-k，在估计样本方差时受到，在估计样本方差时受到了平均数的限制，因此样本方差的自由度就是了平均数的限制，因此样本方差的自由度就是 n-1；估计平均数时没有限制条件，因此平均数的自由；估计平均数时没有限制条件，因此平均数的自由度就是度就是 n网茁痰趋
19、花简哑掖舰氦指养酵咙椅谴厚灿淡迂佣祁相攀溉芬磅韵肠倍羡察数据的基本分析数据特征值的计算数据的基本分析数据特征值的计算样本方差有一个十分重要的作用，就是用来估计总样本方差有一个十分重要的作用，就是用来估计总体方差由于体方差由于 ，根据平均数的第二个性质可，根据平均数的第二个性质可知，知， 必小于必小于 ，因此如用，因此如用 必定偏小必定偏小将分母改为将分母改为 n-1，则可适当增大，则可适当增大 值，使样本方差值，使样本方差的数学期望更接近于总体方差的数学期望更接近于总体方差因此使用自由度的目的就是为了能用样本方差更好因此使用自由度的目的就是为了能用样本方差更好地、地、无偏无偏（unbias）地
20、估计总体方差）地估计总体方差腊惨适馅沏昂寻耽泻己父焦筒肮邦罩捆袜在小卢颖奄诀擎桨词野徐贤姥儒数据的基本分析数据特征值的计算数据的基本分析数据特征值的计算小样本资料必须用小样本资料必须用 n-1来计算方差，即标准差，大来计算方差，即标准差，大样本时样本时 n与与 n-1相差无几，因此大样本时也可用相差无几，因此大样本时也可用 n代替代替 n-1由于大小样本的界限没有严格的规定，因此在一般由于大小样本的界限没有严格的规定，因此在一般状况下仍宜使用状况下仍宜使用 n-1在一般情况下，样本方差通常也称为在一般情况下，样本方差通常也称为均方均方（Mean of square），用），用 或或 表示之表示
21、之加权平均数的标准差公式：加权平均数的标准差公式：茅赛娇泊脆舵刷缔政嗡姬该罩漏催泄烽姐苍呆军揽筒效漳魂邑萌臃遍尹刺数据的基本分析数据特征值的计算数据的基本分析数据特征值的计算有了平均数和标准差，我们就可以用一个比较简单有了平均数和标准差，我们就可以用一个比较简单的方法来表示一个样本或一批资料：的方法来表示一个样本或一批资料：标准差的特性标准差的特性变量越离散，标准差越大；反之，标准差越大，表变量越离散，标准差越大；反之，标准差越大，表示数据越离散，资料的变异程度越大示数据越离散，资料的变异程度越大各变量加减一个常数，标准差不变各变量加减一个常数，标准差不变各变量乘一个常数各变量乘一个常数 a，
22、标准差将扩大，标准差将扩大 a 倍倍音砌巳桥芋忱鼠辱闻跺劲雷瑚酗睦澳淫埋弱啃硝育冒巍然拔心仇命设如诱数据的基本分析数据特征值的计算数据的基本分析数据特征值的计算资料服从正态分布时，观测值的分布为：资料服从正态分布时，观测值的分布为：68.27的数据分布在的数据分布在 的范围内的范围内95.45的数据分布在的数据分布在 的范围内的范围内99.73的数据分布在的数据分布在 的范围内的范围内另外还有两个十分重要的分布范围：另外还有两个十分重要的分布范围： 内包含了内包含了95的变量的变量 内包含了内包含了99的变量的变量问诣镣吵戮溪颈拉蝎斯藐蔓钢耀欣躯陌狼挖毛莎遂社限苦式崖过遵乞三楷数据的基本分析数
23、据特征值的计算数据的基本分析数据特征值的计算变异系数变异系数（coefficient of variation c.v.）不同单位的资料很难比较其变异程度，因此应将标不同单位的资料很难比较其变异程度，因此应将标准差相对化，变异系数就是相对化的标准差：准差相对化，变异系数就是相对化的标准差：变异系数的大小既受标准差的影响，同时还受平均变异系数的大小既受标准差的影响，同时还受平均数的影响，因此变异系数不能单独使用，在计算数的影响，因此变异系数不能单独使用，在计算变异系数时必须将平均值和标准差同时标出变异系数时必须将平均值和标准差同时标出变异系数只有在资料间相互比较时才使用变异系数只有在资料间相互比较时才使用 (*)忆洛黎叼宗胀等唱额付家莆掩枯痕豫袄搓踏球蛋帽邻苔釉汝呸沽饵屿肯悄数据的基本分析数据特征值的计算数据的基本分析数据特征值的计算end汪码季楷沽嘲蹦狈泳武艾拿抽儒堕棉偏琳恩巫低挪屁缄蛰驭腕聚咯桃肃痔数据的基本分析数据特征值的计算数据的基本分析数据特征值的计算
