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1、第四节二、立体体积二、立体体积 三、曲面的面积三、曲面的面积 四、物体的质量四、物体的质量 六、物体的转动惯量六、物体的转动惯量 七、物体的引力七、物体的引力 机动 目录 上页 下页 返回 结束 重积分的应用 第十章第十章 一、平面区域的面积一、平面区域的面积五、物体的质心五、物体的质心1. 能用重积分解决的实际问题的能用重积分解决的实际问题的特点特点所求量是所求量是 对区域具有可加性对区域具有可加性 从重积分定义出发从重积分定义出发 建立积分式建立积分式 用微元分析法用微元分析法 (元素法元素法) 分布在有界闭域上的整体量分布在有界闭域上的整体量 3. 解题解题要点要点 画画出积分域、选择坐
2、标系、确定积分序、出积分域、选择坐标系、确定积分序、 定出定出积分限、计算要简便积分限、计算要简便 2. 用重积分解决问题的用重积分解决问题的方法方法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、平面区域的面积一、平面区域的面积设设 D 是是 xy 平面上的有界区域，则其面积平面上的有界区域，则其面积对对直角坐标，若直角坐标，若D是是 x 型型区域：区域：y1(x) y y2(x) ,a x b , 则有则有若在若在极坐标下极坐标下D表示为：表示为：二、立体体积二、立体体积 曲顶柱体曲顶柱体的顶为连续曲面的顶为连续曲面则其体积为则其体积为 占有占有空间有界域空间有界域 的立体的体积为的立体的体积为
3、机动 目录 上页 下页 返回 结束 任一点的切平面与曲面任一点的切平面与曲面所围立体的体积所围立体的体积 V . 解解: 曲面曲面的切平面方程为的切平面方程为它与曲面它与曲面的交线在的交线在 xoy 面上的投影为面上的投影为(记所围域为记所围域为D )在点在点例例1. 求曲面求曲面机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 求半径为求半径为a 的球面与半顶角为的球面与半顶角为 的的内接锥面所围成的立体的体积内接锥面所围成的立体的体积.解解: 在球坐标系下空间立体所占区域为在球坐标系下空间立体所占区域为则立体体积为则立体体积为机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、曲面的面积三、曲面的面积设光
4、滑曲面设光滑曲面则面积则面积 A 可看成曲面上各点可看成曲面上各点处小切平面的面积处小切平面的面积 d A 无限积累而成无限积累而成. 设它在设它在 D 上的投影为上的投影为 d ,(称为面积元素称为面积元素)则则机动 目录 上页 下页 返回 结束 故有曲面面积公式故有曲面面积公式若光滑曲面方程为若光滑曲面方程为则有则有即即机动 目录 上页 下页 返回 结束 若光滑曲面方程为若光滑曲面方程为 若光滑曲面方程为隐式若光滑曲面方程为隐式则则则有则有且且机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 计算双曲抛物面计算双曲抛物面被柱面被柱面所截所截解解: 曲面在曲面在 xoy 面上投影为面上投影为则则
5、出的面积出的面积 A .机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 计算半径为计算半径为 a 的球的表面积的球的表面积. （P137例例4）解解:设球面方程为设球面方程为 球面面积元素为球面面积元素为方法方法2 利用直角坐标方程利用直角坐标方程. (见书见书 P138)方法方法1 利用球坐标方程利用球坐标方程.机动 目录 上页 下页 返回 结束 四、物体的质量四、物体的质量具有面密度具有面密度的的平面薄板的总质量平面薄板的总质量 M 为为类似地，若一立体类似地，若一立体 V 的密度为的密度为则其总质量则其总质量 M 可表示为可表示为例例5. 设设 V 是曲面是曲面所围所围区域，区域， V 中
6、任一点的密度等于该点到中任一点的密度等于该点到 z 轴的距离，轴的距离，求其质量求其质量 M 。 （ P 139例例6 ）解解: 由题设知密度函数为由题设知密度函数为在在柱面坐标下，柱面坐标下，V的边界曲面为的边界曲面为 z = r 与与 z = 6 r2 , r = 6 r2 解出解出r = 2 ，于是有于是有五、物体的质心五、物体的质心设空间有设空间有n个质点个质点,其质量分别其质量分别由力学知由力学知, 该质点系的质心坐标该质点系的质心坐标设物体占有空间域设物体占有空间域 , 有连续密度函数有连续密度函数则则 公式公式 ,分别位于分别位于为为为为即即:采用采用 “大化小大化小, 常代变常
7、代变, 近似和近似和, 取极限取极限” 可导出其质可导出其质心心 机动 目录 上页 下页 返回 结束 将将 分成分成 n 小块小块,将第将第 k 块看作质量集中于点块看作质量集中于点例如例如,令各小区域的最大直径令各小区域的最大直径系的质心坐标就近似该物体的质心坐标系的质心坐标就近似该物体的质心坐标.的质点的质点,即得即得此此质点质点在第在第 k 块上任取一点块上任取一点机动 目录 上页 下页 返回 结束 同理可得同理可得则得则得形心坐标形心坐标：机动 目录 上页 下页 返回 结束 若物体为占有若物体为占有xoy 面面上区域上区域 D 的平面薄片的平面薄片,(A 为为 D 的面积的面积)得得D
8、 的的形心坐标形心坐标:则它的质心坐标为则它的质心坐标为其面密度其面密度 对对 x 轴的轴的 静矩静矩 对对 y 轴的轴的 静矩静矩机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 求位于两圆求位于两圆和和的质心的质心. 解解: 利用对称性可知利用对称性可知而而之间均匀薄片之间均匀薄片机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例7. 一个炼钢炉为旋转体形一个炼钢炉为旋转体形, 剖面壁线剖面壁线的方程为的方程为内储有高为内储有高为 h 的均质钢液的均质钢液,解解: 利用对称性可知质心在利用对称性可知质心在 z 轴上，轴上，采用柱坐标采用柱坐标, 则炉壁方程为则炉壁方程为因此因此故故自重自重, 求它的质心
9、求它的质心.若炉若炉不计炉体的不计炉体的其其坐标为坐标为机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 四、物体的转动惯量四、物体的转动惯量设物体占有空间区域设物体占有空间区域 , 有连续分布的密度函数有连续分布的密度函数该物体位于该物体位于(x , y , z) 处的处的微微元元 因此物体因此物体 对对 z 轴轴 的转动惯量的转动惯量:对对 z 轴的转动惯量为轴的转动惯量为 因因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和, 故故 连续体的转动惯量可用积分计算连续体的转动惯量可用积分计算. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 类似可
10、得类似可得:对对 x 轴的转动惯量轴的转动惯量对对 y 轴的转动惯量轴的转动惯量对原点的转动惯量对原点的转动惯量机动 目录 上页 下页 返回 结束 如果物体是平面薄片如果物体是平面薄片,面面密度为密度为则转动惯量的表达式是二重积分则转动惯量的表达式是二重积分.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例8.求半径为求半径为 a 的均匀半圆薄片对其直径的均匀半圆薄片对其直径解解: 建立坐标系如图建立坐标系如图,半圆薄片的质量半圆薄片的质量的转动惯量的转动惯量.机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解: 取球心为原点取球心为原点, z 轴为轴为 l 轴轴,则则球体的质量球体的质量例例9.9.求均匀球体
11、对于过球心的一条轴求均匀球体对于过球心的一条轴 l 的转动惯量的转动惯量.设球设球 所占域为所占域为(用球坐标用球坐标) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 G 为引力常数为引力常数五、物体的引力五、物体的引力设物体占有空间区域设物体占有空间区域 ,物体对位于原点的单位质量质点的引力物体对位于原点的单位质量质点的引力利用元素法利用元素法,在在 上上积分即得各引力分量积分即得各引力分量:其密度函数其密度函数引力元素在三坐标轴上的投影分别为引力元素在三坐标轴上的投影分别为机动 目录 上页 下页 返回 结束 对对 xoy 面上的平面薄片面上的平面薄片D ,它对它对原点处的单位质量质点原点处的单位质量
12、质点的的引力分量为引力分量为机动 目录 上页 下页 返回 结束 更一般地，设立体的密度更一般地，设立体的密度一质量为一质量为m的质点位于点的质点位于点 P0( x0 , y0 , z0 ), 则立体对质点的引力为则立体对质点的引力为例例10.设面密度为设面密度为 ,半径为半径为R的圆形薄片的圆形薄片求它对位于点求它对位于点解解: 由对称性知引力由对称性知引力处的单位质量质点的引力处的单位质量质点的引力. 。机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例11. 求半径求半径 R 的均匀球的均匀球对位于对位于的单位质量质点的引力的单位质量质点的引力.解解: 利用对称性知引力分量利用对称性知引力分量点点机
13、动 目录 上页 下页 返回 结束 为球的质量机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( t 为时间为时间) 的雪堆在融化过程中的雪堆在融化过程中,其其侧面满足方程侧面满足方程设长度单位为厘米设长度单位为厘米, 时间单位为小时时间单位为小时, 设有一高度为设有一高度为已知体积减少的速率与侧面积成正比已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数比例系数 0.9 ), 问高度为问高度为130 cm 的雪堆全部融化需要的雪堆全部融化需要 多少小时多少小时? (2001考研考研)机动 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题提示提示:记雪堆体积为记雪堆体积为 V, 侧面积为侧面积为 S ,则则(用用极坐标极坐标) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 由题意知由题意知令令得得(小时小时)因此高度为因此高度为130cm的雪堆全部融化所需的时间为的雪堆全部融化所需的时间为100小时小时.机动 目录 上页 下页 返回 结束
