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1、4.2.3直线与圆的方程的应用类型类型 一一 直直线线与与圆圆的方程的的方程的实际应实际应用用尝试尝试解答下列直解答下列直线线与与圆圆的方程的的方程的应应用用问题问题, ,试总结试总结解直解直线线与与圆圆的方程的的方程的实际应实际应用用问题问题的一般步的一般步骤骤. .1.(20131.(2013成都高一成都高一检测检测) )如如图图所示所示, ,一座一座圆圆拱拱桥桥, ,当水面在某位置当水面在某位置时时, ,拱拱顶顶离水面离水面2m,2m,水面水面宽宽12m,12m,当水面下当水面下降降1m1m后后, ,水面水面宽为宽为m.m.2.2.一艘一艘轮轮船在沿直船在沿直线线返回港口的途中返回港口的
2、途中, ,接到气象台的台接到气象台的台风预报风预报：台台风风中心位于中心位于轮轮船正西船正西70km70km处处, ,受影响的范受影响的范围围是半径是半径为为30km30km的的圆圆形区域形区域.(.(假假设设台台风风中心不中心不动动) )已知港口位于台已知港口位于台风风中心正北中心正北40km40km处处, ,如果如果这这艘艘轮轮船不改船不改变变航航线线, ,那么它是否会受到台那么它是否会受到台风风的的影响影响? ?【解题指南解题指南】1.1.解答本题可先建立适当的坐标系求出圆拱桥解答本题可先建立适当的坐标系求出圆拱桥所在圆的标准方程所在圆的标准方程, ,然后结合图形求出水面下降然后结合图形
3、求出水面下降1m1m后的水面宽后的水面宽度度. .2.2.建立适当的坐标系建立适当的坐标系, ,求出受台风影响的圆形区域所对应的圆求出受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程及轮船航线所在直线的方程及轮船航线所在直线l的方程的方程, ,然后借助直线与圆的位置然后借助直线与圆的位置关系判断轮船是否会受到台风的影响关系判断轮船是否会受到台风的影响. .【解析解析】1.1.如图所示如图所示, ,以圆拱拱顶为坐以圆拱拱顶为坐标原点标原点, ,以过拱顶的竖直直线为以过拱顶的竖直直线为y y轴轴, ,建建立直角坐标系立直角坐标系, ,设圆心为设圆心为C,C,水面所在弦水面所在弦的端点为的端点为A,B,A,B,
4、则由已知得则由已知得A(6,-2),A(6,-2),B(-6,-2).B(-6,-2).设圆的半径为设圆的半径为r,r,则则C(0,-r),C(0,-r),即圆的方程为即圆的方程为x x2 2+(y+r)+(y+r)2 2=r=r2 2.将点将点A A的坐标的坐标(6,-2)(6,-2)代入方程代入方程, ,解得解得r=10.r=10.所以圆的方程为所以圆的方程为x x2 2+(y+10)+(y+10)2 2=100.=100.当水面下降当水面下降1m1m后后, ,可设点可设点AA的坐标为的坐标为(x(x0 0,-3)(x,-3)(x0 00),0),将将AA的的坐标坐标(x(x0 0,-3)
5、,-3)代入方程代入方程, ,求得求得x x0 0= .= .所以所以, ,水面下降水面下降1m1m后后, ,水面宽为水面宽为2x2x0 0=2 (m).=2 (m).答案：答案：2 22.2.如图所示，以台风中心为原点如图所示，以台风中心为原点O O，东西方向为东西方向为x x轴，建立如图所示的轴，建立如图所示的坐标系，其中，取坐标系，其中，取10 km10 km为为1 1个长度个长度单位，这样，受台风影响的圆形区单位，这样，受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为域所对应的圆的方程为x x2 2+y+y2 2=9.=9.轮轮船航线所在直线船航线所在直线l的方程为的方程为4x+7y-28=04
6、x+7y-28=0，问题转化为圆，问题转化为圆O O与直与直线线l有无公共点问题，由于有无公共点问题，由于 所以这艘轮船所以这艘轮船不改变航线时，不会受到台风的影响不改变航线时，不会受到台风的影响. .【互互动动探究探究】题题1 1中中, ,条件不条件不变变, ,试试求水面上升求水面上升1m1m后后, ,水面的水面的宽宽. .【解析解析】如图所示如图所示, ,以圆拱顶为原点建立如图所示的坐标系以圆拱顶为原点建立如图所示的坐标系, ,设圆心为设圆心为C,C,水面所在弦的端点为水面所在弦的端点为A,B,A,B,则由已知得则由已知得A(6,-2),A(6,-2),B(-6,-2),B(-6,-2),
7、设圆的半径为设圆的半径为r,r,则则C(0,-r).C(0,-r).即圆的方程为即圆的方程为x x2 2+(y+r)+(y+r)2 2=r=r2 2,将点将点A A的坐标的坐标(6,-2)(6,-2)代入方程代入方程得得r=10,r=10,所以圆的方程为所以圆的方程为x x2 2+(y+10)+(y+10)2 2=100=100当水面上升当水面上升1m1m后后, ,可设可设AA的坐标为的坐标为(x(x0 0,-1)(x,-1)(x0 00),0),将将AA的坐标代入方程的坐标代入方程得得x x0 0= ,= ,故水面上升故水面上升1m1m后后, ,水面宽为水面宽为2x2x0 0=2 (m).=
8、2 (m).【技法点拨技法点拨】求解直线与圆的方程的实际应用问题的一般解求解直线与圆的方程的实际应用问题的一般解题步骤题步骤(1)(1)认真审题认真审题, ,明确题意明确题意. .(2)(2)建立平面直角坐标系建立平面直角坐标系, ,用方程表示直线和圆用方程表示直线和圆, ,从而在实际问从而在实际问题中建立直线与圆的方程题中建立直线与圆的方程. .(3)(3)利用直线与圆的方程的有关知识求解问题利用直线与圆的方程的有关知识求解问题. .(4)(4)把代数结果还原为实际问题的解把代数结果还原为实际问题的解. .提醒：提醒：直线与圆的方程应用的关注点直线与圆的方程应用的关注点建立不同的坐标系建立不
9、同的坐标系, ,对解决问题有直接影响对解决问题有直接影响. .建系时一般将圆心放在坐标原点或坐标轴上建系时一般将圆心放在坐标原点或坐标轴上, ,方程较简单方程较简单. .【变式训练变式训练】一辆卡车宽一辆卡车宽2.72.7米，要经过一个半径为米，要经过一个半径为4.54.5米的米的半圆形隧道半圆形隧道( (双车道，不得违章双车道，不得违章) )，则这辆卡车的平顶车厢厢，则这辆卡车的平顶车厢厢顶距离地面的高度不得超过顶距离地面的高度不得超过( )( )A.1.4A.1.4米米 B.3.0B.3.0米米 C.3.6C.3.6米米 D.4.5D.4.5米米【解析解析】选选C.C.如图所示如图所示,
10、,当当OC=2.7OC=2.7米时米时, , =3.6( =3.6(米米).).即此时即为平顶车厢厢顶距离地面的即此时即为平顶车厢厢顶距离地面的最高高度最高高度, ,即不得超过即不得超过3.63.6米米. .类型类型 二二 坐坐标标法在平面几何中的法在平面几何中的应应用用试试着解答下列着解答下列题题目目, ,体会用坐体会用坐标标法解决平面几何法解决平面几何问题问题的基的基本思想及首要任本思想及首要任务务. .1.1.如如图图所示所示, ,在在圆圆O O上任取上任取C C点点为圆为圆心心, ,作一作一圆圆与与圆圆O O的直径的直径ABAB相切于点相切于点D,D,圆圆C C与与圆圆O O交于点交于
11、点E,F,E,F,求求证证：EFEF平分平分CD.CD.2.2.已知已知RtABCRtABC的斜的斜边边BCBC为为定定长长2m,2m,以斜以斜边边的中点的中点O O为圆为圆心作直心作直径径为为定定长长2n(nm)2n(nm)的的圆圆, ,直直线线BCBC交此交此圆圆于于P,QP,Q两点两点, ,求求证证：|AP|AP|2 2+|AQ|+|AQ|2 2+|PQ|+|PQ|2 2为为定定值值. .【解题指南解题指南】1.1.由题意建立平面直角坐标系由题意建立平面直角坐标系, ,将平面几何问题将平面几何问题转化为解析几何知识求解转化为解析几何知识求解. .2.2.以以O O为坐标原点为坐标原点,B
12、C,BC所在直线为所在直线为x x轴建立坐标系轴建立坐标系, ,由题意求出由题意求出有关点的坐标并借助两点间距离公式有关点的坐标并借助两点间距离公式, ,证明其为定值证明其为定值. .【证明证明】1.1.取圆取圆O O的直径的直径ABAB所在直线所在直线为为x x轴轴, ,圆心圆心O O为坐标原点为坐标原点, ,建立平面建立平面直角坐标系直角坐标系, ,如图所示如图所示, ,设圆设圆O O的方程的方程为为x x2 2+y+y2 2=1,=1,EFEF与与CDCD相交于相交于H H，令，令C(xC(x1 1,y,y1 1),),则可得圆则可得圆C C的方程的方程(x-x(x-x1 1) )2 2
13、+(y-y+(y-y1 1) )2 2= = ，即，即 =0,=0,-得得 ，式就是直线式就是直线EFEF的方程，设的方程，设CDCD的中点为的中点为H,H,其坐标为其坐标为(x(x1 1, ), ),将将HH代入代入式，得式，得即即HH在直线在直线EFEF上，所以上，所以EFEF平分平分CD.CD.2.2.如图，以如图，以O O为原点，以直线为原点，以直线BCBC为为x x轴，线段轴，线段BCBC的垂直平分线的垂直平分线为为y y轴建立直角坐标系，则轴建立直角坐标系，则B(-m,0),B(-m,0),C(m,0),P(-n,0),Q(n,0).C(m,0),P(-n,0),Q(n,0).设设
14、A(x,y)A(x,y)，因为，因为|OA|= |BC|=|m|=m|OA|= |BC|=|m|=m，所以点所以点A A在圆在圆x x2 2+y+y2 2=m=m2 2( (除除B,CB,C两点两点) )上上, ,所以所以|AP|AP|2 2+|AQ|+|AQ|2 2+|PQ|+|PQ|2 2=(x+n)=(x+n)2 2+y+y2 2+(x-n)+(x-n)2 2+y+y2 2+(2n)+(2n)2 2=2x=2x2 2+2y+2y2 2+6n+6n2 2=2m=2m2 2+6n+6n2 2( (定值定值).).【技法点拨技法点拨】用坐标法解决平面几何问题的基本思想及首要用坐标法解决平面几何
15、问题的基本思想及首要任务任务(1)(1)用坐标法解决平面几何问题的基本思想就是用代数的方法用坐标法解决平面几何问题的基本思想就是用代数的方法解决几何问题解决几何问题, ,而建立它们联系的主要工具就是平面直角坐标而建立它们联系的主要工具就是平面直角坐标系系. .(2)(2)首要任务是：建立适当的平面直角坐标系首要任务是：建立适当的平面直角坐标系, ,用坐标和方程用坐标和方程表示相应的几何元素将平面几何问题转化为代数问题表示相应的几何元素将平面几何问题转化为代数问题. .【拓展延伸拓展延伸】建立直角坐标系应遵循的一般原则建立直角坐标系应遵循的一般原则(1)(1)原点取在定点原点取在定点, ,坐标轴
16、取定直线或定线段所在的直线或图坐标轴取定直线或定线段所在的直线或图形的对称轴形的对称轴. .(2)(2)尽量利用图形的对称性尽量利用图形的对称性. .(3)(3)设出所需点的坐标时设出所需点的坐标时, ,能使所用的字母尽量少能使所用的字母尽量少. .用坐标法证用坐标法证题时题时, ,不能把一般情况视为特殊情况不能把一般情况视为特殊情况. .【变变式式训练训练】街街头头有一片有一片绿绿地地, ,绿绿地如地如图图所示所示( (单单位：位：m),m),其中其中ABCABC为圆为圆弧弧, ,求此求此绿绿地面地面积积. .【解题指南解题指南】以以O O为原点建立直角坐标系为原点建立直角坐标系, ,求出求
17、出A,B,CA,B,C三点所在三点所在圆的方程圆的方程, ,将图形分割为梯形和一弓形将图形分割为梯形和一弓形, ,然后分别求其面积然后分别求其面积. .【解析解析】如图所示建立坐标系如图所示建立坐标系, ,各点坐各点坐标分别为标分别为A(0,7),B(3,8),C(7,6),A(0,7),B(3,8),C(7,6),所以所以可得过可得过A,B,CA,B,C三点的圆弧方程为三点的圆弧方程为(x-3)(x-3)2 2+ +(y-3)(y-3)2 2=25(0x7,y6).=25(0x7,y6).|AC|= |AC|= 设圆弧的设圆弧的圆心为圆心为E,E,则则AEC=90.AEC=90.故所求的面积
18、为故所求的面积为S S梯形梯形AODCAODC+S+S弓形弓形ABCABC=S=S梯形梯形AODCAODC+(S+(S扇形扇形ACEACE-S-SACEACE) )= =1.1.直直线线 x+y-2 =0x+y-2 =0截截圆圆x x2 2+y+y2 2=4=4得的劣弧所得的劣弧所对对的的圆圆心角心角为为 ( () )A.30 B.45 C.60 D.90A.30 B.45 C.60 D.90【解析解析】选选C.C.由于直线的倾斜角为由于直线的倾斜角为120,120,画出草图画出草图, ,如图如图, ,易得等边三易得等边三角形角形. .2.2.已知点已知点P P为圆为圆x x2 2+y+y2
19、2-4x-4y+7=0-4x-4y+7=0上一点，且点上一点，且点P P到直线到直线x-y+mx-y+m=0=0距离的最小值为距离的最小值为 则则m m的值为的值为( )( )【解析解析】选选C.C.圆心到直线的距离圆心到直线的距离 则则 . .所以所以m=2.m=2.3.3.过过点点P(2,3)P(2,3)向向圆圆x x2 2+y+y2 2=1=1作两条切作两条切线线PA,PB,PA,PB,则则弦弦ABAB所在直所在直线线的方程的方程为为( () )A.2x-3y-1=0 B.2x+3y-1=0A.2x-3y-1=0 B.2x+3y-1=0C.3x+2y-1=0 D.3x-2y-1=0C.3
20、x+2y-1=0 D.3x-2y-1=0【解析解析】选选B.B.设圆设圆x x2 2+y+y2 2=1=1的圆心为的圆心为O(0,0),O(0,0),以以POPO为直径的圆为直径的圆(x-1)(x-1)2 2+(y- )+(y- )2 2= = 与圆与圆x x2 2+y+y2 2=1=1的公共弦所在直线即为所的公共弦所在直线即为所求求, ,直线方程为直线方程为2x+3y-1=0,2x+3y-1=0,故选故选B.B.4.4.集合集合A=(x,y)|xA=(x,y)|x2 2+y+y2 2=4,B=(x,y)|(x-3)=4,B=(x,y)|(x-3)2 2+(y-4)+(y-4)2 2=r=r2
21、 2,其其中中r0,r0,若若ABAB中有且中有且仅仅有一个元素有一个元素, ,则则r r的的值值是是. .【解析解析】因为因为ABAB中有且仅有一个元素中有且仅有一个元素, ,所以圆所以圆x x2 2+y+y2 2=4=4与圆与圆(x-3)(x-3)2 2+(y-4)+(y-4)2 2=r=r2 2相切相切. .当内切时当内切时, =|2-r|, =|2-r|,解得解得r=7.r=7.当外切时当外切时, =2+r, =2+r,解得解得r=3.r=3.答案：答案：3 3或或7 75.5.设村庄外围所在曲线的方程可用设村庄外围所在曲线的方程可用(x-2)(x-2)2 2+(y+3)+(y+3)2
22、 2=4=4表示，村表示，村外一小路方程可用外一小路方程可用x-y+2=0x-y+2=0表示，则从村庄外围到小路的最短表示，则从村庄外围到小路的最短距离为距离为_._.【解析解析】因为圆心到直线的距离为因为圆心到直线的距离为 ，从村庄外围到小路，从村庄外围到小路的最短距离为的最短距离为 -2.-2.答案：答案： -2-26.6.用坐用坐标标法法证证明：若四明：若四边边形的一形的一组对边组对边的平方和等于另一的平方和等于另一组组对边对边的平方和的平方和, ,则该则该四四边边形的形的对对角角线线互相垂直互相垂直. .【证明证明】如图如图, ,以以ACAC所在的直线为所在的直线为x x轴轴, ,过点
23、过点B B垂直于垂直于ACAC的直线的直线为为y y轴建立直角坐标系轴建立直角坐标系, ,设顶点坐标分别为设顶点坐标分别为A(a,0),A(a,0),B(0,b),C(c,0),D(x,y),B(0,b),C(c,0),D(x,y),因为因为|AB|AB|2 2+|CD|+|CD|2 2=|BC|=|BC|2 2+|AD|+|AD|2 2, ,所以所以a a2 2+b+b2 2+(x-c)+(x-c)2 2+y+y2 2=b=b2 2+c+c2 2+(x-a)+(x-a)2 2+y+y2 2, ,化简得化简得(a-c)x=0,(a-c)x=0,因为因为a-c0,a-c0,所以所以x=0,x=0,所以所以D D点在点在y y轴上轴上, ,所以所以ACBD.ACBD.所以若四边形的一组对边的平方和等于另一组对边的平方和所以若四边形的一组对边的平方和等于另一组对边的平方和, ,则该四边形的对角线互相垂直则该四边形的对角线互相垂直. .
