《高中数学第二章函数2.1.4函数的奇偶性课件新人教B版必修1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学第二章函数2.1.4函数的奇偶性课件新人教B版必修1（44页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.1.4函数的奇偶性第二章2.1函 数学习目标1.理解函数奇偶性的定义.2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法.3.会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考1知识点一函数奇偶性的定义为什么不直接用图象关于y轴(原点)对称来定义函数的奇偶性？答案答答案案因为很多函数图象我们不知道，即使画出来，细微之处是否对称也难以精确判断.思考2利用点对称来刻画图象对称有什么好处？答案答答案案好处有两点：(1)等价：只要所有点均关于y轴(原点)对称，则图象关于y轴(原点)对称，反之亦然.(2)可操作：要判断点是否关于y轴(原点)对称，只要代入解析式验证即可，不知道函数
2、图象也能操作.偶函数奇函数定义条件对于函数f(x)的定义域D内任意一个x，都有xDf(x)_f(x)_结论函数f(x)叫做偶函数函数f(x)叫做奇函数奇、偶函数的概念梳理梳理f(x)f(x)思考知识点二奇(偶)函数的定义域特征如果一个函数f(x)的定义域是(1,1，那么这个函数f(x)还具有奇偶性吗？答案答答案案由函数奇偶性定义，对于定义域内任一元素x，其相反数x必须也在定义域内，才能进一步判断f(x)与f(x)的关系.而本问题中，1(1,1，1(1,1，f(1)无定义，自然也谈不上是否与f(1)相等了.所以该函数既非奇函数，也非偶函数.梳理梳理在奇函数和偶函数的定义中，都要求xD，xD，这就
3、是说，一个函数不论是奇函数还是偶函数，它的定义域都一定关于原点对称，因而判断函数奇偶性要注意定义域优先原则，即首先要看定义域是否关于 对称.原点思考知识点三函数奇偶性的几何特征下列函数图象中，关于y轴对称的有哪些？关于原点对称的呢？答案答案答案关于y轴对称，关于原点对称.奇、偶函数的图象特征(1)如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以 为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以 为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.(2)如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于对称，则这个函数是偶函数.坐标原点梳理梳理坐标原点y轴y轴
4、题型探究命题角度命题角度1已知函数解析式，证明奇偶性已知函数解析式，证明奇偶性例例1(1)证明f(x) 既非奇函数又非偶函数；证明类型一判断函数的奇偶性证明证明因为它的定义域为x|xR且x1，对于定义域内的1，其相反数1不在定义域内，故f(x) 既非奇函数又非偶函数.(2)证明f(x)(x1)(x1)是偶函数；证明证明证明函数的定义域为R，因函数f(x)(x1)(x1)x21，又因f(x)(x)21x21f(x)，所以函数为偶函数.(3)证明f(x) 既是奇函数又是偶函数.证明证明证明定义域为1,1，因为对定义域内的每一个x，都有f(x)0，所以f(x)f(x)，利用定义法判断函数是否具有奇偶
5、性时，首先应看函数定义域是否关于原点对称，即对于定义域内的任意一个x，则x也一定属于定义域.反思与感悟跟踪训练跟踪训练1(1)证明f(x)(x2) 既非奇函数又非偶函数；证明证证明明由 0，得定义域为2,2)，关于原点不对称，故f(x)为非奇非偶函数.(2)证明f(x)x|x|是奇函数.证明证明证明函数的定义域为R，因f(x)(x)|x|x|x|f(x)，所以函数为奇函数.命题角度命题角度2证明分段函数的奇偶性证明分段函数的奇偶性例例2判断函数f(x) 的奇偶性.解答分段函数也是函数，证明奇偶性也是抓住两点：(1)定义域是否关于原点对称；(2)对于定义域内的任意x，是否都有f(x)f(x)(或
6、f(x)，只不过对于不同的x，f(x)有不同的表达式，要逐段验证是否都有f(x)f(x)(或f(x).反思与感悟跟踪训练跟踪训练2证明f(x) 是奇函数.证明证明证明定义域为x|x0.若x0，f(x)x2，f(x)x2，f(x)f(x)；若x0，则x0.解答解解xf(x)0即图象上横坐标、纵坐标同号.结合图象可知，xf(x)0的解集是(2,0)(0,2).引申探究引申探究把例4中的“奇函数”改为“偶函数”，重做该题.解答解解(1)f(x)的图象如图所示：(2)xf(x)0的解集是(，2)(0,2).鉴于奇(偶)函数图象关于原点(y轴)对称，可以用这一特性去画图，求值，求解析式，研究单调性.反思
7、与感悟跟跟踪踪训训练练4已知奇函数f(x)的定义域为5,5，且在区间0,5上的图象如图所示.解答(1)画出在区间5,0上的图象；解解如图，在0,5上的图象上选取5个关键点O，A，B，C，D.分 别 描 出 它 们 关 于 原 点 的 对 称 点 O， A， B， C， D，再用光滑曲线连接即得.(2)写出使f(x)0的x的取值集合.解答解解由图可知，当且仅当x(2,0)(2,5)时，f(x)0.使f(x)0时，f(x)x1，求当x0时，f(x)的解析式.解解设x0，f(x)(x)1x1，又函数f(x)是定义域为R的奇函数，f(x)f(x)x1，f(x)x1.当x0时，f(x)2xx2.求yf(
8、x)的解析式.解答解解设x0，因为f(x)是奇函数，所以f(x)f(x)2(x)(x)22xx2.因为yf(x)是R上的奇函数，所以f(0)0.当堂训练1.下列函数为偶函数的是A.f(x)x1B.f(x)x2xC.f(x)2x2xD.f(x)2x2x答案2233445511解析解析解析D中，f(x)2x2xf(x)，f(x)为偶函数.2.函数f(x)x(1x1)的奇偶性是A.奇函数 B.偶函数C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数答案22334455113.已知函数yf(x)x是偶函数，且f(2)1，则f(2)等于A.1 B.1C.5 D.5答案2233445511解析解析解析函数yf(x
9、)x是偶函数，x2时函数值相等.f(2)2f(2)2，f(2)5，故选D.4.若函数f(x)(m1)x2(m2)x(m27m12)为偶函数，则m的值是A.1 B.2C.3 D.4答案22334455115.已知函数f(x)为偶函数，且当x0时，f(x)x1，则x0时，f(x)_.答案解析解析解析设x0，则x0，f(x)为偶函数，f(x)f(x)x1.2233445511x1规律与方法1.两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个x，如果都有f(x)f(x)f(x)f(x)0f(x)为奇函数；如果都有f(x)f(x)f(x)f(x)0f(x)为偶函数.2.两个性质：函数为奇函数它的图象关于原点对称；函数为偶函数它的图象关于y轴对称.3.证明一个函数是奇函数，必须对f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x).而证明一个函数不是奇函数，只要能举出一个反例就可以了.本课结束
