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1、习习 题题 课课第三章 多维随机变量及其分布 1 二维随机变量二维随机变量 2 边缘分布边缘分布 3 条件分布条件分布 4 相互独立的随机变量相互独立的随机变量 5 两个随机变量的函数的分布两个随机变量的函数的分布第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 1 1 要理解二维随机变量的分布函数的定义及性质。要理解二维随机变量的分布函数的定义及性质。 2 2 要理解二维随机变量的边缘分布以及与联合分要理解二维随机变量的边缘分布以及与联合分 布的关系，了解条件分布。布的关系，了解条件分布。 3 3 掌握二维均匀分布和二维正态分布。掌握二维均匀分布和二维正态分布。 4 4 要理解随机变量
2、的独立性。要理解随机变量的独立性。 5 5 要会求二维随机变量的和及多维随机变量的最要会求二维随机变量的和及多维随机变量的最 值分布和函数的分布。值分布和函数的分布。第三章 习题课返回主目录设设 E 是一个随机试验，它的样本空间是是一个随机试验，它的样本空间是 S=e，设设 X=X(e) 和和 Y=Y(e) 是定义在是定义在 S 上的随机变量。上的随机变量。由它们构成的一个向量由它们构成的一个向量 (X, Y) ，叫做，叫做二维随机二维随机向量向量，或，或二维随机变量二维随机变量。SeX(e)Y(e)1 二维随机变量的定义二维随机变量的定义返回主目录第三章 习题课注注 意意 事事 项项返回主目
3、录第三章 习题课2 2 二维随机变量的联合分布函数的定义二维随机变量的联合分布函数的定义返回主目录第三章 习题课二维分布函数的几何意义二维分布函数的几何意义yo(X, Y )返回主目录第三章 习题课一个重要的公式一个重要的公式yxox1x2y1y2(X, Y )(x2 , y2)(x2 , y1)(x1 , y2)(x1 , y1)第三章 习题课分布函数具有以下的基本性质：分布函数具有以下的基本性质： F (x , y )是变量是变量 x , y 的不减函数，即的不减函数，即对于任意固定的对于任意固定的 y, , 当当 x1 x2时，时，对于任意固定的对于任意固定的 x, , 当当 y1 y2
4、时，时， 对于任意固定的对于任意固定的 Y, , 对于任意固定的对于任意固定的 X, 2)1)且返回主目录第三章 习题课3) F (x , y)=F(x+0, y), F (x, y)=F(x, y+0), 即即yxox1x2y1y2(X, Y )(x2 , y2)(x2 , y1)(x1 , y2)(x1 , y1)4)F (x, y)关于关于 x 右连续，关于右连续，关于 y 也右连续也右连续.第三章 习题课说说 明明 上述四条性质是二维随机变量分布函数的最基上述四条性质是二维随机变量分布函数的最基本的性质，即任何二维随机变量的分布函数都具有本的性质，即任何二维随机变量的分布函数都具有这四
5、条性质；如果某一二元函数具有这四条性质，这四条性质；如果某一二元函数具有这四条性质，那么它一定是某一二维随机变量的分布函数那么它一定是某一二维随机变量的分布函数返回主目录第三章 习题课3 3 n 维随机变量维随机变量返回主目录第三章 习题课n维随机变量的分布函数维随机变量的分布函数返回主目录第三章 习题课4 4 二维离散型随机变量二维离散型随机变量第三章 习题课二维离散型随机变量的联合分布律二维离散型随机变量的联合分布律返回主目录第三章 习题课二维离散型随机变量联合分布律的性质二维离散型随机变量联合分布律的性质返回主目录第三章 习题课二维离散型随机变量的联合分布函数二维离散型随机变量的联合分布
6、函数返回主目录第三章 习题课对于二维随机变量对于二维随机变量 ( X,Y ) 的分布函数的分布函数 如如果存在非负实函数果存在非负实函数 使得对于任意的实使得对于任意的实数数 有有则称则称 ( X,Y ) 是连续型的二维随机变量，函数是连续型的二维随机变量，函数 称称为二维随机变量为二维随机变量 ( X,Y )的概率密度，或称为的概率密度，或称为 X 和和 Y 的联合概率密度。的联合概率密度。 5 5 二维连续型随机变量二维连续型随机变量返回主目录第三章 习题课按定义，概率密度按定义，概率密度 具有以下性质：具有以下性质： 40 设设 G 是平面上的一个区域，点是平面上的一个区域，点 ( X,
7、Y )落在落在 G 内内 的概率为：的概率为：返回主目录第三章 习题课 在几何上在几何上 z = f (x , y) 表示空间的一个曲面，表示空间的一个曲面，上式即表示上式即表示 P(X,Y) G的值等于以的值等于以 G 为底，为底，以曲面以曲面 z = f (x , y)为顶的柱体体积为顶的柱体体积返回主目录第三章 习题课二维均匀分布二维均匀分布返回主目录第三章 习题课二维均匀分布几何意义二维均匀分布几何意义返回主目录第三章 习题课二维正态分布二维正态分布返回主目录第三章 习题课6 边缘分布的定义边缘分布的定义边缘分布也称为边沿分布或边际分布边缘分布也称为边沿分布或边际分布(一)已知联合分布
8、函数求边缘分布函数返回主目录的分布函数为的分布函数为X则分量则分量 xXP = =( ( ) )xFX+=YxXP，( () )yxFy，+= = lim( () ) + += =，xF第三章 习题课返回主目录的分布函数为的分布函数为同理，分量同理，分量Y yYP = =( ( ) )yFYyYXP+0, 则称则称为在为在Y= yj 条件下随机变量条件下随机变量 X 的的条件分布律条件分布律。条件分布律条件分布律具有分布律的以下特性：具有分布律的以下特性： 10 P X= xi |Y= yj 0；返回主目录第三章 习题课定义：定义：给定给定 y，设对于任意固定的正数，设对于任意固定的正数 ，
9、Py0, 若对于任意实数若对于任意实数 x，极限，极限存在，则称为在条件存在，则称为在条件Y= y下下X的的条件分布函数条件分布函数，写，写成成 P X x |Y= y ，或记为，或记为返回主目录8 条件分布函数和条件密度函数条件分布函数和条件密度函数第三章 习题课在条件在条件Y= y下下X的条件分布函数的条件分布函数为为：第三章 习题课返回主目录第三章 习题课返回主目录第三章 习题课条件密度函数的性质条件密度函数的性质返回主目录第三章 习题课9 随机变量的独立性随机变量的独立性返回主目录第三章 习题课返回主目录第三章 习题课注（1）离散型随机变量的独立性）离散型随机变量的独立性返回主目录第三
10、章 习题课联合分布律联合分布律返回主目录第三章 习题课（2）连续型随机变量的独立性）连续型随机变量的独立性返回主目录第三章 习题课返回主目录第三章 习题课注(3)(3)n维维随机变量的独立性随机变量的独立性返回主目录第三章 习题课n维维随机变量的独立性随机变量的独立性 2. 若若 X,Y 独立，独立，f(x),g(y) 是连续函数，则是连续函数，则 f(X),g(Y) 也独立。也独立。返回主目录第三章 习题课注（1）连续型随机变量和的分布返回主目录10 连续型随机变量函数的分布第三章 习题课返回主目录第三章 习题课第三章 随机变量及其分布5 多维随机变量函数的分布返回主目录第三章 随机变量及其
11、分布5 多维随机变量函数的分布返回主目录解题步骤(2)其它的分布其它的分布返回主目录第三章 习题课返回主目录第三章 习题课返回主目录第三章 习题课例1 设二维随机变量（X，Y）的概率密度函数为 （1）求边缘概率密度函数. （2）求 第三章 习题课解：第三章 习题课第三章 习题课例2 设(X, Y)在区域D= (x,y)| 0 x 1,0 y 2 上服从均匀分布，（1）求X和Y的联合概率密度。（2）设含有a的二次方程为 试求a有实根的概率。解: 由题意知方程有实根的条件为 因此第三章 习题课例3在一简单电路中，两个电阻串联连接。相互独立，概率密度函数均为设求总电阻的概率密度函数解：的概率密度函数
12、为 上述积分的第三章 习题课被积函数不等于零。参考图可得101020当0 r 10, 第三章 习题课当10 r 20,第三章 习题课例4某箱装有某箱装有100100件产品，其中一、二、三等品数目件产品，其中一、二、三等品数目分别是分别是8080，1010，1010件，现在从中不放回地依次取件，现在从中不放回地依次取两件，令两件，令 i =1,2.试求试求： （1 1）和和的联合分布率；（的联合分布率；（2 2）说明）说明是否独立是否独立. . 和和解：解： 第三章 习题课是不独立是不独立。 与第三章 习题课例5 设随机变量 与相互独立， 服从区间上的均匀分布， 服从的指数分布求（1）X和Y的联合密度；（2）设含有a的二次方程为试求a有实根的概率； （3）又设随机变量 试求随机变量的概率密度函数. 第三章 习题课解：由已知易得（1） 由于X,Y独立， 因此X和Y的联合密度为 （2）方程有实根，则 即 ，. P(方程有实根)=P( ) 第三章 习题课 (3)利用公式 当且仅当 .当0z1时， 当时， .第三章 习题课故或利用公式 当且仅当 当0z1时， 当 时， .第三章 习题课 设二维随机变量有密度函数： 练练 习习 第三章 习题课（1）求常数（2）求边缘概率密度（3）是否相互独立。解: (1) 第三章 习题课则（2）（3）, 所以相互独立.
