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1、圆里的截长补短天津石化一中 曹诚题目：如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA = MB+MC.）ABCM分析：把已知条件及可得结论标在图上：606060 60BAC=60，。.题目：如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA = MB+MC.）ABCM分析：把已知条件及可得结论标在图上：606060 60BAC=60，。.把能表示的60角用圆弧表示：题目：如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA = MB+MC.）ABCM分析：把已知条件及可得结论标在图上：6060 60BAC=60，。.把能表示的60角用圆弧表示：）题目：如图，M是等边ABC的外接圆BC上
2、的一点，求证：MA = MB+MC.）ABCM分析：把已知条件及可得结论标在图上：60 60BAC=60，。.把能表示的60角用圆弧表示：）题目：如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA = MB+MC.）ABCM分析：把已知条件及可得结论标在图上：BAC=60，。.把能表示的60角用圆弧表示：）60题目：如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA = MB+MC.）ABCM分析：把已知条件及可得结论标在图上：BAC=60，。.把能表示的60角用圆弧表示：）题目：如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA = MB+MC.）ABCMBAC=60，。.）分析1：补
3、短法延长BM到N，使MN=CM，NCMN=BAC=60，）连结CN.MA=NB，MA？NB？MACNBC，AC=BC， MAC=NBC，AMC=BNC，AMC=60，BNC=60，CMN是等边三角形，CMN是等边三角形，题目：如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA = MB+MC.）ABCM。.）证法1： 延长BM到N，使MN=CM，N）连结CN.MA=NB，MACNBC，AC=BC，MA=MB+MC.AB=BC=CA，BAC=ABC=60.CMN=BAC=60，CMN是等边三角形，BNC=60.AMC=ABC=60，AMC=BNC.MAC=NBC，题目：如图，M是等边ABC的外
4、接圆BC上的一点，求证：MA = MB+MC.）ABCMBAC=60，。.）分析2：补短法延长MB到S，使BS=MC，SACM=ABS，连结AS.MA=MS，MA？SA？AC=AB，ABS=ACM，MC=SB，MACSAB，AMB=60，MA=MS=AS，MA=AS，ABCM。.）证法2： 延长MB到S，使BS=MC，S连结AS.AC=AB=BC，则ABS=ACM.MACSAB，AMB=ACB=60，MA=MS=AS，MA=SA.MA=MB+MC.题目：如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA = MB+MC.）ACB=60，题目：如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，求证：M
5、A = MB+MC.）ABCM。.）分析3：补短法延长MC到T，使CT=BM，TABM=ACT，连结AT.MA=MT，MA？TA？AB=AC，ACT=ABM，BM=CT，MABTAC，AMC=60，MA=MT=AT，MA=AT，ABCM。.）证法3： 延长MC到T，使CT=BM，T连结AT.则ACT=ABM，AC=AB=BC，MABTAC， AMC=ABC=60，MA=MT=AT，MA=TA.MA=MB+MC.题目：如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA = MB+MC.）ABC=60，题目：如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA = MB+MC.）ABCM。.）分
6、析4：补短法延长CM到F，使MF=BM，FABM=CBF，连结BF.MA=FC，MA？FC？AB=CB，BM=BF，MABFCB，BAC=60，BMF=BAC=60，）BFM是等边三角形，BFM是等边三角形，）ABCM。.）证法4：延长CM到F，使MF=BM，FFMB=FBM=60，连结BF，MA=FC， AB=AC=CB，BAC=ABC=60.BM=BF，MABFCB，则BMF=BAC=60，）则BFM是等边三角形，）ABM=CBF，MA=MB+MC.题目：如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA = MB+MC.）题目：如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA =
7、MB+MC.）ABCM。）分析5：截长法在AM上截取AE=MC，EBCM=BAM，连结BE.ME=MB，MB？EB？BC=BA，CM=AE，MBCEBA，AMB=60，ME=MB=BE，MB=EB，ABCM。）证法5： 在AM上截取AE=MC，EBCM=BAE， CM=AE，ME=MB；BC=BA=AC，ACB=60.MBCEBA，AMB=ACB=60，ME=MB=BE，MA=ME+AE=MB+MC.连结BE.题目：如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA = MB+MC.）题目：如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA = MB+MC.）ABCM分析6：截长法在MA上
8、截取MK=MC，KKAC=MBC，连结KC.AK=MB，AK？BM？AC=BC，AKC=BMC，AKCBMC，KCM是等边三角形，BMC=120，.）AKC=120，KCM是等边三角形.）ABCM证法6： 在MA上截取MK=MC，KKAC=MBC，连结KC.AK=MB，AC=BC=AB，ABC=ACB=60，AMC=ABC=60， AMB=ACB=60，BMC=120，AKCBMC，KCM是等边三角形，.）AKC=120=BMC，）MA=AK+MK=MB+MC.题目：如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA = MB+MC.）题目：如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，求证：M
9、A = MB+MC.）ABCM分析7：截长法在AM上截取AD=MB，DMBC=DAC，连结DC.MD=MC，MC？DC？CB=CA，BM=AD，MCBDCA，DMC=60，.）MD=MC=DC，）MC=DC，ABCM证法7： 在AM上截取AD=MB，DMBC=DAC，连结DC.CB=CA=AB，ABC=60.BM=AD，MCBDCA，DMC=ABC=60，.）MD=MC=DC，）MC=DC.MA=AD+MD=MB+MC.题目：如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA = MB+MC.）题目：如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA = MB+MC.）ABCM。）分析8：
10、截长法在MA上截取MH=MB，HBAH=BCM，连结BH.AH=MC，AH？CM？AB=CB，ABH=CBM，AHBCMB，ABC=60，HBM=60，HBM是等边三角形.HBM是等边三角形.ABCM。）证法8： 在MA上截取MH=MB，HBAH=BCM，AHBCMB， AH=MC，连结BH.AB=CB=BC，ACB=ABC=60.AMB=ACB=60，HBM是等边三角形，HBM=60=ABC，ABH=CBM.MA=MH+AH=MB+MC.题目：如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA = MB+MC.） “截长补短”是初中平面几何中化难为易的一种常用解题思想。 本题是一道典型例题
11、。 这里表现 8 种证法，是要说明实际解题时怎么补、怎么截。在作好辅助线后要及时看到所产生的辅助条件，结合已知条件打通思路。 本题的其它证法附于后面。ABCM证法9：BC=AC=AB，由托勒密定理得BCMA =ACMB+ABMC.MA=MB+MC.题目：如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA = MB+MC.）ABCM。）证法10：记MA交BC于点P.AMC=AMB .BCM=BAM ，MCP MAB ，MA=MB+MC.题目：如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA = MB+MC.）P = ；MC CPMA AB同理， = .MB BPMA AC + = + =1，MB MC BP CPMA MA AC ABAC=AB， AC(=AB，BC=AC=AB，.
