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1、同济大学高等数学同济大学高等数学( (第四版第四版) )第三章习题课第三章习题课上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回洛必达法则洛必达法则Rolle定理定理LagrangeLagrange中值中值定理定理常用的常用的泰勒公式泰勒公式CauchyCauchy中值定理中值定理TaylorTaylor中值定理中值定理单调性单调性, ,极值与最值极值与最值, ,凹凸性凹凸性, ,拐点拐点, ,函数函数图形的描绘图形的描绘; ;曲率曲率; ;求根方法求根方法. .导数的应用导数的应用一、主要内容一、主要内容上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页
2、返回返回上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回6 6、导数的应用、导数的应用定理定理(1) 函数单调性的判定法函数单调性的判定法上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回定义定义(2) 函数的极值及其求法函数的极值及其求法上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回定理定理( (必要条件必要条件) )定义定义函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值,使函数取得使函数
3、取得极值的点称为极值的点称为极值点极值点.极值是函数的局部性概念极值是函数的局部性概念: :极大值可能小于极小极大值可能小于极小值值,极小值可能大于极大值极小值可能大于极大值.驻点和不可导点统称为驻点和不可导点统称为临界点临界点. .上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回定理定理( (第一充分条件第一充分条件) )定理定理( (第二充分条件第二充分条件) )上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回求极值的步骤求极值的步骤: :上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回步骤步骤: :1.求驻点和不可导点求驻点和不可导点;2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值求区间端点及驻
4、点和不可导点的函数值,比比较大小较大小,那个大那个就是最大值那个大那个就是最大值,那个小那个就那个小那个就是最小值是最小值;注意注意: :如果区间内只有一个极值如果区间内只有一个极值,则这个极值就则这个极值就是最值是最值.(最大值或最小值最大值或最小值)(3) 最大值、最小值问题最大值、最小值问题上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回实际问题求最值应注意实际问题求最值应注意: :1)建立目标函数建立目标函数;2)求最值求最值;(4) 曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点定义定义上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回定理定理1 1上
5、页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回方法方法1:1:方法方法2:2:上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回利用函数特性描绘函数图形利用函数特性描绘函数图形.第一步第一步第二步第二步(5) 函数图形的描绘函数图形的描绘上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回第三步第三步第四步第四步 确定函数图形的水平、铅直渐近线以及其确定函数图形的水平、铅直渐近线以及其他变化趋势他变化趋势;第五步第五步上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回(6) 弧微分弧微分 曲率曲率 曲率圆曲率圆 曲率的计算公式曲率的计算公式上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回定义定义上页上
6、页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回例例1 1解解二、典型例题上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回这就验证了命题的正确性这就验证了命题的正确性.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回例例2 2解解上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回例例3 3证证由介值定理由介值定理,上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回注意到注意到由由, 有有+ ,得得上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回例例4 4证证上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回例例5 5证证上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 ,则有则有上页上页下页下页返回返回上
7、页上页下页下页返回返回例例6 6解解上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回若两曲线满足题设条件若两曲线满足题设条件,必在该点处具有相同的一阶导必在该点处具有相同的一阶导数和二阶导数数和二阶导数,于是有于是有上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回解此方程组得解此方程组得故所求作抛物线的方程为故所求作抛物线的方程为曲率圆的方程为曲率圆的方程为两曲线在点处的曲率圆的圆心为两曲线在点处的曲率圆的圆心为上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回例例7 7解解奇函数奇函数上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回列表如下列表如
8、下:上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回极大值极大值拐点拐点极小值极小值上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回作图作图上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回测测 验验 题题上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回测验题答案测验题答案上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回七、七、
