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1、结构力学结构力学 STRUCTURE MECHANICS第第7章章第第7 7章章 力法力法超静定结构的概念和超静定次数的确定超静定结构的概念和超静定次数的确定一、超静定结构的概念一、超静定结构的概念1 1、超静定结构的定义、超静定结构的定义2 2、超静定结构的特点、超静定结构的特点 具有几何不变性、而又有多余约束的结构。其反力和内力具有几何不变性、而又有多余约束的结构。其反力和内力只凭静力平衡方程不能确定或不能完全确定。只凭静力平衡方程不能确定或不能完全确定。 （1 1）结构的反力和内力只凭静力平衡方程不能确定或不能）结构的反力和内力只凭静力平衡方程不能确定或不能完全确定完全确定 （2 2）除
2、荷载之外，支座移动、温度改变、制造误差等均引）除荷载之外，支座移动、温度改变、制造误差等均引起内力。起内力。（3 3）多余联系遭破坏后，仍能维持几何不变性。）多余联系遭破坏后，仍能维持几何不变性。（4 4）局部荷载对结构影响范围大，内力分布均匀。）局部荷载对结构影响范围大，内力分布均匀。 4 4、超静定结构的类型、超静定结构的类型 3 3、关于超静定结构的几点说明、关于超静定结构的几点说明 （1 1）多余是相对保持几何不变性而言，并非真正多余。）多余是相对保持几何不变性而言，并非真正多余。（2 2）内部有多余联系亦是超静定结构。）内部有多余联系亦是超静定结构。（3 3）超静定结构去掉多余联系后
3、，就成为静定结构。）超静定结构去掉多余联系后，就成为静定结构。（4 4）超静定结构应用广泛。）超静定结构应用广泛。 （1 1）超静定梁）超静定梁（2 2）超静定刚架）超静定刚架（3 3）超静定桁架）超静定桁架（4 4）超静定拱）超静定拱（5 5）超静定组合结构）超静定组合结构第第7章章s二、常见超静定结构的类型二、常见超静定结构的类型梁梁刚架刚架桁架桁架拱拱铰接排架铰接排架组合结构组合结构二、超静定次数的确定二、超静定次数的确定1 1、如何确定超静定次数、如何确定超静定次数 去掉超静定结构的多余约束，使其成为静定结构；去掉超静定结构的多余约束，使其成为静定结构；则去掉多余约束的个数即为该结构的
4、超静定次数。则去掉多余约束的个数即为该结构的超静定次数。第第7章章2次超静定次超静定7次超静定次超静定1次超静定次超静定3次超静定次超静定2次超静定次超静定s（1 1）去掉支座的一根支杆或切断一根链杆相当于去掉一个联系。）去掉支座的一根支杆或切断一根链杆相当于去掉一个联系。 （2 2）去掉一个铰支座或一个简单铰相当于去掉两个联系。）去掉一个铰支座或一个简单铰相当于去掉两个联系。（3 3）去掉一个固定支座或将刚性联结切断相当于去掉三个联系。）去掉一个固定支座或将刚性联结切断相当于去掉三个联系。 （4 4）将固定支座改为铰支座或将刚性联结改为铰联结相当于）将固定支座改为铰支座或将刚性联结改为铰联结
5、相当于去掉一个联系。去掉一个联系。第第7章章2 2、去掉多余联系的方法、去掉多余联系的方法3 3、确定超静定次数时应注意的问题、确定超静定次数时应注意的问题（1 1）刚性联结的封闭框格，必须沿某一截面将其切断。）刚性联结的封闭框格，必须沿某一截面将其切断。 （2 2）去掉多余联系的方法有多种，但所得到的必须是几何不变）去掉多余联系的方法有多种，但所得到的必须是几何不变体系；几何可变、瞬变均不可以。体系；几何可变、瞬变均不可以。三、超静定结构的分析方法三、超静定结构的分析方法超静定结构超静定结构 解法解法 力法力法 位移法位移法 力矩分配法力矩分配法 矩阵位移法矩阵位移法 7.2 7.2 力法原
6、理和力法方程力法原理和力法方程一、一、力法涉及到的结构与体系力法涉及到的结构与体系第第7章章原结构原结构基本结构基本结构原结构体系原结构体系基本结构体系基本结构体系二、力法原理二、力法原理1 1、解题思路、解题思路基本结构基本结构qx1x1q 1P 1X21ql原结构原结构位移条件：位移条件： 1P+ 11=0因为因为 11= 11 X1 （ 右下图）右下图）所以所以 11 X1 + 1P =0 X1= - 1P/ 11x1=111第第7章章2 2、解题步骤、解题步骤（1 1）选取力法基本结构；）选取力法基本结构；（2 2）列力法基本方程；）列力法基本方程；（3 3）绘单位弯矩图、荷载弯矩图；
7、）绘单位弯矩图、荷载弯矩图；（4 4）求力法方程各系数，解力法方程；）求力法方程各系数，解力法方程；（5 5）绘内力图。）绘内力图。第第7章章二、超静定次数的确定（去约束法）二、超静定次数的确定（去约束法）一个结构所具有的多余约束数就是它的一个结构所具有的多余约束数就是它的超静定次数超静定次数。PPQA1次超静定次超静定2次超静定次超静定切断一根链杆等于去掉一个约束切断一根链杆等于去掉一个约束去掉一个单铰等于去掉两个约束去掉一个单铰等于去掉两个约束PPQP3次超静定次超静定切断一根梁式杆等于去掉三个约束切断一根梁式杆等于去掉三个约束P1次超静定次超静定在连续杆中加一个单铰等于去掉一个约束在连续
8、杆中加一个单铰等于去掉一个约束PP3次超静定次超静定一个无铰封闭圈有三个多余联系一个无铰封闭圈有三个多余联系注注：基本结构有多种选择：基本结构有多种选择1次超静定次超静定EIqqqqq21ql原结构原结构基本结构基本结构qx12ql/2MP图图x1=1lMl图图解：解：力法方程力法方程式中：式中：M图图ql/82ql/823ql/8Q图图5ql/8第第7章章基本结构基本结构qx1Aql原结构原结构试选取另一基本结构求解：试选取另一基本结构求解：EIB第第7章章解：解：力法方程力法方程式中：式中：M图图ql/82ql/82Q图图5ql/83ql/8基本结构基本结构qx1x1=11Ml图图ql/8
9、2MP图图21ql原结构原结构EI第第7章章二、力法的典型方程二、力法的典型方程三次超静定结构力法方程：三次超静定结构力法方程：力法典型方程：力法典型方程：第第7章章CAqBDPx1x3Bx2CAqDPqPx3=1x3x2=1x2x1=1x1推广：推广：n次超静定结构次超静定结构1）的物理意义；的物理意义；2）由位移互等定理）由位移互等定理；3） 表示柔度，只与结构本身和基本未知力的选择有关，与外荷载无关；表示柔度，只与结构本身和基本未知力的选择有关，与外荷载无关；4）柔度系数的性质）柔度系数的性质主系数主系数副系数副系数位移的地点位移的地点产生位移的原因产生位移的原因5）适用于任何外因的作用
10、。如温度改变或支座位移作用时，该自由项）适用于任何外因的作用。如温度改变或支座位移作用时，该自由项 为为 或或 即可。即可。四、力法计算超静定结构的步骤四、力法计算超静定结构的步骤1 1）确定超静定次数，解除多余约束代以多余约束力，）确定超静定次数，解除多余约束代以多余约束力，建立力法基本结构建立力法基本结构; ;2 2）建立力法典型方程）建立力法典型方程; ;3 3）作单位力内力图和荷载内力图，计算柔度系数和自）作单位力内力图和荷载内力图，计算柔度系数和自由项由项; ;4 4）求解典型方程，得基本未知量）求解典型方程，得基本未知量; ;5 5）根据叠加原理作内力图，并校核。）根据叠加原理作内
11、力图，并校核。7.3 7.3 用力法计算超静定梁和刚架用力法计算超静定梁和刚架一、超静定梁的计算一、超静定梁的计算第第7章章BCllAEDlPPx1基本体系基本体系PPlMP图图 用力法计算图示结构，用力法计算图示结构， 作作M 图。图。DE 杆抗弯刚度为杆抗弯刚度为EI，AB杆抗弯刚度杆抗弯刚度为为2EI，BC杆杆 EA= 。 0.444Pl0.139 Pl0.278 Pl最后弯矩图最后弯矩图M1图图2ll/24-3 4-3 超静定刚架和排架超静定刚架和排架一、刚架一、刚架P=3kN3m3m3m3mq=1kN/mI2I2I12341、基本结构与基本未知量：、基本结构与基本未知量：2、典型方程
12、、典型方程 基本结构基本结构基本结构基本结构基本结构基本结构（注注：基本结构的多样性，此处我们选用基本结构：基本结构的多样性，此处我们选用基本结构） 18279663663、系数与自由项、系数与自由项4、 解方程得解方程得5、求内力、求内力2.6723.56注注：超静定结构受荷载作用，它的反力和内力与杆件刚度相对值有关，：超静定结构受荷载作用，它的反力和内力与杆件刚度相对值有关， 与其绝对值无关。与其绝对值无关。例例7-2 7-2 试分析图示超静定梁。设试分析图示超静定梁。设EIEI为常数。为常数。力法方程力法方程:第第7章章式中式中: :第第7章章力法方程力法方程: :将以上各式代入力法方程
13、组求得将以上各式代入力法方程组求得: :内力图如下：内力图如下：M图图Q图图解：解：力法方程力法方程式中：式中：ABl原体系原体系abpM MP P图图ppa基本结构基本结构(1)(1)x1BpA第第7章章 例例7-1 7-1 试作图试作图示梁的弯矩图。设B B端弹簧支座的弹簧刚度系数为k k，梁抗弯刚度EIEI为常数。x1=1lM Ml l图图b解：解：力法方程力法方程ABl原结构原结构abp基本结构基本结构(2)ABpx1MP图图ABpPab/l第第7章章Ml图图ABX1=11解：解：力法方程力法方程基本结构基本结构(3)ABpx1ABl原结构原结构abpMP图图ppaBlMl图图BX1=
14、1第第7章章pA原结构原结构BDCkk8m8m8m2m基本结构基本结构(1)pABDCkx1x2解：解：力法方程力法方程:第第7章章pA原结构原结构BDCkk8m8m8m2mp解：解：力法方程力法方程:基本结构基本结构(2)ABDCx1x2第第7章章pABDCkk8m8m8m2m解：解：力法方程力法方程:基本结构基本结构(3)原结构原结构pABDCx1x2kk第第7章章二、超静定刚架的计算二、超静定刚架的计算第第7章章例题例题7-3 7-3 用力法计算图示超静定刚架，作内力图。各杆用力法计算图示超静定刚架，作内力图。各杆EIEI相同。相同。 x1（）x2（）解力法方程组，得超静定刚架的内力图超
15、静定刚架的内力图第第7章章X1=36.67kNX2=5.93kN7.4 7.4 用力法计算超静定桁架和组合结构用力法计算超静定桁架和组合结构解：解： 力法方程：力法方程：一、超静定桁架如图所示，各杆一、超静定桁架如图所示，各杆EAEA相同，求各杆内力。相同，求各杆内力。第第7章章式中：式中：解方程，可得：解方程，可得：第第7章章解：解：力法方程力法方程二、超静定组合结构的计算二、超静定组合结构的计算第第7章章第第7章章三、超静定排架的计算三、超静定排架的计算 1 1、排架有那几部分组成，是工程中哪一类结构的、排架有那几部分组成，是工程中哪一类结构的简化？简化？ 2 2、排架的受力特点是什么？、
16、排架的受力特点是什么？ 3 3、如何用力法计算排架，一般将排架的哪一部分、如何用力法计算排架，一般将排架的哪一部分作为多余约束对待？作为多余约束对待？代入力法方程后，得：代入力法方程后，得：第第7章章二、铰接排架二、铰接排架1相对相对值值I1I2I3I3I4I4基本结构基本结构1、基本结构与基本未知量：、基本结构与基本未知量：9.359.356.756.7517.643.22、典型方程、典型方程 3、系数与自由项、系数与自由项4、 解方程得解方程得185、求内力、求内力7.5 7.5 两铰拱及系杆拱的计算两铰拱及系杆拱的计算解：解：力法方程力法方程P2P3P1原结构原结构ABP2P3P1基本结
17、构基本结构x1BA一、两铰拱的特点：一、两铰拱的特点：二、计算方法：二、计算方法：（当（当f/l1/3，t/l1/10时，计算时，计算11可略去剪力可略去剪力影响；计算影响；计算 时，剪时，剪力、轴力均可略去）力、轴力均可略去）第第7章章 1 1、不带拉杆两铰拱的计算：、不带拉杆两铰拱的计算：第第7章章 不带拉杆两铰拱的计算公式：不带拉杆两铰拱的计算公式： 将将 代入力法方程，得：代入力法方程，得：P152 式（式（7-15）第第7章章（当（当f/l1/3，t/l1/10时，计算时，计算11可略去剪力可略去剪力影响，但应考虑拉杆的影响，但应考虑拉杆的变形；计算变形；计算 时，剪时，剪力、轴力均
18、可略去）力、轴力均可略去）P2P3P1原结构原结构ABP2P3P1基本结构基本结构x1BA2、带拉杆两铰拱的计算：、带拉杆两铰拱的计算：解：解：力法方程力法方程第第7章章7.6 7.6 温度变化和支座移动时超静定结构的计算温度变化和支座移动时超静定结构的计算一、要点：一、要点： 支座移动、温度改变、制造误差等外部因素均会引起超支座移动、温度改变、制造误差等外部因素均会引起超静定结构的内力。用力法计算时，基本原理与荷载作用下的静定结构的内力。用力法计算时，基本原理与荷载作用下的相同，所不同的是：相同，所不同的是：结构的内力与各杆结构的内力与各杆EIEI的绝对值有关，不的绝对值有关，不象荷载作用时
19、仅受各杆象荷载作用时仅受各杆EIEI间比值的影响。间比值的影响。二、温度变化时超静定结构的计算二、温度变化时超静定结构的计算ABC基本结构基本结构ABC第第7章章式中：式中：力法方程力法方程:第第7章章举例：温度变化如图所示。举例：温度变化如图所示。、EI、h为已知常数。为已知常数。ABCllABCABC11ABClll力法方程力法方程:第第7章章式中：式中：ABC 温度改变时，超静定结构的内力与各杆温度改变时，超静定结构的内力与各杆EIEI的绝对值有的绝对值有关，不象荷载作用时仅受各杆关，不象荷载作用时仅受各杆EIEI间比值的影响。间比值的影响。第第7章章第第7章章 例例7-8 图示刚架外侧
20、温度升高图示刚架外侧温度升高25，内侧温度升高，内侧温度升高15，绘绘弯矩图。弯矩图。EIEI为常数，截面对称于形心轴，为常数，截面对称于形心轴，为已知。为已知。力法方程：力法方程：第第7章章 例例7-8 图示刚架外侧温度升高了图示刚架外侧温度升高了25，内侧温度升高了，内侧温度升高了15，试绘制其弯矩图并计算横梁中点的竖向位移。刚架试绘制其弯矩图并计算横梁中点的竖向位移。刚架EIEI等于常数，等于常数，截面对称于形心轴，其高度，材料线膨胀系数为截面对称于形心轴，其高度，材料线膨胀系数为。对应不同的基本结构有不同的力法方程：对应不同的基本结构有不同的力法方程：解：解：力法方程力法方程:基本结构
21、基本结构(1)ABDCX2X1A原结构原结构BDCC1lllC2三、支座移动时超静定结构的计算三、支座移动时超静定结构的计算第第7章章对应不同的基本结构有不同的力法方程：对应不同的基本结构有不同的力法方程：解：解：力法方程力法方程:基本结构基本结构(2)ABDCC1C2X2X1A原结构原结构BDCC1lllC2第第7章章对应不同的基本结构有不同的力法方程：对应不同的基本结构有不同的力法方程：解：解：力法方程力法方程:A原结构原结构BDCC1lllC2基本结构基本结构(3)ABDCC1X2X1第第7章章ABDCC1lllC2以基本结构以基本结构(2)为例：为例：四、如何求四、如何求ABDC2X1
22、=11X2=1ABDC21第第7章章ABDCC1lllC2以基本结构以基本结构(3)为例：为例：ABDC2X1=11ABDC3X2=12第第7章章五、举例五、举例AB Al1ABX1=1M1BX1基本结构（一）基本结构（一）解法解法1：取基本结构（一）取基本结构（一）力法方程力法方程:式中：式中：依计算结果绘依计算结果绘内力图如下页内力图如下页所示。所示。第第7章章解法解法2：取基本结构（二）取基本结构（二）力法方程力法方程:式中：式中：依计算结果绘内力图如下、进一步求出支座反力。依计算结果绘内力图如下、进一步求出支座反力。M图图ABQ图图ABABX1=1lM1BX1基本结构（二）基本结构（二
23、） AL1第第7章章7.7 7.7 对称性结构的计算对称性结构的计算一、基本概念一、基本概念 1 1、对称结构：、对称结构：几何形状、截面尺寸、支承情况和弹性模几何形状、截面尺寸、支承情况和弹性模量均对称于几何轴线的结构。量均对称于几何轴线的结构。 2 2、对称荷载：、对称荷载：沿对称轴反转沿对称轴反转180度后，对称轴两侧的荷度后，对称轴两侧的荷载将重合，具有相同的大小和方向。载将重合，具有相同的大小和方向。kkkkkkkkkkkkqpppp第第7章章 3、反对称荷载：沿对称轴反转、反对称荷载：沿对称轴反转180度后，对称轴两侧的度后，对称轴两侧的荷载将重合，具有相同的大小、相反的方向。荷载
24、将重合，具有相同的大小、相反的方向。ppkkkkkkqppq二、对称结构在对称荷载作用下的内力及变形特点：二、对称结构在对称荷载作用下的内力及变形特点： 反对称多余力为零，结构的内力和变形是对称的。反对称多余力为零，结构的内力和变形是对称的。三、对称结构在反对称荷载作用下的内力及变形特点：三、对称结构在反对称荷载作用下的内力及变形特点： 对称多余力为零，结构的内力和变形是反对称的。对称多余力为零，结构的内力和变形是反对称的。第第7章章对称结构及其特性对称结构及其特性对称的含义：对称的含义： 结构的几何形状结构的几何形状 杆件截面和材料杆件截面和材料 （E I 、EA、GA等）等）1、对称结构、
25、对称结构 结构的支座情况结构的支座情况对某轴对称。对某轴对称。2、对称结构的受荷特性、对称结构的受荷特性（1）受正对称荷载作用时，反力、内力及变形也正对称。）受正对称荷载作用时，反力、内力及变形也正对称。（2）受反对称荷载作用时，反力、内力及变形也反对称。）受反对称荷载作用时，反力、内力及变形也反对称。受对称荷载的对称结构受对称荷载的对称结构lll反力、内力对称反力、内力对称变形对称变形对称受反对称荷载的对称结构受反对称荷载的对称结构lll反力、内力反对称反力、内力反对称变形反对称变形反对称kkqq对称结构在对称荷载作用下的内力及变形分析：对称结构在对称荷载作用下的内力及变形分析：qq原结构原
26、结构基本结构基本结构M1图图Mp图图M3图图M2图图力法方程力法方程:第第7章章分析分析: :于是，原方程变为：分析于是，原方程变为：分析:解方程，可得解方程，可得:结论：结论： 对称结构在对称荷载作用下，其对称结构在对称荷载作用下，其反对称多余力为零，结构的内力和反对称多余力为零，结构的内力和变形是对称的。变形是对称的。第第7章章kkqq对称结构在反对称荷载作用下的内力及变形分析：对称结构在反对称荷载作用下的内力及变形分析：qq原结构原结构基本结构基本结构M1图图Mp图图M3图图M2图图力法方程力法方程:第第7章章分析分析: :于是，原方程变为：分析于是，原方程变为：分析:解方程，可得解方程
27、，可得:结论：结论： 对称结构在反对称荷载作用对称结构在反对称荷载作用下，其对称多余力为零，结构下，其对称多余力为零，结构的内力和变形是反对称的。的内力和变形是反对称的。第第7章章2、使用组合未知力、使用组合未知力PP/2P/2P/2P/2=+EIEI2EIP P/2EIEI2EI P/2=+EIEI2EI P/2 P/2四、对称性利用举例四、对称性利用举例例题例题1基本结构基本结构1基本结构基本结构2第第7章章例题例题2基本结构基本结构1基本结构基本结构2第第7章章7.10 7.10 超静定结构的位移计算及最后内力图的校核超静定结构的位移计算及最后内力图的校核一、超静定结构的位移计算一、超静
28、定结构的位移计算 1、原理：、原理：先求出超静定结构的多余未知力，而后将多先求出超静定结构的多余未知力，而后将多余力当作荷载与结构原外部因素一起，同时加在基本结构余力当作荷载与结构原外部因素一起，同时加在基本结构上上 ；则基本结构在上述总外部因素作用下的位移就是原超；则基本结构在上述总外部因素作用下的位移就是原超静定结构的位移。静定结构的位移。 2、操作：、操作：将超静定结构的最后弯矩图作为求位移的将超静定结构的最后弯矩图作为求位移的MP图，求哪个方向的位移就在要求位移的方向上加上相应的图，求哪个方向的位移就在要求位移的方向上加上相应的单位力，而后按下式计算即可。单位力，而后按下式计算即可。第
29、第7章章3、应注意的问题、应注意的问题3 （1）可取任一基本结构作为虚拟状态，尽量取单位弯）可取任一基本结构作为虚拟状态，尽量取单位弯矩图比较简单的基本结构。（矩图比较简单的基本结构。（ CV=7pl /768EI)第第7章章 （2）单位弯矩图的约束不能大于原结构的约束。）单位弯矩图的约束不能大于原结构的约束。第第7章章 （3）计算超静定结构由于温度改变、支座移动、制造误）计算超静定结构由于温度改变、支座移动、制造误差引起的位移时，其位移除包括差引起的位移时，其位移除包括MK图与图与MP图相乘部分外，图相乘部分外，还应包括上述因素在基本结构上引起的位移。还应包括上述因素在基本结构上引起的位移。第第7章章二、超静定结构最后内力图的校核二、超静定结构最后内力图的校核 1 1、正确的内力图应满足的条件、正确的内力图应满足的条件2 2、校核方法、校核方法 （1）静力平衡条件。）静力平衡条件。 （2）位移条件）位移条件（1）截取结构的任一部分，看其是否满足）截取结构的任一部分，看其是否满足 M=0、 X=0、 Y=0，验算平衡条件。，验算平衡条件。（2）验算沿任一多余力方向的位移，看其是否与原已知位）验算沿任一多余力方向的位移，看其是否与原已知位移相符，以验算位移条件。移相符，以验算位移条件。 （分析书上例题）（分析书上例题）第第7章章
