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1、向量的坐标表示和空间向量A(a,0,0)B(0,b,0)OxyzP(a,b,c)C(0,0,c)Q(a,b,0)空間向量的坐標表示法則點 P在 x 軸、y 軸、z 軸上的投影點分別為A(a,0,0)、B(0,b,0)、C(0,0,c)。一、空間向量的坐標1. 向量坐標：z 軸上的單位向量設點 P(a,b,c)，Oxyz說明：注意：A(1,2,3)B(4,3,1)C(2,3,5)D(x,y,z)2. 向量的長度：3. 向量的相等：4. 範例：空間坐標中，平行四邊形 ABCD 中，A(1,2,3)，解：B(4,3,1)，C(2,3,5)，求 D 點坐標。則 (x1 , y2 , z3)=(2 ,
2、6 , 4) x= 1，y= 4，z= 7。故 D(1 , 4 , 7)。5. 範例：空間坐標中，A(2,1,5)，B(8,3,2)，解：馬上練習：空間坐標中，P(2,4,3)，Q(7,4,9)，Ans：13。解：6. 範例：解：馬上練習：Ans：解：7. 向量的坐標運算：證明：證明：8. 範例：令A(1,6,0)，B(3,1,2)，C(4,4,5)為坐標空間中三點，若 D 為空間中一點，解：令 D(x,y,z)求點 D 的坐標。9. 向量的平行：證明：10. 範例：解：解：馬上練習：Ans：oo11. 範例：解：( 菱形的對角線即為分角線 )oo馬上練習：Ans：解：OPmnA(x1,y1,
3、z1)B(x2,y2,z2)證明：設原點O(0,0,0)，P(x,y,z)，二、分點公式：1. 分點公式：注意：(2)設ABC三頂點為 A(x1 , y1 , z1)、B(x2 , y2 , z2)、C(x3 , y3 , z3)，C(2,7,6)B(0,1,3)DA362. 範例：ABC中，A(2,3,4)，B(0,1,3)，C(2,7,6)，解：C(2,2,1)B(5,2,2)AEook3k馬上練習：ABC中，A(1,1,1)，B(5,2,2)，C(2,2,1)，Ans：解：求 E 點的坐標。DEFGBHCAP3. 範例：一正立方體如圖，解：JAHFGBDEC馬上練習：一平行六面體如圖，J
4、 為 BCGF 的中心，Ans：解：三、空間向量的內積：1.說明：分別是x、y、z軸上的單位向量，注意：解：2. 範例：設A(1,2,3)，B(2,3,5)，C(2,0,2)，馬上練習：設P(2,1,4)，Q(4,4,5)，R(7,2,3)，Ans：解：(1,3,0)(0,0,1)(1,3,1)HFBxzyCGAPED3. 範例：且FPB=，求cos之值。解：將長方體放在坐標空間中，以D為原點。(0,1,1)DxyzEFGBHCA以D為原點。馬上練習：右圖是一個邊長為 1 的正立方體，且HBG=，求cos之值。Ans：解：將正方體放在坐標空間中，(1,1,0)(0,0,1)ACBH4. 範例：
5、設A(2,1,2)，B(6,2,1)，C(3,1,4)，求：解：ABCH馬上練習：設A(4,3,2)，B(2,1,1)，C(2,2,6)，Ans：解：一、柯西不等式：1.證明：注意：2. 範例：已知三實數 x，y，z 滿足 x2+4y2+9z2=3，求 x+2y+3z 的最大值，及此時的 x，y，z 的值。解：所以 x+2y+3z 有最大值 3，此時等號成立，解：馬上練習：已知三實數 x，y，z 滿足 x2+2y2+3z2=6，求 x+2y+3z 的最小值，及此時的 x，y，z 的值。Ans：最小值6，此時 x= 1，y = 1，z = 1。所以 x+2y+3z 有最小值 6，此時等號成立，x
6、yz3. 範例：由周長12之三角形的三邊分別向外作正方形，如圖。問當三角形為何種三角形時，三個正方形的面積和會有最小值？又其值是多少？解：設三角形的三邊長為 x，y，z，所求面積和=x2+y2+z2，且x+y+z=12，故 x2+y2+z2 有最小值 48，此時等號成立， 此時 x = y = z = 4，即為正三角形。馬上練習：已知三實數 x，y，z 滿足 x+y+z=6，Ans：求 (x1)2+4y2+z2 的最小值，及求此時的 x，y，z 的值。解：xyzACBP653若 P 是 ABC 內部的動點，(1) 求 6x+5y+3z 之值。 (2) 求 x2+y2+z2 的最小值。解：(1) 因為 ABC=PAB+PBC+PCA，4. 範例：由海龍公式得xyzACBP653
