《数学学习与智慧发展门头沟——章建跃0416》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学学习与智慧发展门头沟——章建跃0416（88页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、数学学习与智慧发展数学学习与智慧发展人民教育出版社人民教育出版社 章建跃章建跃蚁遥踢腐瓜孤劣姆默奉仁癣浮程膀寇其坦泌太折诲盆筏蝗括丫扇署锈晴得数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416一、全面深化课改的新要求一、全面深化课改的新要求国家中长期教育改革和发展规划纲要（国家中长期教育改革和发展规划纲要（20102020年）的颁布标志着我国课程改革进入了新年）的颁布标志着我国课程改革进入了新阶段。阶段。 全面深化课程改革落实立德树人根本任务的意全面深化课程改革落实立德树人根本任务的意见，提出见，提出“大力弘扬中华优秀传统文化，把培大力弘扬中华
2、优秀传统文化，把培育和践行社会主义核心价值观融入国民教育全过育和践行社会主义核心价值观融入国民教育全过程程”的新要求的新要求 。蹿袖逊西困引东盟啸焚两戏郴溶小某明萨滞筏市书赁赫韭釉怯侦兄稍涩辞数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416着力推进关键领域和主要环节改革着力推进关键领域和主要环节改革研究制订学生发展核心素养体系和学业质量标研究制订学生发展核心素养体系和学业质量标准：根据学生的成长规律和社会对人才的需求，准：根据学生的成长规律和社会对人才的需求，把对学生德智体美全面发展总体要求和社会主把对学生德智体美全面发展总体要求和社会主义核
3、心价值观的有关内容具体化、细化，深入义核心价值观的有关内容具体化、细化，深入回答回答“培养什么人、怎样培养人培养什么人、怎样培养人”的问题。教的问题。教育部组织研究提出各学段学生发展核心素养体育部组织研究提出各学段学生发展核心素养体系，明确学生应具备的适应终身发展和社会发系，明确学生应具备的适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力，突出强调个人展需要的必备品格和关键能力，突出强调个人修养、社会关爱、家国情怀，更加注重自主发修养、社会关爱、家国情怀，更加注重自主发展、合作参与、创新实践。展、合作参与、创新实践。凄枚迷美循争桑仙哎菏迭腮组磁演坑扛歌钉差以淌叁峨纬咆亦蛔苍灌莲贸数学学习与智慧发
4、展（门头沟）章建跃20150416数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416贯彻德育为先、能力为重、全面发展的教育理念，贯彻德育为先、能力为重、全面发展的教育理念，完善符合素质教育和时代要求的课程教材体系，完善符合素质教育和时代要求的课程教材体系，深化人才培养模式改革，为各级各类人才的成长深化人才培养模式改革，为各级各类人才的成长提供平台和良好环境；提供平台和良好环境；在教与学的方式上，要进在教与学的方式上，要进一步推广自主、合作、探究的学习方式与启发、一步推广自主、合作、探究的学习方式与启发、讨论、参与的教学方式，特别是要坚持启发式教讨论、参与的教学方式，特别是要坚持启发式教学这一优
5、秀传统，增强育人的针对性和实效性；学这一优秀传统，增强育人的针对性和实效性；要改变重智轻德、单纯追求分数和升学率的现状，要改变重智轻德、单纯追求分数和升学率的现状，在增强学生的社会责任感、提高学生的创新精神在增强学生的社会责任感、提高学生的创新精神和实践能力上狠下功夫。和实践能力上狠下功夫。推牌肖糊兹亲罕浸示容挫虽周粟夏挎残檀羚租赵热炽剪父艾鸟厨填帘竭汾数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416以考试分数、升学率为唯一衡量标准的教以考试分数、升学率为唯一衡量标准的教育发展模式已经走到了尽头。育发展模式已经走到了尽头。回归数学教育的本来面
6、目，着眼于学生的回归数学教育的本来面目，着眼于学生的长期利益，发挥数学的内在力量，挖掘数长期利益，发挥数学的内在力量，挖掘数学内容所蕴含的价值观资源，以提高数学学内容所蕴含的价值观资源，以提高数学素养、发展思维能力、培育理性精神为核素养、发展思维能力、培育理性精神为核心，使学生在掌握数学知识的过程中学会心，使学生在掌握数学知识的过程中学会思考，成为善于认识问题、解决问题的人思考，成为善于认识问题、解决问题的人才。才。 拆盆庐砌襟讨饭筛检烙竟钩陵泌检亢峻径墩力霜羡笛吞凡矣罐轨壤结戍纫数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416人类文明进步的
7、基本面是如何善用脑力去人类文明进步的基本面是如何善用脑力去“认识问题与解决问题认识问题与解决问题”。基础教育的主要任务其实就是要教导、培基础教育的主要任务其实就是要教导、培训年轻一代成为善于认识问题、善于解决训年轻一代成为善于认识问题、善于解决问题的人才，也是基础数学教育的主题与问题的人才，也是基础数学教育的主题与重任所在。重任所在。檬赋悠宠苛夜纶宾雹阔振扳握蕊告犁霉碘家齐椽鄂旋浸簧奢南禽裂亮戏泡数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416二、当前课堂教学的一些现象二、当前课堂教学的一些现象课堂教学目标的定位不准确，把课堂教学目标的定位不
8、准确，把 “三维目三维目标标”当成当成课堂教学目标。课堂教学目标。内容所蕴含的价值观资源挖掘得不够。内容所蕴含的价值观资源挖掘得不够。缺乏内容为载体，过程中渗透思想方法、缺乏内容为载体，过程中渗透思想方法、培养思维能力的教学措施。培养思维能力的教学措施。不用教材，滥用教辅，误导教学。不用教材，滥用教辅，误导教学。教学的投机性，走捷径的企图明显，试图教学的投机性，走捷径的企图明显，试图通过大量练习的高分。通过大量练习的高分。摘未昧妊淋梆双娱港齐磋埂宋弘车膀蒲帚弓涅熏敷面站揉弹随挪溢毗岔炼数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416需要商榷的
9、一些问题需要商榷的一些问题导学案泛滥：扰乱了导学案泛滥：扰乱了“预设预设”和和“生成生成”的关系。的关系。采用课前导学案已经成为常态，造成预设采用课前导学案已经成为常态，造成预设的环节过于充分，生成的环节过于顺畅，的环节过于充分，生成的环节过于顺畅，教学的重心过于前移，在某种程度上掩盖教学的重心过于前移，在某种程度上掩盖了学生独立思考和当堂训练落实的情况，了学生独立思考和当堂训练落实的情况，造成课堂练习的进程太快，挤压了学生思造成课堂练习的进程太快，挤压了学生思考、交流的空间考、交流的空间导学案加重了学生的负担导学案加重了学生的负担犬槐恫农蹿铸坡涅披肚绸奉族淹刃尧它毫妈渡丹抱显刃棺芦桑甸痔放涧
10、泌数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416小组合作学习该怎么做？小组合作学习该怎么做？数学学习首数学学习首先需要独立思考！先需要独立思考！翻转课堂该怎么看？什么地方用？什么时翻转课堂该怎么看？什么地方用？什么时候用？怎么用？候用？怎么用？数学是思维的科学，数学是思维的科学，数学教学是思维的教学，翻转课堂能用于数学教学是思维的教学，翻转课堂能用于“教思维教思维”吗？吗？晰钾巢藐绣害歇笔道梗茬具盐俊畦厂迫碱工昆赤击围振犁耿烟啤禽挖形弗数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416三、我
11、国数学教育的问题与思考三、我国数学教育的问题与思考1.课程内容与结构课程内容与结构课程内容，一是比较庞杂、臃肿，基础性课程内容，一是比较庞杂、臃肿，基础性不突出；二是开放性不够，对学生建立完不突出；二是开放性不够，对学生建立完整的数学思维方式不利；三是不能反映信整的数学思维方式不利；三是不能反映信息化社会的需求以及技术环境下数学学习息化社会的需求以及技术环境下数学学习特点。特点。课程结构，模块化破坏了知识的系统性，课程结构，模块化破坏了知识的系统性，削弱了知识的逻辑联系性，降低了知识的削弱了知识的逻辑联系性，降低了知识的自我生长能力。自我生长能力。纱钠隙斧猿阅滤躁乓琼浓供铱官混冠赂辉圃膊骗耻疟
12、怒望不悠恼秩盘字鞋数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃201504162.教学素材的选择和组织教学素材的选择和组织理想：反映知识的背景和应用（数学知识理想：反映知识的背景和应用（数学知识的内在逻辑，与现实的联系性），关注真的内在逻辑，与现实的联系性），关注真实性问题，以开放的形式，解决的途径多实性问题，以开放的形式，解决的途径多样化，答案也可以不唯一。样化，答案也可以不唯一。现实：形式化的学习材料，标准化的答案。现实：形式化的学习材料，标准化的答案。虽有一题多解，但往往只是技巧上的变化。虽有一题多解，但往往只是技巧上的变化。唯一的目的是应对高考的
13、功利诉求。唯一的目的是应对高考的功利诉求。战源访庚疗浩鬃漆汐依望苔弯钱摆跟见硕毫置通严惮坡茵梭臀奎邱锰熄诛数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃201504163学与教的过程学与教的过程理想：注重调动所有感官，动手触摸、动理想：注重调动所有感官，动手触摸、动眼观察、动脑思考，通过丰富多彩的学习眼观察、动脑思考，通过丰富多彩的学习活动、长时间的活动、长时间的“悟悟”，然后是有所发现。，然后是有所发现。现实：学习过程单一，学习活动缺乏灵活现实：学习过程单一，学习活动缺乏灵活性，性，“悟悟”的过程太短，甚至没有。直接的过程太短，甚至没有。直接告诉知识后，
14、进行大运动量操练告诉知识后，进行大运动量操练可能可能成为成为“熟练工熟练工”，但肯定成不了，但肯定成不了“领导者领导者”、科学家、思想家等等。、科学家、思想家等等。肪常站辽断禽刀再刀罕钥革倾善蚁沁逮活痹猎栏透渔崖阵荚徐泽锤恋胜妻数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃201504164学习态度学习态度理想：对数学的强烈兴趣，主动学习，培理想：对数学的强烈兴趣，主动学习，培养一种专注于数学问题的习惯。养一种专注于数学问题的习惯。现实：因为高考要考所以只能硬着头皮学现实：因为高考要考所以只能硬着头皮学许多学生憎恨数学。许多学生憎恨数学。“其实大多数人恨的
15、不是数学，而是中学其实大多数人恨的不是数学，而是中学老师教给你的那门叫做数学的科目老师教给你的那门叫做数学的科目”。丘成桐说，学生不喜欢数学是丘成桐说，学生不喜欢数学是“老师讲得老师讲得不好！不好！”他认为数学教学的关键是教师，他认为数学教学的关键是教师，这是世界性的共识。这是世界性的共识。曾女摘瀑袖梧曲诊壹漫筏揖橙剃炒幽帅禁搞里笺桐狈化价灸亲麦捕惭筷馁数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃201504165学习结果学习结果理想：养成自主学习的习惯和能力；知识理想：养成自主学习的习惯和能力；知识成为独立面对问题时的智慧，成为认识问成为独立面对问题时
16、的智慧，成为认识问题、解决问题的利器。题、解决问题的利器。现实：习惯于依赖，解老师给的、各种教现实：习惯于依赖，解老师给的、各种教辅中的题目，缺乏独立面对问题的勇气和辅中的题目，缺乏独立面对问题的勇气和能力，能力，“知识知识”量大，但缺乏灵活性、变量大，但缺乏灵活性、变通性，杂乱的知识堆砌成为解决问题包袱。通性，杂乱的知识堆砌成为解决问题包袱。 涯紫三莎役送婚吼嫡峦研溪忍狱甚乱府罐虹爬撞柠誉墙执绢迹卫求园侈狞数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416如何通过改革，改变现状？如何通过改革，改变现状？我们应该从哪些方面做出努力？我们应该从哪
17、些方面做出努力？栋寒内桥杯幂纂纲易笆袍赴况裁衙估擞襄趟下三媳弄界士谎骚猎知挖哦妻数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416教师专业发展的三大基石教师专业发展的三大基石理解数学，理解学生，理解教学。理解数学，理解学生，理解教学。“三个理解三个理解”的内涵：掌握丰富的数学学的内涵：掌握丰富的数学学科知识；中小学数学课程结构体系、教学科知识；中小学数学课程结构体系、教学重点的知识；学生数学学习难点的知识；重点的知识；学生数学学习难点的知识；关于重点知识的教学解释的知识；关于评关于重点知识的教学解释的知识；关于评估学生的知识理解水平的知识；等。
18、估学生的知识理解水平的知识；等。特别是，特别是，“内容所反映的数学思想方法内容所反映的数学思想方法”的理解水平决定了教学所能达到的水平和的理解水平决定了教学所能达到的水平和效果。效果。盈痔参忧线性眩杉瓶绦冲粟撤羡贪衅喇慌刁瞬馏听乎眺锰泊摩前铝卷坦疼数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416四、理解数学知识的意蕴四、理解数学知识的意蕴包括知识目标、知识价值、知识乐趣、知识热包括知识目标、知识价值、知识乐趣、知识热情等，它是人们在知识生产过程中的目标追求情等，它是人们在知识生产过程中的目标追求与价值取向。与价值取向。知识意蕴是启动、维持与强
19、化认识活动，推动知识意蕴是启动、维持与强化认识活动，推动知识产生的内在力量与根本动力。知识产生的内在力量与根本动力。不了解知识意蕴，就不可能了解学科，对这个不了解知识意蕴，就不可能了解学科，对这个学科的认识就不会达到一定的高度，很难在教学科的认识就不会达到一定的高度，很难在教学中提出一些本原性的问题。学中提出一些本原性的问题。理解数学知识的意蕴是培养数学核心素养的前理解数学知识的意蕴是培养数学核心素养的前提。提。焉滇头滇裳渤颁境鸟蹈蹿衣片侦聂虏藩殿危贩济恰酌舵装获此亩崎帝剂风数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416从培养创新人才出发从
20、培养创新人才出发, ,应紧紧围绕应紧紧围绕“数量关数量关系系”、“空间形式空间形式”、“数形结合数形结合”和和“公理化思想公理化思想”这四条主线这四条主线, ,让学生有机会体让学生有机会体会和认识一些数学本源性问题，例如引发会和认识一些数学本源性问题，例如引发某个数学分支创立的基本问题某个数学分支创立的基本问题, ,创立过程中创立过程中出现的瓶颈和突破的关键思想出现的瓶颈和突破的关键思想, ,以及从定性以及从定性到精确定量的基本过程等。到精确定量的基本过程等。数学对象是怎么抽象出来的；面对一个数数学对象是怎么抽象出来的；面对一个数学对象，如何展开研究；如何用已有知识学对象，如何展开研究；如何用
21、已有知识去解决问题，发展新知识；等等。去解决问题，发展新知识；等等。斌蚌窃料述甄彬颈殖锌勤蹭泅湖又拯凤脂痉渡坞反蔫丰利色酿瞪薪监簧全数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416例例 几个几个“简单简单”概念的理解概念的理解空间中的空间中的“位置位置”差异用什么表示？差异用什么表示？空间中空间中的的“方向方向”差异用什么表示？差异用什么表示？如何刻画直线的如何刻画直线的“直直”？如何刻画平面的如何刻画平面的“平平”？蛀瞥苑绣迸庆硫割套区灶铝艘姬韵犊法拐羹伟恩抄毫谤聪肘堰樊拇呐枣杏数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416数学学习与智
22、慧发展（门头沟）章建跃20150416“位置位置”是宇宙空间的最基本要素，位置是宇宙空间的最基本要素，位置用用“点点”表示；表示；线段是线段是连接两点的最短通路，两个点的位连接两点的最短通路，两个点的位置差异用线段的置差异用线段的“长度长度”表示；表示；两个两个“方向方向”的差异用的差异用“角度角度”表示；表示；直线的直线的“直直”用点与点的位置关系刻画；用点与点的位置关系刻画；平面的平面的“平平”用点、直线、平面的位置关用点、直线、平面的位置关系来刻画。系来刻画。构攘容茹腥晓涂沉哪稚盘靡萤薄媚骨丛英剔妓夜尤映啦当以夏伴烯乱勤溉数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416数学学习与智慧发
23、展（门头沟）章建跃20150416理解数学的三重境界理解数学的三重境界知其然知其然知其所以然知其所以然何以知其所以然何以知其所以然睹映力闰残坪痞赦蓑咏拟涉努管冯夜碧寡嫉围啤煤墟镐麻益枉酝铜示旋撕数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416五、对数学思维方法的认识五、对数学思维方法的认识思维是指理性认识，或指理性认识的过程，思维是指理性认识，或指理性认识的过程，它是人脑对客观事物能动的、间接的和概它是人脑对客观事物能动的、间接的和概括的反映，包括逻辑思维和形象思维，但括的反映，包括逻辑思维和形象思维，但通常是指逻辑思维。通常是指逻辑思维。思
24、维的工具是语言；思维的工具是语言；思维的形式是概念、判断、推理等；思维的形式是概念、判断、推理等；思维的方法是抽象、归纳、演绎、分析和思维的方法是抽象、归纳、演绎、分析和综合等。综合等。式躬协刻错托嘎噪匝啡宅墨崎伪剖怪降妊莫钥颗渗肚耗蛤拷泄接犀皮境赃数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416一个结构一个结构数学地认识事物的基本结构：定义概念数学地认识事物的基本结构：定义概念推导性质推导性质建立联系建立联系实践应用。实践应用。先从数、形的角度抽象事物的本质属性，先从数、形的角度抽象事物的本质属性，定义概念从而明确数学对象；探索对象的定义概
25、念从而明确数学对象；探索对象的要素与要素、要素与环境等之间的关系和要素与要素、要素与环境等之间的关系和相互作用而获得性质；建立相关知识的联相互作用而获得性质；建立相关知识的联系而形成知识体系；应用所得知识解决数系而形成知识体系；应用所得知识解决数学内外的问题，并深化认识、拓展新知。学内外的问题，并深化认识、拓展新知。这是一个螺旋上升、逐渐深入的过程。这是一个螺旋上升、逐渐深入的过程。票俘颓活锐痹秘债呐肘缠围萤团朋殖名峻够身侵帖龟辈肚柠勾溶廓侈术哄数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416两个方向（方面）两个方向（方面）数学思维有两个相辅
26、相成的方向或方面数学思维有两个相辅相成的方向或方面归归纳和演绎。在对某一数学领域或对象的探索认纳和演绎。在对某一数学领域或对象的探索认知过程中，一方面要从具体事例的实验、分析知过程中，一方面要从具体事例的实验、分析中归纳其本质，获得数学猜想、命题等；另一中归纳其本质，获得数学猜想、命题等；另一方面又要用逻辑推理、数理分析去研讨业已认方面又要用逻辑推理、数理分析去研讨业已认知的本质，证明猜想，发现新的性质，认知相知的本质，证明猜想，发现新的性质，认知相关概念的联系性和一致性，直至形成不同学科关概念的联系性和一致性，直至形成不同学科统一性的认知。数学思维中，归纳和演绎的配统一性的认知。数学思维中，
27、归纳和演绎的配合，往往能相互为用、相得益彰，产生意想不合，往往能相互为用、相得益彰，产生意想不到的效果。到的效果。语惨国远童次轨血痹腑尽只藉黔俘掂稽财脱值眉辅抄口湖痊谁爵议废筷茶数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416三种语言三种语言数学思维的工具：符号语言、图形语言和数学思维的工具：符号语言、图形语言和普通文字语言。普通文字语言。数学有自己的符号体系和表达方式，它使数学有自己的符号体系和表达方式，它使人们能方便、简捷地呈现数学思想和成果。人们能方便、简捷地呈现数学思想和成果。数学符号是内涵丰富的数学符号是内涵丰富的“信息块信息块”，
28、因而，因而成为数学思维活动的理想载体。另外，数成为数学思维活动的理想载体。另外，数学符号语言能缩短数学思维过程，使之变学符号语言能缩短数学思维过程，使之变得简约、精练。得简约、精练。吧饭褪恳渠搔萧反禁也劲庄瘸批酵唁顾厕汁禹醛赔镁待屈肚泽傀粒视陨帆数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416四种形式四种形式数学思维的基本形式：数学思维的基本形式：逻辑推理逻辑推理代数运算代数运算几何直观几何直观数形结合数形结合调欣杏撼肠苹眉始吃韭忌忻钵给昧硬尤抛瞄顶铁今极漠久撩拆袖刺虹嚼体数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416数学学习与智慧发展（
29、门头沟）章建跃20150416逻辑推理是数学思维的主要形式，是从一逻辑推理是数学思维的主要形式，是从一些数学事实、概念、定理出发，依据逻辑些数学事实、概念、定理出发，依据逻辑规则推出结论的思维过程规则推出结论的思维过程。认识问题的要点在于把好本质，发现问题；认识问题的要点在于把好本质，发现问题；而解决问题的任务则是运用而解决问题的任务则是运用“已知已知”之性之性质去推论质去推论“待知待知”之性质。概括言之，乃之性质。概括言之，乃是在性质层面的一种以简驭繁。而逻辑推是在性质层面的一种以简驭繁。而逻辑推理就是这种以简驭繁的实践与步骤。理就是这种以简驭繁的实践与步骤。赌喀通锌靠陕殆产僻偏砸丹蕊拢们膛
30、官跳淌炕片租甘缺谰饭乌衍孤流乳悬数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416“代数学的根源在于代数运算代数学的根源在于代数运算”，有效有，有效有系统地运用运算律去解决问题是代数学的系统地运用运算律去解决问题是代数学的基本思想；数及其运算是一切运算系统的基本思想；数及其运算是一切运算系统的模范，与它类比而发现需研究的问题和方模范，与它类比而发现需研究的问题和方法，是基本而重要的数学思维方式；代数法，是基本而重要的数学思维方式；代数运算的过程和方法可以容易地发展成高层运算的过程和方法可以容易地发展成高层次函数观点。次函数观点。雀葱宫公驶抨排驯
31、富缺柑熔唯肆拔孰弧蝶极栈波俏播绸藕汤遁萎尚桶刘床数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416几何直观是利用几何概念抽象空间事物获几何直观是利用几何概念抽象空间事物获得几何图形，用图形描述事物的结构特征，得几何图形，用图形描述事物的结构特征，用点线面体的关系探索事物的关系，乃至用点线面体的关系探索事物的关系，乃至用图形及其关系认知、表达事物的本质和用图形及其关系认知、表达事物的本质和关系，几何直观是展开逻辑推理的思维基关系，几何直观是展开逻辑推理的思维基础。础。用几何图形表示数量关系，把几何中的定用几何图形表示数量关系，把几何中的定性结果转
32、化为可运算的定量结果，这是数性结果转化为可运算的定量结果，这是数学思维的变通、灵活性的表现，坐标法、学思维的变通、灵活性的表现，坐标法、函数与图像（曲线）、三角函数与圆、向函数与图像（曲线）、三角函数与圆、向量法与几何等都是数形结合的思维产物。量法与几何等都是数形结合的思维产物。如靡候要玖喘噎配钻绣峡赊过巾块驯智铱普冗蕾阻跑幌症粉衬澜达缓扭套数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416N N种因地制宜的具体方法种因地制宜的具体方法针对具体数学问题的思维方法：观察、假针对具体数学问题的思维方法：观察、假说、实验法、确证等科学思维方法在数学说
33、、实验法、确证等科学思维方法在数学研究中有用武之地；研究中有用武之地；观察引领思考，事物现象的因果关系、事观察引领思考，事物现象的因果关系、事物的特征和构成要素、以及如何介入其中物的特征和构成要素、以及如何介入其中创造出我们想要的变化等，都能从观察中创造出我们想要的变化等，都能从观察中获得启示；获得启示；综合法与分析法、顺证法与反证法，以及综合法与分析法、顺证法与反证法，以及数学归纳法等等是常用的思维方法。数学归纳法等等是常用的思维方法。镍短旱渡腐急斤篡田颐堑簇滓规焕的悠悔骂圭溢厉卜止踢柒妨谆炎落灼刁数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150
34、416数学思维方法数学思维方法一个结构一个结构两个方向两个方向三种语言三种语言四种形式四种形式演化出演化出千变万化千变万化、赏心悦目、震撼心灵赏心悦目、震撼心灵的思的思维方法。维方法。数学思维是人类智慧的最精彩绽放。数学思维是人类智慧的最精彩绽放。谤圾畔遏泉娘斜溺躯摆仙酚俐萧狙紊纫蝇证痰泥畅询幂蹭担烙簇午旁毯农数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416六、关于数学的整体性六、关于数学的整体性整体是事物的一种真实存在形式。整体是事物的一种真实存在形式。数学是一个整体。数学是一个整体。数学的整体性体现在代数、几何、三角等数学的整体性体现在代
35、数、几何、三角等各部分内容之间的相互联系上，同时也体各部分内容之间的相互联系上，同时也体现在同一部分内容中知识的前后逻辑关系现在同一部分内容中知识的前后逻辑关系上上纵向联系、横向联系。纵向联系、横向联系。学生的学习是循序渐进、逐步深入的，概学生的学习是循序渐进、逐步深入的，概念要逐个学，知识要逐步教。如何处理好念要逐个学，知识要逐步教。如何处理好这种矛盾，是教学中的核心问题。这种矛盾，是教学中的核心问题。建够黄显闺椽姜烁漠衍垮抱两敬谋姆叠丸沾巨宰馅痢惯不敝刘腾舶尹辟宝数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416例例 从数及其运算看数学的整
36、体性从数及其运算看数学的整体性在数系的发展过程中，正整数与人的直觉在数系的发展过程中，正整数与人的直觉一致，天经地义；一致，天经地义；0、负整数、分数、无理、负整数、分数、无理数、复数取得数、复数取得“合法合法”地位，都经历了漫地位，都经历了漫长、曲折而相似的过程。长、曲折而相似的过程。让学生返璞归真地择要经历这个过程，对让学生返璞归真地择要经历这个过程，对他们理解数学的整体性、感受数学研究的他们理解数学的整体性、感受数学研究的“味道味道”很有好处，自然地，这也是培养很有好处，自然地，这也是培养学生的数学素养，提高他们发现和提出问学生的数学素养，提高他们发现和提出问题、分析和解决问题的能力的极
37、好途径。题、分析和解决问题的能力的极好途径。或致均技媳添杖扇层档碟细滑惕九瓤佩街掺极宙虾鄂受派岳令钥测捕拐掌数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416数系扩充的基本思想是什么数系扩充的基本思想是什么数学推广过程的一个重要特性是：使得在数学推广过程的一个重要特性是：使得在原来范围内成立的规律在更大的范围内仍原来范围内成立的规律在更大的范围内仍然成立。然成立。数系扩充：引入一种新数（如何引入）；数系扩充：引入一种新数（如何引入）；定义其运算（如何定义）；满足怎样的运定义其运算（如何定义）；满足怎样的运算律。算律。扩充的基本原则是：使算术运算
38、的运算律扩充的基本原则是：使算术运算的运算律保持不变。保持不变。破淮厂颈坤浩堆撑搂锅潞毅小昧效悠吓涕忍铺叉涨蒲对揉习舰曰淖卡疲嚼数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416“有理数有理数”的整体结构的整体结构背景（现实需要、数学发展的需要）背景（现实需要、数学发展的需要）定义、表示、分类定义、表示、分类性质性质运算运算联系和应用。联系和应用。研究一个数学新对象的基本套路。研究一个数学新对象的基本套路。“数系扩充与复数的引入数系扩充与复数的引入”的的教学设计教学设计恶汝薪淆蔫益教到样童汇碴律氦餐婴口广耘途与手挡咋联管怀彼项寄茬预数学学习与智
39、慧发展（门头沟）章建跃20150416数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416例例 解析几何中如何体现坐标法思想解析几何中如何体现坐标法思想解析几何是方法论；解析几何是方法论；其整体性就在于用坐标法处理几何问题。其整体性就在于用坐标法处理几何问题。形式上：形式上：“三步曲三步曲”；经历用坐标法解决问题的完整过程：先用经历用坐标法解决问题的完整过程：先用平面几何眼光观察，再用坐标法解决。平面几何眼光观察，再用坐标法解决。平面直角坐标系的要素是什么？平面直角坐标系的要素是什么？平面直角坐标系中的点，可以讨论哪些问平面直角坐标系中的点，可以讨论哪些问题题一个点？两个点？三个点？一个点？两个
40、点？三个点？绎藉干刻非合蚕苫贸屈构筒齐渊裁函亿叹汛癣涕留沼炕罚玉耳馅朝渡木匡数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416直线与方程的结构直线与方程的结构在平面直角坐标系中，确定直线位置的几在平面直角坐标系中，确定直线位置的几何要素何要素平面几何是平面几何是”两点确定一条直两点确定一条直线线”；这里要发挥直角坐标系的力量，因；这里要发挥直角坐标系的力量，因此引入倾斜角和斜率的概念。此引入倾斜角和斜率的概念。斜率：概念、公式（不同条件下的不同形斜率：概念、公式（不同条件下的不同形式）、性质（特例、关系）式）、性质（特例、关系）直线的方程：直线
41、的方程：“一点和一个方向，或两点，一点和一个方向，或两点，唯一确定一条直线唯一确定一条直线”的代数化。求解的过的代数化。求解的过程是程是“同一事物的两种表示等价同一事物的两种表示等价”。氮墒峡梁咀和疡梗寇豫们左些羔鼻钠抠宛扎民勤闹司戏原彬览炬粹茹寸郭数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416从哪些角度讨论直线方程？从哪些角度讨论直线方程？不同的条件下的不同形式不同的条件下的不同形式可以问学生：可以问学生：你认为可以从哪些角度确定一条直线？你认为可以从哪些角度确定一条直线？与直线相关的几何问题有哪些？如何利用与直线相关的几何问题有哪些？如
42、何利用直线方程进行讨论？直线方程进行讨论？平面几何的经验，平面几何的经验，讨论讨论“相交线与平行线相交线与平行线”，“相交线相交线”中中有交点坐标、交角、点到直线的距离等，有交点坐标、交角、点到直线的距离等，特例是垂直；特例是垂直；“平行线平行线”中，平行的条件，中，平行的条件，平行线间的距离。平行线间的距离。搀扯雌此顶埋尤剐箭霄枯驻哈痛缄惋恐撵冈囱白堂酉燕芦楷捉粕鹰撰甚得数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416还可以讨论哪些问题？还可以讨论哪些问题？卉驴允昏夜屿咱剁锭未扣咬哀员掐椰侣哺把微眼轰羚墓臃肿调粥掀捡奴蛤数学学习与智慧发展（
43、门头沟）章建跃20150416数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416二元一次不等式表示平面区域二元一次不等式表示平面区域如何提出问题？如何获得猜想？如何提出问题？如何获得猜想？从具体到抽象、从特殊到一般从具体到抽象、从特殊到一般强调归强调归纳的过程。纳的过程。直角坐标系中，方程直角坐标系中，方程xy6=0的解为坐标的解为坐标的点在直线的点在直线l上；同时，直线上；同时，直线l上的点的坐标上的点的坐标都是方程都是方程xy6=0的解的解由此你能提出由此你能提出什么新问题？什么新问题？块局器梯兼块经珊妻豢奔钟颗论孵娩琅竭岿帖木呵懦驾违惑畜血项钒联燎数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃201
44、50416数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416(x0 ,y0)不在直线不在直线l上，则上，则x0y060x0y060或或x0y060。坐标平面被直线坐标平面被直线xy6=0分成三个部分，分成三个部分，它们与它们与xy60， xy6=0 ，xy60有什么关系呢？有什么关系呢？任意取点，代入，找规律任意取点，代入，找规律发现发现“同侧同侧同号同号”。哼军旋盂湛袖敝妆愁爷融釉贫抑陀那荫厄牙殃哆招搏捕小驰辜宪戊雷唇忧数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416如何证明如何证明“同侧同号同侧同号”点点P0 (x0 ,y0 )在直线在直
45、线Ax+By+C=0的的“左上方左上方”、“右下方右下方”如何用数量关系表达？如何用数量关系表达？ y P0(x0 ,y0 ) O x衅冶拉界拽柞伺盟盾顽迈蹲惭长怨黍涎宿呼锈世杀拣张见劳骗瞩够掉苯彦数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416获得证明思路的关键获得证明思路的关键对解析几何的基本思想（坐标法）的理解对解析几何的基本思想（坐标法）的理解深度；深度；对对“先用平面几何眼光观察，再用代数方先用平面几何眼光观察，再用代数方法解决法解决”的认识；的认识；在直角坐标系中，几何方位的代数化在直角坐标系中，几何方位的代数化以坐标轴为基准，用
46、不等式表示以坐标轴为基准，用不等式表示“上下左上下左右右”的关系。所以，归根到底是对直角坐的关系。所以，归根到底是对直角坐标系、点的坐标等概念的认识和应用。标系、点的坐标等概念的认识和应用。 垃侗祟坊啸超糊捍沏旺也晦旗傈西事悯纬岁宋维恃憋筛镑伎求拥邢若赖捧数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416七、关于系统思维的培养七、关于系统思维的培养数学是一个系统，理解和掌握数学知识需数学是一个系统，理解和掌握数学知识需要系统思维。系统思维就是把认识对象作要系统思维。系统思维就是把认识对象作为系统，从系统和要素、要素和要素、系为系统，从系统和要素
47、、要素和要素、系统和环境的相互联系及相互作用中综合地统和环境的相互联系及相互作用中综合地考察认识对象的一种思维方法。系统思维考察认识对象的一种思维方法。系统思维能极大地简化人们对事物的认知。系统思能极大地简化人们对事物的认知。系统思维给我们带来整体观、全局观，具备系统维给我们带来整体观、全局观，具备系统思维是逻辑抽象能力强的集中表现。思维是逻辑抽象能力强的集中表现。挎赡甫碾胺峰烹蠕栋诛壤乌霸砍鹅吃氰淳父柄酪祭水耍吁谭衡互帧具司傻数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416例例 研究研究“三角形三角形”的系统思维的系统思维定义定义“三角形三
48、角形”，明确它的构成要素；用，明确它的构成要素；用符号表示三角形及其构成要素；以要素为符号表示三角形及其构成要素；以要素为标准对三角形进行分类；标准对三角形进行分类；明确研究对明确研究对象象基本性质，即研究要素之间的关系，得到基本性质，即研究要素之间的关系，得到 “三角形内角和等于三角形内角和等于180” 等；等；研究研究“相关要素及其关系相关要素及其关系”，如，如“三角形三角形的外角等于不相邻两内角之和的外角等于不相邻两内角之和”等；等；遁甸式镍怠括鄙镇伊己筹货搂敬用邯莹筏蚌局侩锤旱耙澄欣桌悼径假纸辫数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃2015
49、0416三角形的全等（反映空间的对称性，三角形的全等（反映空间的对称性，“相相等等”是重要的数学关系，也可以看成是重要的数学关系，也可以看成“确确定一个三角形的条件定一个三角形的条件”）；）；特殊三角形的性质与判定（等腰三角形、特殊三角形的性质与判定（等腰三角形、直角三角形）；直角三角形）；三角形的变换（如相似三角形等）；三角形的变换（如相似三角形等）；直角三角形的边角关系（锐角三角函数），直角三角形的边角关系（锐角三角函数），解直角三角形；解直角三角形；解三角形（正弦定理、余弦定理）。解三角形（正弦定理、余弦定理）。途符呼寅足蛹蹋煞差雌气从振岁氰权瘟柠饱撼绅礁民瓤颧怒份缝杠逼抚径数学学习与智
50、慧发展（门头沟）章建跃20150416数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416把三角形作为一个系统进行研究把三角形作为一个系统进行研究明确研究对象（定义、表示、划分）明确研究对象（定义、表示、划分） 性质（要素、相关要素的相互关系）性质（要素、相关要素的相互关系）特例（性质和判定）特例（性质和判定）联系；联系；定性研究（相等、不等、对称性等）定性研究（相等、不等、对称性等）定量研究（面积、勾股定理、相似、解三定量研究（面积、勾股定理、相似、解三角形等）。角形等）。奠琶倪贰器武球波孤芬肝荧朵吻彬滓矛脆挤续矣乒油咐迄恶语败匀鸽噪邹数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416数学学习
51、与智慧发展（门头沟）章建跃20150416培养系统思维，是为了使学生养成全面思培养系统思维，是为了使学生养成全面思考问题的习惯，避免考问题的习惯，避免“见木不见林见木不见林”，进，进而使他们在面对数学问题时，能把解决问而使他们在面对数学问题时，能把解决问题的目标、实现目标的过程、解决过程的题的目标、实现目标的过程、解决过程的优化以及对问题的拓展、深化等作为一个优化以及对问题的拓展、深化等作为一个整体进行研究。这样，整体进行研究。这样，“使学生学会思考，使学生学会思考，成为善于认识和解决问题的人才成为善于认识和解决问题的人才”就能落就能落在实处。在实处。沾固团巍鸥梳暂灌娜穴汰瘦次萧埃报启竭硅遣矾
52、驾房凸酚晃挣诅咆礁闰孜数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416什么叫性质？什么叫性质？性质是指事物所具有的本质，即事物内部性质是指事物所具有的本质，即事物内部稳定的联系。稳定的联系。问题：这里的问题：这里的“事物内部事物内部”指什么？指什么？“稳稳定的联系定的联系”是怎么表现的？到底怎样才能是怎么表现的？到底怎样才能发现这种发现这种“联系联系”？钢担贾羚艳哉孝码窝涛驮缔右缔懒凭俄邻封折丛始浊紫丛锚缎线廖店陵轿数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416从三角形的从三角形的“内角和
53、为内角和为180”、“两边之和两边之和大于第三边大于第三边”、“大边对大角大边对大角”、“等边等边对等角对等角”等你想到了什么？等你想到了什么？“内部内部”可以是可以是“三角形的组成要素三角形的组成要素”，“稳定的联系稳定的联系”是指是指“三角形要素之间确三角形要素之间确定的关系定的关系”。几何对象组成要素之间确定的关系就是性几何对象组成要素之间确定的关系就是性质。质。池俊丘颧屁坎羽释期膨彝颠辫枫瓢房副盖秉蘸杖农地巫艳诡固哨铃钻术那数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416从从“外角等于不相邻两内角的和外角等于不相邻两内角的和”、“三三
54、条高交于一点条高交于一点”、“等腰三角形三线合一等腰三角形三线合一”等又想到了什么？等又想到了什么？把外角、高、中线、角平分线等叫做三角把外角、高、中线、角平分线等叫做三角形的相关要素，这些形的相关要素，这些“相关要素相关要素”也可以也可以看成是看成是“三角形的内部三角形的内部”。要素、相关要素之间确定的关系也是性质。要素、相关要素之间确定的关系也是性质。鹰揍煞磷斯丈榨攀字遇章崇咆志转趣袁抚圈兆皋二懦势酚薛柏乱侄乏滑侵数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416两个几何事物所形成的某种位置关系所体两个几何事物所形成的某种位置关系所体现的性
55、质，例如两条直线平行，从现的性质，例如两条直线平行，从“同位同位角相等角相等”、“内错角相等内错角相等”以及以及“同旁内同旁内角互补角互补”可以想到，这时的可以想到，这时的“性质性质”是借是借助助“第三条直线第三条直线”构成一些角，然后看由构成一些角，然后看由两条直线平行这一位置关系所决定的这些两条直线平行这一位置关系所决定的这些角之间有什么确定的关系。角之间有什么确定的关系。研究两个几何事物的某种位置关系下具有研究两个几何事物的某种位置关系下具有什么性质，可以从探索这种位置关系下的什么性质，可以从探索这种位置关系下的两个几何事物与其他几何事物之间是否形两个几何事物与其他几何事物之间是否形成确
56、定的关系入手。成确定的关系入手。甚捻烟养式嘶俯噶哉此涸袄枢撑芋华沧杰笋棋迢裤猿剪纂靛碍吉颖侗旧碴数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416圆的几何性质圆的几何性质要素、相关要素：圆心、半径、直径、弧、要素、相关要素：圆心、半径、直径、弧、弦、圆心角、圆周角弦、圆心角、圆周角你认为可以怎样引导学生发现和提出值得你认为可以怎样引导学生发现和提出值得研究的命题？研究的命题？柏杠唾骚捌吐毒捞镜骏椭厨焊我四竞亿炭轴灯法藤窥罩豌携薄鄙眉拘熏寇数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416同（等）
57、圆的直径大于不经过圆心的任何同（等）圆的直径大于不经过圆心的任何一条弦；一条弦；垂直于弦的直径平分弦，并且平分这条弦垂直于弦的直径平分弦，并且平分这条弦所对的两条弧；所对的两条弧；在同（等）圆中：弧相等则所对的弦相等，在同（等）圆中：弧相等则所对的弦相等，且弦心距也相等；两条劣弧不等，则大弧且弦心距也相等；两条劣弧不等，则大弧所对的弦较大（弦心距较小）；逆定理也所对的弦较大（弦心距较小）；逆定理也成立。成立。切线垂直于过切点的半径。切线垂直于过切点的半径。过圆外一点所作圆的两条切线长相等。过圆外一点所作圆的两条切线长相等。你能发现一些与圆心角相关的定理吗？你能发现一些与圆心角相关的定理吗？蓖脑
58、泉绵楚疫蚁趴疾宵拼桂坪厌架痞栓砌僚州巩播的渠亭忿角诧惯拙红臼数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416几何体结构特征的研究几何体结构特征的研究 棱柱棱柱要素、相关要素：面、棱、顶点、面对角要素、相关要素：面、棱、顶点、面对角线、体对角线、高线、体对角线、高要素、相关要素之间的关系：面与面、棱要素、相关要素之间的关系：面与面、棱与棱、面与棱与棱、面与棱特例：长方体特例：长方体正方体，平行六面体正方体，平行六面体领株哲喻弓腿当吮孙栈刘碳板碎儡救宪攘漓铂逗恋兽甩猪墒咬紫赤纬肢馁数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416数学学习与智慧发
59、展（门头沟）章建跃20150416直线与平面平行的性质直线与平面平行的性质位置关系：直线位置关系：直线l 平面平面；其他事物：直线、平面；其他事物：直线、平面；命题：命题：（1）如果）如果 al，那么，那么a ；（2）如果）如果 a ，那么，那么a l；（3）如果）如果a l，那么，那么a；（4）如果）如果a，那么，那么a l；慰刃屏熙雾窗孟陕臂县左其嫂烘斌顶晤量背蜜辨甩诸必比独槛蕊硝姨常音数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416（5）如果）如果l，那么，那么；（6）如果）如果，那么，那么l；（7）如果）如果l，那么，那么 ；（8）如
60、果）如果 ，那么，那么 l。骚擂步拣幢鸥瓜雾边粟田惋岗骗饯泞与吏榔沛尘腑柯腔单郎礁缝街潦纬末数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416（9）与）与“公理公理”相联系，直线相联系，直线l与平面与平面 内任内任意一点意一点A确定一个平面确定一个平面 ， =m ，那么，那么 ml；（10）l ，所以，所以l =。如果。如果m在在 内，则内，则或者或者ml，或者，或者m与与l是异面直线。是异面直线。（11）直线）直线m与直线与直线l异面，则过直线异面，则过直线m有且只有且只有一个平面与直线有一个平面与直线l平行。平行。（12）l ， =l， =
61、l1， =l2，那那么么l1l2。梢臼臭哭碟呐少埋昂缀泉塑融起知遵鞋灭桩父书寄完跺醋廖范掠焰烟皆耍数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416从培养系统思维的要求出发设计教学从培养系统思维的要求出发设计教学以数学知识的发生发展过程为载体，按学以数学知识的发生发展过程为载体，按学生的认知规律设计教学，使学生经历研究生的认知规律设计教学，使学生经历研究一个数学对象的基本过程，提高发现和提一个数学对象的基本过程，提高发现和提出问题、分析和解决问题的能力，培养认出问题、分析和解决问题的能力，培养认识和解决问题的能力。识和解决问题的能力。数学化的过
62、程数学化的过程舟切蹿荫茬神薪燥溜团氏套竖胺界元澈阔愤认讨浪勤驮瑶靶薪就浴爷溶啪数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416关于关于“解三角形解三角形”教学设计中，加强思想方法、解决问题的教学设计中，加强思想方法、解决问题的策略等方面的思考：策略等方面的思考：如何发现问题；如何发现问题；从定性到定量地研究问题；从定性到定量地研究问题；将新问题化归为旧问题；将新问题化归为旧问题；从知识的相互联系性思考问题；等等。从知识的相互联系性思考问题；等等。岩斡与申阜霜掣驻杆坷腿魂曾凡刑缨豹颧汛搔径恢裙窟绊寨钩乔哈塞撬卒数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃
63、20150416数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416如何研究一个数学对象（问题）如何研究一个数学对象（问题）数学中，往往是在定性研究问题后，希望数学中，往往是在定性研究问题后，希望得到定量的结果。一个三角形有六个要素，得到定量的结果。一个三角形有六个要素，由全等三角形的由全等三角形的“基本事实基本事实”SSSSSS，SASSAS，ASAASA，你能提出什么新的问题？，你能提出什么新的问题？六个要素中，只要知道三个（其中至少有六个要素中，只要知道三个（其中至少有一个是边），三角形就唯一确定。也就是一个是边），三角形就唯一确定。也就是说，其余三个要素可以由这三个要素唯一说，其余三个要
64、素可以由这三个要素唯一确定。从定量角度，由这三个要素可以求确定。从定量角度，由这三个要素可以求出其余三个要素。出其余三个要素。聚颤慎浮辛孜靛掇乓二腻扬拇佯轻迈挂羹啡豹腮锦抚恍腰困积观隙氯陈垃数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416解直角三角形问题的引出解直角三角形问题的引出莹嘿陌卢莽孔盔人湛佰号裙毁耕舟肮亩碍朽斑慕谴冗跪取描届蚁隆荐窒厄数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416爆帛韵筛剂贷星授纠钧倒凿狙熟京挞朵段权肢痉窿唆衰俱欺挡完噶掀杨佣数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20
65、150416数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416关于解一般三角形关于解一般三角形对于对于“解三角形解三角形”，你会哪些知识？，你会哪些知识？会解直角三角形，对于一般三角形，只有会解直角三角形，对于一般三角形，只有“内角和定理内角和定理”。给定两边一夹角，求其他边、角给定两边一夹角，求其他边、角化归化归为直角三角形。为直角三角形。还有没有其他方法？还有没有其他方法？从知识的联系性从知识的联系性出发，与解三角形相关的知识还有哪些？出发，与解三角形相关的知识还有哪些？怎么用？怎么用？嫂些贡盎扛若痒拔雄罗农狱峙汉徽挥敬沮迟斜斯刽邱旨浇拼径嗽葛瘩枣钻数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃201
66、50416数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416你还能提出哪些问题？你还能提出哪些问题？对于一个确定的三角形，其外接圆是唯一对于一个确定的三角形，其外接圆是唯一确定的，因此外接圆的半径可以用三角形确定的，因此外接圆的半径可以用三角形的边、角来表示。怎样用三角形的边、角的边、角来表示。怎样用三角形的边、角来表示它的外接圆半径？来表示它的外接圆半径？对于一个确定的三角形，它的高、中线、对于一个确定的三角形，它的高、中线、角平分线、面积等都是唯一确定的，怎样角平分线、面积等都是唯一确定的，怎样用三角形的边、角来表示它们的度量？用三角形的边、角来表示它们的度量？枝袍魄康谢趾隐楷笼正专冬念婪
67、铭畸喝昭祭枉月咯呵舜漫流息洋忧村鞍婉数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416一个三角形包含的各种几何量，如三边的一个三角形包含的各种几何量，如三边的边长、三个内角的度数、面积、外径、内边长、三个内角的度数、面积、外径、内径、高、中线长、角平分线长等，这是三径、高、中线长、角平分线长等，这是三角形这个整体中的各种要素。对它们之间角形这个整体中的各种要素。对它们之间存在的各种函数关系的研究中，可以体现存在的各种函数关系的研究中，可以体现出系统思维的力量，在培养学生的系统思出系统思维的力量，在培养学生的系统思维、掌握维、掌握“认识、解决问题
68、的方法认识、解决问题的方法”、提、提高发现和提出问题、分析和解决问题的能高发现和提出问题、分析和解决问题的能力等方面都能发挥很好的作用。力等方面都能发挥很好的作用。剥吧豺些耿曹栓要党舷穆陡钎弱埂早扔澈拦底妨赎粘疙啤软痉捷谚眩辊腋数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416八、发挥核心概念及其反映的数学八、发挥核心概念及其反映的数学思想方法的引领作用思想方法的引领作用 数学核心知识是数学课程内容结构和功能的基本数学核心知识是数学课程内容结构和功能的基本单位，核心概念是数学核心知识的单位，核心概念是数学核心知识的“控制中心控制中心”，在数学知
69、识的发生、发展中起着重要作用，是，在数学知识的发生、发展中起着重要作用，是数学知识的主要生长点。数学知识的主要生长点。把握住数学核心概念，就抓住了数学知识的根本，把握住数学核心概念，就抓住了数学知识的根本，掌握了知识增长的源泉。掌握了知识增长的源泉。核心概念所反映的数学思想方法具有数学方法论核心概念所反映的数学思想方法具有数学方法论的基础地位，反映了数学的本质和基本思想，是的基础地位，反映了数学的本质和基本思想，是探索大自然中各种各样问题以及数学规律的指导探索大自然中各种各样问题以及数学规律的指导思想，从中可以生发出解决问题的策略和方法。思想，从中可以生发出解决问题的策略和方法。发挥数学核心概
70、念及其反映的思想方法的引领作发挥数学核心概念及其反映的思想方法的引领作用至关重要。用至关重要。 晨爱自蓑泊急四寂鸯椒揩颗匪凛阔郊萌塑乏妖兼伪瞻仗绿肥欺妖哲沼单蛮数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416例例 “向量法向量法”的本质的本质“向量法向量法”的教学，要让学生对向量法的的教学，要让学生对向量法的特点有基本而完整的认识的基础上与相关特点有基本而完整的认识的基础上与相关知识建立联系。知识建立联系。向量法的本质，首先是让几何量带上符号，向量法的本质，首先是让几何量带上符号，“对比把长度、面积、体积考虑为绝对值对比把长度、面积、体积考虑
71、为绝对值的普通初等几何学，这样做有极大的好处。的普通初等几何学，这样做有极大的好处。初等几何必须依照图形呈现的情况而区分初等几何必须依照图形呈现的情况而区分许多情况，而现在用几个简单的一般定理许多情况，而现在用几个简单的一般定理就可以概括。就可以概括。” （F克莱因克莱因 ）摇撕肃戈桌辙敬沥命氟蒸腕柒嗽椿迅混鉴绵侮蛊麓顺涉扶北倚包混她综梳数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416这几个这几个“一般定理一般定理”就是：就是：向量加法法则（向量回路）；向量加法法则（向量回路）；向量数乘的意义及其运算律；向量数乘的意义及其运算律；向量数量积的
72、意义和运算律（特别是相互向量数量积的意义和运算律（特别是相互垂直的向量数量积为垂直的向量数量积为0）；）；平面（空间）向量基本定理。平面（空间）向量基本定理。 泥驹匝彭非桃姥纺铲镜罐筷峡舌诅县完恕楔堰径兹舷畦染豫皇硫回巫因亚数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416向量的向量的“联系性联系性”向量回路与三角形定义一致，三角形是最基本、向量回路与三角形定义一致，三角形是最基本、最重要的几何图形，是整个欧氏几何的基础；最重要的几何图形，是整个欧氏几何的基础；向量数乘与三角形相似的紧密联系；向量数乘与三角形相似的紧密联系；平面向量基本定理与平
73、行四边形的性质一致；平面向量基本定理与平行四边形的性质一致；平面向量数量积与余弦定理等价；等等。平面向量数量积与余弦定理等价；等等。向量法是以基本的几何图形及其相互关系为出发向量法是以基本的几何图形及其相互关系为出发点解决问题，由此可以把众多的知识串联起来，点解决问题，由此可以把众多的知识串联起来，形成有机联系的整体。形成有机联系的整体。向量集数与形于一身，向量运算既是数的运算，向量集数与形于一身，向量运算既是数的运算，也是图形的运算，根据图形列出向量等式，使计也是图形的运算，根据图形列出向量等式，使计算与图形融为一体，这是体现向量法解题特点的算与图形融为一体，这是体现向量法解题特点的关键。关
74、键。全陷巡掐炽尧戍谆昔侧益冀筋谭己衔孔厌眺丈枉兆巧防韧旋携朋型饥驴孙数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416教学中的问题与改进教学中的问题与改进没有反映向量法的本质，披着向量法的外没有反映向量法的本质，披着向量法的外衣，实际上还是综合几何的方法。衣，实际上还是综合几何的方法。把向量法中的代数化曲解为把向量法中的代数化曲解为“坐标运算坐标运算”窄化了向量法的应用范围。窄化了向量法的应用范围。改进：加深对改进：加深对“方向方向”的重要性的认识，的重要性的认识，加强从四个加强从四个“一般定理一般定理”出发思考和解决出发思考和解决问题的教学，
75、加强问题的教学，加强“代数运算代数运算”和和“图形图形运算运算”的结合。的结合。悦醛醇丘舟怔襄迢扰绅蚂史丙臃撒秩公实蝎附欲安棺敞纹咖孙揩伺悲懒攻数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416九、要使学生掌握研究一个数学对九、要使学生掌握研究一个数学对象的具体方法象的具体方法 数学观念和具有一般意义的数学思想方法数学观念和具有一般意义的数学思想方法的指导的指导保证高立意。保证高立意。好的教学既需要有好的想法，也需要有能好的教学既需要有好的想法，也需要有能够落实的具体措施，变成学生面对问题时够落实的具体措施，变成学生面对问题时可以实施的行动。可
76、以实施的行动。一般而言，研究一个具体的数学对象（即一般而言，研究一个具体的数学对象（即使是解一个有思维含金量的数学题目），使是解一个有思维含金量的数学题目），往往需要经历从定性到定量、从具体到抽往往需要经历从定性到定量、从具体到抽象、从宏观到微观的过程。象、从宏观到微观的过程。尚锑残葱独窒衔疤屿碌孽推陀娜厂佑厅佩移案霍月芋嫉局毁尧喷尉沼纵联数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416围绕核心概念发展围绕核心概念发展知识体系知识体系寥项栈韧械暂琢尿讣毙匣抒岭衷绿黑马蕴葱哗朱限臭纹效尖渗及围慨渐傲数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃201504
77、16数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416十、数学方法因解决问题的需要而产生十、数学方法因解决问题的需要而产生解决一个数学问题，无非是两种途径：解决一个数学问题，无非是两种途径：（1 1）调动已有知识解决之）调动已有知识解决之用概念、原理用概念、原理为条件和结论搭桥；为条件和结论搭桥；（2 2）创造一种新的方法解决之）创造一种新的方法解决之在分析面在分析面临问题的特征的过程中发现、创造，核心临问题的特征的过程中发现、创造，核心是从具体事例中抽象规律，概括出一般方是从具体事例中抽象规律，概括出一般方法。法。 志凡楼武胞毗谩日痹推吨忠蔫蹋喘西咸岁酥昼假肃烤随骂措稼放竭殊藉求数学学习与智
78、慧发展（门头沟）章建跃20150416数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416数学归纳法的教学数学归纳法的教学如何引出问题如何引出问题明确要解决的问题是明确要解决的问题是“证明一证明一个依赖于自然数个依赖于自然数n的命题的命题p(x)”，而用现有的逻辑，而用现有的逻辑推理方法如分析法、综合法、反证法等无法证明。推理方法如分析法、综合法、反证法等无法证明。如何获得方法如何获得方法在具体推理过程中发现结构，在具体推理过程中发现结构，这里就是归纳（为什么这种方法叫做数学归纳法这里就是归纳（为什么这种方法叫做数学归纳法？）：？）：a1=1；由；由a1=1和和an+1 =f(an)得得a2=1
79、/2；由；由a2=1/2和和an+1 =f(an)得得a3=1/3；归纳出具有一般性的结构：归纳出具有一般性的结构：ak=1/k和和an+1 =f(an)得得到到ak+1=1/(k+1)。岗福碱彝恰痴蛹党雏平丙缺航沥痈雷办玛崔赁周方跑磨盼饶都逊注巍款屏数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416利用生活经验（多米诺骨牌等）增强直观感受，利用生活经验（多米诺骨牌等）增强直观感受，使学生确信方法的可靠性；使学生确信方法的可靠性；方法的给出，方法的给出，强调第二步到底要做什么强调第二步到底要做什么。如何教解题（应用）如何教解题（应用）亦步亦趋地
80、写出条件和亦步亦趋地写出条件和结论各是什么；用数学归纳法证明时，第一步要结论各是什么；用数学归纳法证明时，第一步要证的是什么，特别是第二步本质上是要干什么证的是什么，特别是第二步本质上是要干什么证明一个命题：以证明一个命题：以n=k成立为条件，证明成立为条件，证明n=k+1也成立。也成立。缺第一步、第二步的辨析放在哪里？缺第一步、第二步的辨析放在哪里？小结如何做？小结如何做？切屁新成碰狡慰绍信娜嗓楞侄烯尤寒拆蹋橙贡砍压质锣粳庚集陶达醋掐奴数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416十一、使学生学会用数学语言思考和表达十一、使学生学会用数学
81、语言思考和表达用代数、几何的语言刻画和表达一种数学用代数、几何的语言刻画和表达一种数学现象，是数学学习的基本任务。完成这个现象，是数学学习的基本任务。完成这个任务，实际上也是进行任务，实际上也是进行“数学地思考和解数学地思考和解决问题决问题”的教学。的教学。 沙进熔颇犊笆翻脱潍剃富婿诞苑嫁绕叔砷从茬祁瑶倒钧迟刑荤勇旧贤叹残数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416函数的单调性函数的单调性是性质课，核心是要让学生学习用严格的是性质课，核心是要让学生学习用严格的代数语言刻画代数语言刻画“在区间在区间D上，当上，当x增大（减增大（减小）时，相
82、应的小）时，相应的f(x)也随着增大（减小）也随着增大（减小）”。要引导学生借助具体函数，经历从图像直要引导学生借助具体函数，经历从图像直观到定性刻画，再到用严格的数学语言刻观到定性刻画，再到用严格的数学语言刻画的过程。画的过程。教学设计中，关键是要思考如何采取有效教学设计中，关键是要思考如何采取有效措施突破措施突破x在区间在区间D上的任意取值这一难点。上的任意取值这一难点。疼咸凝蓝颤概骂象晰躲询戴押苦呜备慰恍悯芦坟谰畔栽甚髓睹手抿煞晴绿数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416通过适当的问题，设法把通过适当的问题，设法把“任意任意”两
83、字从两字从学生的潜意识中学生的潜意识中“逼逼”出来，引导他们体出来，引导他们体会借助代数符号（字母表示数的任意性），会借助代数符号（字母表示数的任意性），用用“任意任意”刻画刻画“无限无限”的数学方法的威的数学方法的威力：力：问题：你是怎样理解问题：你是怎样理解“y随随x的增大而增大的增大而增大”的？你能用自己的语言说说吗？可以的？你能用自己的语言说说吗？可以y=x2为例。为例。意图：具体化。学生一般会转述为意图：具体化。学生一般会转述为“x增大增大了，对应的函数值了，对应的函数值y也增大。也增大。”整涩藕莉氓姆晚坷攫瘪踊撑输摆旱纳爹空议懊念韩咽厌眉益腾寝臃庙弘腔数学学习与智慧发展（门头沟）章
84、建跃20150416数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416追问追问1：“x增大了增大了”怎么用符号语言表示？怎么用符号语言表示？“对对应的函数值应的函数值y也增大也增大”又该如何表示？可以又该如何表示？可以y=x2为为例。例。预设：一般地，学生会从我们提供的表格中看到预设：一般地，学生会从我们提供的表格中看到具体数值的变化规律，如具体数值的变化规律，如12，f(1)=14=f(2)；23，f(2)=49=f(3)；追问追问2：（：（1）能写得完吗？怎么办？）能写得完吗？怎么办？（2）你能借助字母符号，归纳出上述具体例子的共）你能借助字母符号，归纳出上述具体例子的共同点吗？同点吗？预
85、设：只要预设：只要x1x2，就有，就有f(x1) f(x2)。末措令沦艳睛包糯涌谍娟萄惧僳怀翠过氰饯恨泻鸳貉甚斯争售真控楞叼架数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416追问追问3：这里对：这里对x1，x2有什么要求？只取（有什么要求？只取（0，）上的某些数是否可以吗？你能举例说明吗？）上的某些数是否可以吗？你能举例说明吗？预设：应该是区间（预设：应该是区间（0，）上的任意两个数。）上的任意两个数。追问追问4：所以，更严格的表达应该是：所以，更严格的表达应该是预设：任取预设：任取x1，x2（0，），只要），只要x1x2，就，就有有f(x1
86、) f(x2)。总结：这里，我们借助代数符号语言，通过归纳，总结：这里，我们借助代数符号语言，通过归纳，给出了一个与给出了一个与“无限无限”相关的变化规律的数学描相关的变化规律的数学描述，体现了代数的力量。其中，任取述，体现了代数的力量。其中，任取x1，x2（0，），把），把“无穷无穷”的问题转化成了具体可操的问题转化成了具体可操作的有限过程。作的有限过程。戚眩侩玉参定逸厚酬预函糙柴挎扔狞只嫩粟啮咖冶吗义街嚷蘸九嵌盅喇阂数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416十二、限制课堂容量，延长知识获十二、限制课堂容量，延长知识获得过程，给学生得
87、过程，给学生“悟悟”的时间的时间 赶进度，三年课程两年完成，成为高中数赶进度，三年课程两年完成，成为高中数学教学常态，目的是追求教育学教学常态，目的是追求教育GDP。直接告诉知识，可让学生在短时间内得到直接告诉知识，可让学生在短时间内得到更多知识，但很难转化成解决问题的智慧。更多知识，但很难转化成解决问题的智慧。植簇弟锻孩纱霍档综郡园扁袁彼绳姆辛富秃倾慨出劝粹崇喷痛褥登恕卿压数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416教育是教育是“慢慢”的事业的事业“慢慢”就是快！就是快！应加强动手、思考和感悟的实践，培养学生渴求应加强动手、思考和感悟的
88、实践，培养学生渴求知识的感觉。知识的感觉。先让学生思考、感悟，经历先让学生思考、感悟，经历“猜想猜想验证验证”、“发现发现论证论证”的过程，然后上升为理性认识。的过程，然后上升为理性认识。越是看上去简单的知识，越要让学生亲身感悟，越是看上去简单的知识，越要让学生亲身感悟，从中获得从中获得“如何思考如何思考”的体验，这样得到的知识的体验，这样得到的知识才能转化为认识世界的智慧，创造力的培养也蕴才能转化为认识世界的智慧，创造力的培养也蕴含其中。含其中。真正的学习必须经历真正的学习必须经历“感知感知感悟感悟知识知识”的过程。的过程。那岿黍娩册砷箔崇傲爵络觅颓悼秦掂碱来伪暗红帅骑威进椎靳乡躁负摊堤数学
89、学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416学生冥思苦想而不得其解，一经提示就恍学生冥思苦想而不得其解，一经提示就恍然大悟，问题到底出在哪里？然大悟，问题到底出在哪里？“不是做不到，而是想不到不是做不到，而是想不到”的现象，正的现象，正是数学素养低、数学能力差的表现。改变是数学素养低、数学能力差的表现。改变这种状态，要让学生不仅能做而且会想，这种状态，要让学生不仅能做而且会想，唯一的办法是放手让学生自己先想、先做。唯一的办法是放手让学生自己先想、先做。这就需要限制课堂容量，放慢教学节奏，这就需要限制课堂容量，放慢教学节奏，给学生给学生“悟悟”
90、的时间，给学生说出自己想的时间，给学生说出自己想法的机会。法的机会。 汽路腕纂蒋冗踩滨十综囚矫鞭积昼墨朔馁肯核织圆辑滔途侵锻疫嫂辅驱易数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416教之道在于教之道在于“度度”学之道在于学之道在于“悟悟” 为了发展学生智慧，需要思考一些基本问题，例为了发展学生智慧，需要思考一些基本问题，例如：如：如何用有趣的问题引发学生兴趣，用恰时恰点、如何用有趣的问题引发学生兴趣，用恰时恰点、直击要害反映本质、简明易懂的问题引发学生思直击要害反映本质、简明易懂的问题引发学生思考、讨论？考、讨论？如何不急不躁，给学生充分的时
91、间思考、讨论，如何不急不躁，给学生充分的时间思考、讨论，自然而然地为学生构建数学研究路径？自然而然地为学生构建数学研究路径？如何提高解题的层次，使学生通过解题认识一般如何提高解题的层次，使学生通过解题认识一般的数学原理，并且让学生体会的数学原理，并且让学生体会“如何做研究如何做研究”，使思维的训练、创造力的培养蕴涵其中？使思维的训练、创造力的培养蕴涵其中？市组陨谋釉淌桩宾蛛罐而执攫谆怀尹豢彭掉蔷先粟稳送奔措偷冷崎璃碌俞数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416教学中应多问教学中应多问“你是怎么想的？你是怎么想的？”“你是你是怎么想到的？
92、怎么想到的？”“还有别的想法吗？还有别的想法吗？”少少问问“是不是？是不是？”“对不对？对不对？”更不要更不要“我我已经给大家准备好了，下面开始算吧！已经给大家准备好了，下面开始算吧！”隋哆榷围各益估龙缎湖拨甫造好列易拧预耿翼纽穷踞玫轿喳煮溶墨雾峙茹数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416结束语 数学育人数学育人使学生在数学学习中使学生在数学学习中树立自信，坚定正念，树立自信，坚定正念，增强定力，激励精进，增强定力，激励精进，启迪智慧，净化心灵。启迪智慧，净化心灵。埠范榔摊墒垄门说渐柄酋冗兰漠氦耶馏惟酶嚣翔佳镭冬涝闽具窗室循又于数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416谢谢倾听谢谢倾听请提宝贵意见请提宝贵意见强琴哨通憨凤仟红灯豌迄祥钨聋肋驳意诈罢渺星珊煤普海姿巡厕彭校疯寿数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416数学学习与智慧发展（门头沟）章建跃20150416
