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1、做怎样的课例Stillwatersrundeep.流静水深流静水深,人静心深人静心深Wherethereislife,thereishope。有生命必有希望。有生命必有希望1. 1. 学生该做的做了没有学生该做的做了没有“道而弗牵，强而弗抑，开而弗达道而弗牵，强而弗抑，开而弗达”（礼记（礼记学记）学记）最有效的学习方法应是让学生在体验和创造的最有效的学习方法应是让学生在体验和创造的过程中学习过程中学习有理数减法：有理数减法： （+2）-（-3） = + 5 （-2）-（+3）= - 5 （-2）-（-5） = + 3 例：例： 有理数加减法有理数加减法正数与负数相加：正数与负数相加： （+5）
2、+（-3）= + 2 （-5）+（+3）= - 2 （-3）+（+5）= + 2 “ 学而时习之，不亦说乎”边讲边问没有摆脱全面灌输：边讲边问没有摆脱全面灌输：一年后重新设计：一年后重新设计： 105 105次填空式问答（由低到高设次填空式问答（由低到高设计），记忆问题占计），记忆问题占74.3%74.3%，简单推，简单推理占理占21.0%21.0%，小步、多练、快进，小步、多练、快进，未留思考空间给学生。未留思考空间给学生。 教师：教师：“ 讲是给学生知识，问讲是给学生知识，问是看他们收到没有是看他们收到没有”。 弄清图形之间关系，学生思维水弄清图形之间关系，学生思维水平提升，变繁琐为简单。
3、平提升，变繁琐为简单。 学生：学生：“原来那么多性质不需要原来那么多性质不需要死记硬背死记硬背”。2. 2. 从提问走向对话从提问走向对话例：正方形的定义和性质例：正方形的定义和性质（1 1）旧知中引发冲突）旧知中引发冲突师：如何对师：如何对x61分解因式？分解因式？学生板演的两种解法：学生板演的两种解法： x61=(x3)2-1=(x3+1)(x3-1) =(x+1)(x2-x+1)(x-1)(x2+x+1) x61= (x2)3-1=(x2-1)(x4+x2+1) =(x+1)(x-1)(x4+x2+1)问题：同一题目，两种方法做怎么答案不一样呢？问题：同一题目，两种方法做怎么答案不一样呢
4、？3. 3. 没有兴趣就没有学习没有兴趣就没有学习例：拆添项法分解因式例：拆添项法分解因式（2 2）在演算中蕴含新知）在演算中蕴含新知师：看看师：看看(x4+x2+1) 是否与是否与(x2-x+1)(x2+x+1)相等呢？相等呢？学生的验算：学生的验算： (x2-x+1)(x2+x+1)=(x2+1)-x(x2+1)+x =(x2+1)2-x2 =x4+2x2+1-x2 = x4+x2+1师：由上面的验算可知，师：由上面的验算可知， (x4+x2+1) 确实能分解成确实能分解成(x2-x+1)(x2+x+1)。请同学们试试看，谁能最快发现新的分解方。请同学们试试看，谁能最快发现新的分解方法？法
5、？生生4： x4+x2+1 =x4+2x2+1-x2师：你为什么把师：你为什么把 x2 拆成拆成 2x2 与与 -x2 两项呢？两项呢？生生4：因为这样一拆，前面三项正好是完全平方，可以用分：因为这样一拆，前面三项正好是完全平方，可以用分组分解继续分解下去。组分解继续分解下去。 让学生通过逆向思维，亲自发现因式分解的新方法，让学生通过逆向思维，亲自发现因式分解的新方法，虽有一定难度，但又是大多数学生经过虽有一定难度，但又是大多数学生经过“跳一跳跳一跳”能够能够做到的。而且，拆添项分解因式的这一方法与学生后面做到的。而且，拆添项分解因式的这一方法与学生后面学习二元一次方程解法时的学习二元一次方程
6、解法时的“配方法配方法”过程直接相关，过程直接相关，为后续学习打下基础。为后续学习打下基础。（3 3）发现拆添项分解因式法）发现拆添项分解因式法（1 1）情境问题引发兴趣）情境问题引发兴趣如何复原一个被墨迹浸渍的等腰三角形？如何复原一个被墨迹浸渍的等腰三角形？学生的三种学生的三种“补出补出”方法：方法：只剩一个底角和一条底边只剩一个底角和一条底边量出量出CC度数，画出度数，画出BBCC， B B与与CC的边相交得到顶点的边相交得到顶点A A作作BCBC边上的中垂边上的中垂线，与线，与CC的一边的一边相交得到顶点相交得到顶点A A画出的是否为等腰三角形，由此引发判定定理的证明画出的是否为等腰三角
7、形，由此引发判定定理的证明“对折对折”4. 4. 变式练习有多种功能变式练习有多种功能例：等腰三角形的判定例：等腰三角形的判定（2 2）多种证法激活创造力）多种证法激活创造力三种常规的办法：三种常规的办法：两种创造性的证法：两种创造性的证法：作作AA的平分线，的平分线，利用利用“角角边角角边”过过A A作作BCBC边的垂线，边的垂线，利用利用“角角边角角边”作作BCBC边上的中线，边上的中线，“边边角边边角”不能证明不能证明假定假定ABAC,ABAC,由由“大边对大角大边对大角”得出得出矛盾矛盾ABCACBABCACB，应用应用“角边角角边角”ABC（3 3）变式练习分步解决问题）变式练习分步
8、解决问题不断变换题目的条件：不断变换题目的条件：ABCABC中，中，ABCABCACBACB，BOBO平分平分BB，COCO平分平分CC。能。能得出什么结论？得出什么结论？过过O O作直线作直线EFBCEFBC。图中有几个等腰三角图中有几个等腰三角形？为什么？形？为什么？线段线段EFEF与线段与线段BEBE、FCFC之间之间有何关系？有何关系？( (学生编题学生编题) )若若BB与与CC不相等不相等。 图中有没有等腰三角图中有没有等腰三角形？为什么？形？为什么？线段线段EFEF与线段与线段BEBE、FCFC之间还有之间还有没有关系？没有关系？( (学生讨论学生讨论) )直观看到一个，简直观看到
9、一个，简单应用判定定理单应用判定定理必须综合应用判定必须综合应用判定定理和性质定理论定理和性质定理论证两个红色三角形证两个红色三角形以及线段间的关系以及线段间的关系直观看到三个，两个直观看到三个，两个红色三角形必须应用红色三角形必须应用判定定理论证；线段判定定理论证；线段关系用到性质定理。关系用到性质定理。原行为阶段原行为阶段关注个人已有经关注个人已有经验的教学行为验的教学行为新设计阶段新设计阶段关关注注新新理理念念、新新经验的课例设计经验的课例设计新行为阶段新行为阶段关关注注学学生生获获得得的的行为调整行为调整更新理念更新理念反反思思1 1：寻寻找找自自身身与与他人的差距他人的差距改善行为改
10、善行为反反思思2 2：寻寻找找设设计计与与现实的差距现实的差距课例为载体课例为载体/ /教师与研究者的合作平台：理论学习、教学设计、行为反省教师与研究者的合作平台：理论学习、教学设计、行为反省5. 5. 探究需要脚手架探究需要脚手架（1 1）选题背景）选题背景 勾股定理是数学教改的晴雨表：上一世纪五六十勾股定理是数学教改的晴雨表：上一世纪五六十年代数学课程中的严格论证、后来提倡的年代数学课程中的严格论证、后来提倡的“量一量、量一量、算一算算一算”、之后的、之后的“告诉结论告诉结论”、“做中学做中学”，直到，直到现在的探究式等。数学教学要培养学生的数学计算、现在的探究式等。数学教学要培养学生的数
11、学计算、数学论证乃至数学决策等三大能力，勾股定理教学正数学论证乃至数学决策等三大能力，勾股定理教学正是一个恰当的例子。是一个恰当的例子。a a2 2+b+b2 2=c=c2 2例：勾股定理例：勾股定理（2 2）回顾原教学行为）回顾原教学行为欧几里德方法欧几里德方法欧几里德方法欧几里德方法 ( (等积变形推导等积变形推导) ) 技巧难度太高技巧难度太高设置动手情境设置动手情境设置动手情境设置动手情境“量一量、算一算量一量、算一算”得不出得不出a a2 2+b+b2 2=c=c2 2“剪一剪、拼一拼剪一剪、拼一拼”学生不会剪拼学生不会剪拼提供勾股数组提供勾股数组: : 3 32 2+4+42 2=
12、5=52 2 6 62 2+8+82 2=10=102 2简化为铺地砖简化为铺地砖: :特殊情境成特殊情境成了直接暗示了直接暗示, ,无异于告诉无异于告诉事实事实（3 3）情境铺垫出猜想）情境铺垫出猜想 问题问题: : 直角三角形两条直角边和斜边之间有什么关系直角三角形两条直角边和斜边之间有什么关系? ? a a、b bc ca+b a+b （已有知识）（已有知识） 两边平方怎么样两边平方怎么样? a? a2 2、b b2 2c c2 2 铺垫铺垫: : 在方格纸内斜放一个正方形在方格纸内斜放一个正方形ABCDABCD，每个小方格的，每个小方格的边长为单位边长为单位1 1，怎样计算正方形，怎样
13、计算正方形ABCDABCD的面积？的面积？(a+b)(a+b)2 2a a2 2+2ab+b+2ab+b2 2 数据表数据表：用前面的方法分别计算下列四个图形中的用前面的方法分别计算下列四个图形中的a a2 2、b b2 2 、2ab2ab及及c c2 2的值，并填表。的值，并填表。代数项代数项图图图图图图图图a a2 21 14 49 91616b b2 24 49 9161625252ab2ab4 4121224244040c c2 25 5131325254141学生的发现出乎意料：学生的发现出乎意料：c c2 2=2ab+1=2ab+1 a a2 2+b+b2 2=c=c2 2a+b+
14、aa+b+a2 2=b=b2 2 2ab+c2ab+c2 2=(a+b)=(a+b)2 2等等! !(4) (4) 反驳与证明的师生对话反驳与证明的师生对话 生生1 1 根据数据表根据数据表, ,我得出我得出c c2 2=2ab+1=2ab+1的结论。的结论。 师师 很惊讶很惊讶 怎么会怎么会, ,不可能吧不可能吧? ? 生生2 2 我做过我做过a=2,b=4a=2,b=4的例子的例子, ,这时这时2ab=16,c2ab=16,c2 2=20,c=20,c2 22ab+12ab+1。 师师 生生2 2用举例来用举例来“反驳反驳”,”,有说服力有说服力,c,c2 2=2ab+1=2ab+1这一结
15、论不能成立。这一结论不能成立。 生生3 3 老师老师, ,当当a a与与b b相差相差1 1的时候的时候, ,这个结论还是成立的。这个结论还是成立的。 师师 心中想心中想 c c2 2=(a-b)=(a-b)2 2+2ab,b-a=1+2ab,b-a=1时时,c,c2 2=2ab+1=2ab+1这个意见也是对的这个意见也是对的, ,这是一个有条件的结论。好这是一个有条件的结论。好, ,下面我们来看看另外一个结论下面我们来看看另外一个结论a a2 2+b+b2 2=c=c2 2。 生生4 4 这个结论对前面已举过的图例来说都是成立的这个结论对前面已举过的图例来说都是成立的, ,但是我想但是我想,
16、 ,即使即使100100个例子都正确个例子都正确,101,101个例子不成立了呢个例子不成立了呢? ?所有例子都成立才是定理所有例子都成立才是定理, ,只要有只要有1 1个例子不成立还是个有条件的结论。个例子不成立还是个有条件的结论。 师师 a a2 2+b+b2 2=c=c2 2是否是个定理是否是个定理, ,举例再多也说明不了举例再多也说明不了, ,怎么办怎么办? ? 生生众众 看来必须证明。看来必须证明。（5 5）拆除铺垫引导论证）拆除铺垫引导论证 把图中的小方格背景撤去，并且隐去把图中的小方格背景撤去，并且隐去a a、b b的具的具体数值，在一般的直角三角形中，体数值，在一般的直角三角形中，a a2 2+b+b2 2=c=c2 2是否同样是否同样成立？学生利用前面计算直角三角形斜边上正方形成立？学生利用前面计算直角三角形斜边上正方形面积的方法，顺利地证明了这一结论的正确性。面积的方法，顺利地证明了这一结论的正确性。abc
