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1、 3.流体运动学 3.1 流体运流体运动的描画方法的描画方法3.2 流体流体质点的加速度、点的加速度、质点点导数数3.3 流体运流体运动的根本概念的根本概念2.5 流体微元的运流体微元的运动分析分析2.4 延延续性方程性方程3.1 流体运流体运动的描画方法的描画方法 流体流体流体流体质质点运点运点运点运动动的全部空的全部空的全部空的全部空间间称称称称为为流流流流场场。由于。由于。由于。由于流体是延流体是延流体是延流体是延续续介介介介质质，所以描画流体运，所以描画流体运，所以描画流体运，所以描画流体运动动的各物理的各物理的各物理的各物理量量量量 ( ( ( (如速度、加速度等如速度、加速度等如速
2、度、加速度等如速度、加速度等) ) ) ) 均均均均应应是空是空是空是空间间点的坐点的坐点的坐点的坐标标和和和和时间时间的延的延的延的延续续函数。函数。函数。函数。 流膂力学中研流膂力学中研流膂力学中研流膂力学中研讨讨流体的运流体的运流体的运流体的运动动有两种不有两种不有两种不有两种不同的方法，一种是拉格朗日同的方法，一种是拉格朗日同的方法，一种是拉格朗日同的方法，一种是拉格朗日LagrangeLagrangeLagrangeLagrange方法，方法，方法，方法，另一种是欧拉另一种是欧拉另一种是欧拉另一种是欧拉EulerEulerEulerEuler方法。方法。方法。方法。 拉格朗日方法又称
3、随体法，是从分析流拉格朗日方法又称随体法，是从分析流拉格朗日方法又称随体法，是从分析流拉格朗日方法又称随体法，是从分析流场场中个中个中个中个别别流体流体流体流体质质点着手来研点着手来研点着手来研点着手来研讨讨整个流体运整个流体运整个流体运整个流体运动动的。的。的。的。这这种研种研种研种研讨讨方法，最根本的参方法，最根本的参方法，最根本的参方法，最根本的参数是流体数是流体数是流体数是流体质质点的位移，在某一点的位移，在某一点的位移，在某一点的位移，在某一时时辰，任一流体辰，任一流体辰，任一流体辰，任一流体质质点的位置可点的位置可点的位置可点的位置可表示表示表示表示为为： 加速度：加速度：加速度：
4、加速度：速度：速度：速度：速度：x=x(a,b,c,t)，y=y(a,b,c,t) ，z=z(a,b,c,t) 欧拉法是欧拉法是欧拉法是欧拉法是调查经过调查经过固定空固定空固定空固定空间间位置点的不同液体位置点的不同液体位置点的不同液体位置点的不同液体质质点的点的点的点的运运运运动动形状，来了解整个运形状，来了解整个运形状，来了解整个运形状，来了解整个运动动空空空空间间内的流内的流内的流内的流动动情况，情况，情况，情况，汇总这汇总这些些些些情况即可了解整个液流的运情况即可了解整个液流的运情况即可了解整个液流的运情况即可了解整个液流的运动变动变化化化化规规律。律。律。律。 设设在某一瞬在某一瞬在
5、某一瞬在某一瞬时时，察看到流，察看到流，察看到流，察看到流场场中各空中各空中各空中各空间间点上液体点上液体点上液体点上液体质质点的流点的流点的流点的流速，将速，将速，将速，将这这些流速些流速些流速些流速综综合在一同就构成了一个流速合在一同就构成了一个流速合在一同就构成了一个流速合在一同就构成了一个流速场场，假，假，假，假设设求求求求得各瞬得各瞬得各瞬得各瞬时时的流速的流速的流速的流速场场，就可得流速，就可得流速，就可得流速，就可得流速场场随随随随时间时间的的的的变变化。因此，化。因此，化。因此，化。因此，流速流速流速流速应该应该是空是空是空是空间间点坐点坐点坐点坐标标x x、y y、z z和和
6、和和时间时间t t的函数，即：的函数，即：的函数，即：的函数，即：各方向的分量各方向的分量各方向的分量各方向的分量为为：加速度：加速度：加速度：加速度： 运用欧拉法运用欧拉法运用欧拉法运用欧拉法时时，常在流，常在流，常在流，常在流场场中中中中选选取一固定空取一固定空取一固定空取一固定空间间区域来察区域来察区域来察区域来察看流体的运看流体的运看流体的运看流体的运动动。这这个固定空个固定空个固定空个固定空间间称称称称为为控制体，它的控制体，它的控制体，它的控制体，它的边边境称境称境称境称为为控制面。控制体的位置、外形，体控制面。控制体的位置、外形，体控制面。控制体的位置、外形，体控制面。控制体的位
7、置、外形，体积积相相相相对对于坐于坐于坐于坐标标系均固定系均固定系均固定系均固定不不不不变变，流体，流体，流体，流体质质点可以流点可以流点可以流点可以流进进或流出控制面。或流出控制面。或流出控制面。或流出控制面。3.2 流体流体质点的加速度、点的加速度、质点点导数数流体流体流体流体质质点的加速度点的加速度点的加速度点的加速度同理：同理：同理：同理：l l 表示在某一固定空表示在某一固定空表示在某一固定空表示在某一固定空间间点上，液体点上，液体点上，液体点上，液体质质点速度点速度点速度点速度对时间对时间的的的的变变化率。也就化率。也就化率。也就化率。也就l l 是在同一地点，由于是在同一地点，由
8、于是在同一地点，由于是在同一地点，由于时间变时间变化而引起的加速度，称化而引起的加速度，称化而引起的加速度，称化而引起的加速度，称为为当地加速度。当地加速度。当地加速度。当地加速度。l l 其他几其他几其他几其他几项项表示液体表示液体表示液体表示液体质质点在同一点在同一点在同一点在同一时时辰因地点辰因地点辰因地点辰因地点变变化而引起的加速度，称化而引起的加速度，称化而引起的加速度，称化而引起的加速度，称为为l l 迁移加速度。迁移加速度。迁移加速度。迁移加速度。哈密哈密哈密哈密顿顿算子算子算子算子D DD DD DD DD DD D D DD D随体导数3.3 流体运流体运动的根本概念的根本概
9、念流流流流动动的的的的类类型型型型按照流体性按照流体性按照流体性按照流体性质质划分：划分：划分：划分：可可可可紧缩紧缩流体的流流体的流流体的流流体的流动动和不可和不可和不可和不可紧缩紧缩流体的流流体的流流体的流流体的流动动；理想流体的流理想流体的流理想流体的流理想流体的流动动和粘性流体的流和粘性流体的流和粘性流体的流和粘性流体的流动动； 牛牛牛牛顿顿流体的流流体的流流体的流流体的流动动和非牛和非牛和非牛和非牛顿顿流体的流流体的流流体的流流体的流动动；按照流按照流按照流按照流动动特征区分：特征区分：特征区分：特征区分：有旋流有旋流有旋流有旋流动动和无旋流和无旋流和无旋流和无旋流动动；层层流流流流
10、流流流流动动和湍流流和湍流流和湍流流和湍流流动动；定常流定常流定常流定常流动动和非定常流和非定常流和非定常流和非定常流动动； 超声速流超声速流超声速流超声速流动动和和和和亚亚声速流声速流声速流声速流动动；按照流按照流按照流按照流动动空空空空间间区分：区分：区分：区分：内部流内部流内部流内部流动动和外部流和外部流和外部流和外部流动动；一一一一维维流流流流动动、二、二、二、二维维流流流流动动和三和三和三和三维维流流流流动动；定常流定常流定常流定常流动动、非定常流、非定常流、非定常流、非定常流动动steady and unsteady flow)steady and unsteady flow)st
11、eady and unsteady flow)steady and unsteady flow)非定常流非定常流非定常流非定常流动动：定常流定常流定常流定常流动动：流流流流动动能否能否能否能否认认常与所常与所常与所常与所选选取的参考坐取的参考坐取的参考坐取的参考坐标标系有关。系有关。系有关。系有关。一一一一维维流流流流动动、二、二、二、二维维流流流流动动和三和三和三和三维维流流流流动动一一一一维维流流流流动动： 流流流流动动参数是一个坐参数是一个坐参数是一个坐参数是一个坐标标的函数；的函数；的函数；的函数；二二二二维维流流流流动动： 流流流流动动参数是两个坐参数是两个坐参数是两个坐参数是两个坐
12、标标的函数；的函数；的函数；的函数；三三三三维维流流流流动动： 流流流流动动参数是三个坐参数是三个坐参数是三个坐参数是三个坐标标的函数。的函数。的函数。的函数。对对于工程于工程于工程于工程实实践践践践问题问题，在，在，在，在满满足精度要求的情足精度要求的情足精度要求的情足精度要求的情况下，将三况下，将三况下，将三况下，将三维维流流流流动简动简化化化化为为二二二二维维、甚至一、甚至一、甚至一、甚至一维维流流流流动动，可以使得求解，可以使得求解，可以使得求解，可以使得求解过过程尽能程尽能程尽能程尽能够简够简化。化。化。化。 二二二二维维流流流流动动一一一一维维流流流流动动三三三三维维流流流流动动二
13、二二二维维流流流流动动流流流流线线与迹与迹与迹与迹线线1 1 1 1流流流流线线某瞬某瞬某瞬某瞬时时在流在流在流在流场场中所作的一条空中所作的一条空中所作的一条空中所作的一条空间间曲曲曲曲线线，曲，曲，曲，曲线线上各点速度上各点速度上各点速度上各点速度 矢量与曲矢量与曲矢量与曲矢量与曲线线相切。相切。相切。相切。 流流流流线线可以可以可以可以笼统笼统地地地地给给出流出流出流出流场场的流的流的流的流动动形状。形状。形状。形状。经过经过流流流流线线，可以清楚地看出，可以清楚地看出，可以清楚地看出，可以清楚地看出某某某某时时辰流辰流辰流辰流场场中各点的速度方向，由流中各点的速度方向，由流中各点的速度
14、方向，由流中各点的速度方向，由流线线的密集程度，也可以断定出速度的密集程度，也可以断定出速度的密集程度，也可以断定出速度的密集程度，也可以断定出速度的大小。流的大小。流的大小。流的大小。流线线的引入是欧拉法的研的引入是欧拉法的研的引入是欧拉法的研的引入是欧拉法的研讨讨特点。特点。特点。特点。性性性性质质：普通情况下不相交、不折：普通情况下不相交、不折：普通情况下不相交、不折：普通情况下不相交、不折转转流流线线微分方程微分方程2 2 2 2迹迹迹迹线线质质点运点运点运点运动动的的的的轨轨迹迹迹迹迹迹迹迹线线微分方程：微分方程：微分方程：微分方程：对对任一任一任一任一质质点点点点迹迹线线微分方程微
15、分方程流线上任一点的切线方向与该点速度矢量一致迹迹迹迹线线和流和流和流和流线线： 迹迹迹迹线线是同一流体是同一流体是同一流体是同一流体质质点在不同点在不同点在不同点在不同时时辰的位移曲辰的位移曲辰的位移曲辰的位移曲线线，与，与，与，与LagrangeLagrangeLagrangeLagrange观观念念念念对应对应； 流流流流线线是同一是同一是同一是同一时时辰、不同流体辰、不同流体辰、不同流体辰、不同流体质质点速度向量的包点速度向量的包点速度向量的包点速度向量的包络线络线，与，与，与，与EulerEulerEulerEuler观观念念念念对应对应。 在定常流情况下，流在定常流情况下，流在定常
16、流情况下，流在定常流情况下，流线线不随不随不随不随时间变时间变，迹，迹，迹，迹线线将沿着流将沿着流将沿着流将沿着流线线走，两走，两走，两走，两者重合。者重合。者重合。者重合。流管流管流管流管在流在流在流在流场场中作一不是流中作一不是流中作一不是流中作一不是流线线的封的封的封的封锁锁周周周周线线C C C C，过该过该周周周周线线上的一切流上的一切流上的一切流上的一切流线组线组成的管状外表。成的管状外表。成的管状外表。成的管状外表。流体不能穿流体不能穿流体不能穿流体不能穿过过流管，流管就像真正的管子一流管，流管就像真正的管子一流管，流管就像真正的管子一流管，流管就像真正的管子一样样将其内外的流体
17、分开。定常将其内外的流体分开。定常将其内外的流体分开。定常将其内外的流体分开。定常流流流流动动中，流管的外形和位置不随中，流管的外形和位置不随中，流管的外形和位置不随中，流管的外形和位置不随时间发时间发生生生生变变化。化。化。化。流束流束流束流束充溢流管的一束流体。充溢流管的一束流体。充溢流管的一束流体。充溢流管的一束流体。微元流束微元流束微元流束微元流束截面截面截面截面积积无无无无穷穷小的流束。小的流束。小的流束。小的流束。 微元流束的极限是流微元流束的极限是流微元流束的极限是流微元流束的极限是流线线。流管和流束流管和流束流管和流束流管和流束微元流束和流微元流束和流微元流束和流微元流束和流线
18、线的差的差的差的差别别：流束是一个物理概念，涉及流速、流束是一个物理概念，涉及流速、流束是一个物理概念，涉及流速、流束是一个物理概念，涉及流速、压强压强、动动量、能量、流量等等；量、能量、流量等等；量、能量、流量等等；量、能量、流量等等；流流流流线线是一个数学概念，只是某一瞬是一个数学概念，只是某一瞬是一个数学概念，只是某一瞬是一个数学概念，只是某一瞬时时流流流流场场中的一条光滑曲中的一条光滑曲中的一条光滑曲中的一条光滑曲线线。 总总流流流流截面截面截面截面积积有限大的流束。如河流、水渠、水管中的水流及有限大的流束。如河流、水渠、水管中的水流及有限大的流束。如河流、水渠、水管中的水流及有限大的
19、流束。如河流、水渠、水管中的水流及风风管中的管中的管中的管中的气流都是气流都是气流都是气流都是总总流。流。流。流。元流与总流元流过流断面无限小的流束总流过流断面为有限大小的流束，它由无数元流构成流量体积流量质量流量不可紧缩流体均匀流均匀流均匀流均匀流动动、非均匀流、非均匀流、非均匀流、非均匀流动动均匀流均匀流均匀流均匀流动动非均匀流非均匀流非均匀流非均匀流动动 根据流场中同一条流线各空间点上的流速能否一样，可将总流分为均匀流和非均匀流。假设一样那么称为均匀流，否那么称为非均匀流。缓变缓变流和急流和急流和急流和急变变流流流流缓变缓变流流流流 流束内流流束内流流束内流流束内流线线的的的的夹夹角很小
20、、流角很小、流角很小、流角很小、流线线的曲率半径很大，近乎平行的曲率半径很大，近乎平行的曲率半径很大，近乎平行的曲率半径很大，近乎平行 直直直直线线的流的流的流的流动动。否那么即。否那么即。否那么即。否那么即为为急急急急变变流。流。流。流。缓变缓变流流流流缓变缓变流流流流缓变缓变流流流流急急变流流缓变缓变流流流流缓变缓变流流流流急急变流流急急变流流急急变流流急急变流流有效截面有效截面有效截面有效截面 流量流量流量流量 平均流速平均流速平均流速平均流速有效截面有效截面有效截面有效截面 在流束或者在流束或者在流束或者在流束或者总总流中，与一切流流中，与一切流流中，与一切流流中，与一切流线线都垂直的
21、截面。都垂直的截面。都垂直的截面。都垂直的截面。质质量流量量流量量流量量流量 ：流流流流 量量量量 在在在在单单位位位位时间时间内流内流内流内流过过有效截面有效截面有效截面有效截面积积的流体的量。的流体的量。的流体的量。的流体的量。体体体体积积流量流量流量流量 ：平均流速平均流速平均流速平均流速 体体体体积积流量与有效截面流量与有效截面流量与有效截面流量与有效截面积积之比之比之比之比值值。 普通地不加下普通地不加下普通地不加下普通地不加下标标a a，直接用，直接用，直接用，直接用 v v 表示。表示。表示。表示。 圆圆形截面管道的当量直径形截面管道的当量直径形截面管道的当量直径形截面管道的当量
22、直径: : : :湿周湿周湿周湿周 水力半径水力半径水力半径水力半径 当量直径当量直径当量直径当量直径湿湿湿湿 周周周周 在在在在总总流的有效截面上，流体与固体壁面的接触流的有效截面上，流体与固体壁面的接触流的有效截面上，流体与固体壁面的接触流的有效截面上，流体与固体壁面的接触长长度。度。度。度。水力半径水力半径水力半径水力半径 总总流的有效截面流的有效截面流的有效截面流的有效截面积积A A A A和湿周之比。和湿周之比。和湿周之比。和湿周之比。非非非非圆圆形截面管道的当量直径形截面管道的当量直径形截面管道的当量直径形截面管道的当量直径: :当量直径当量直径当量直径当量直径 四倍水力半径。四倍
23、水力半径。四倍水力半径。四倍水力半径。dede 4R 4Rdede d d管束：管束：管束：管束：矩形管道：矩形管道：矩形管道：矩形管道：环环形截面管道：形截面管道：形截面管道：形截面管道：3.4 延延续性方程性方程沿沿沿沿轴轴方向从左方向从左方向从左方向从左边边微元面微元面微元面微元面积积dydzdydzdydzdydz流入的流体流入的流体流入的流体流入的流体质质量量量量为为：从右从右从右从右边边微元面微元面微元面微元面积积dydzdydzdydzdydz流出的流体流出的流体流出的流体流出的流体质质量量量量为为：沿沿沿沿x x x x轴轴方向流体方向流体方向流体方向流体质质量的量的量的量的变
24、变化，即化，即化，即化，即 在在在在dtdtdtdt时间时间内内内内经过经过微元六面体的流体微元六面体的流体微元六面体的流体微元六面体的流体质质量量量量总变总变化化化化为为：设设开开开开场场瞬瞬瞬瞬时时流体的密度流体的密度流体的密度流体的密度为为 ，经过经过dtdtdtdt时间时间后的密度后的密度后的密度后的密度为为：在在在在dtdtdtdt时间时间内，六面体内因密度的内，六面体内因密度的内，六面体内因密度的内，六面体内因密度的变变化而引起的化而引起的化而引起的化而引起的质质量量量量变变化化化化为为：根据延根据延根据延根据延续续性条件，可得：性条件，可得：性条件，可得：性条件，可得：假假假假设
25、设流体是定常流流体是定常流流体是定常流流体是定常流动动，那么，那么，那么，那么 ，上式成，上式成，上式成，上式成为为可可可可紧缩紧缩流体定常三流体定常三流体定常三流体定常三维维流流流流动动的延的延的延的延续续性方程性方程性方程性方程可可可可紧缩紧缩流体非定常三流体非定常三流体非定常三流体非定常三维维流流流流动动的延的延的延的延续续性方程性方程性方程性方程不可不可不可不可紧缩紧缩流体三流体三流体三流体三维维流流流流动动的延的延的延的延续续性性性性 在同一在同一在同一在同一时间时间内内内内经过经过流流流流场场中任一封中任一封中任一封中任一封锁锁外表的外表的外表的外表的体体体体积积流量等于零，也就流
26、量等于零，也就流量等于零，也就流量等于零，也就是是是是说说，在同一，在同一，在同一，在同一时间时间内流内流内流内流入的体入的体入的体入的体积积流量与流出的流量与流出的流量与流出的流量与流出的体体体体积积流量相等。流量相等。流量相等。流量相等。延延延延续续性方程在柱坐性方程在柱坐性方程在柱坐性方程在柱坐标标系中的表示式系中的表示式系中的表示式系中的表示式为为 ：对于不可紧缩流体对于不可紧缩流体 球坐标系中的表示式为球坐标系中的表示式为: :总总流的延流的延流的延流的延续续性方程性方程性方程性方程根据根据根据根据质质量守恒定律即可得出量守恒定律即可得出量守恒定律即可得出量守恒定律即可得出结论结论：
27、在在在在单单位位位位时间时间内内内内经过经过A1 A1 A1 A1 流入控制体流入控制体流入控制体流入控制体的流体的流体的流体的流体质质量等于量等于量等于量等于经过经过A2 A2 A2 A2 流出控制流出控制流出控制流出控制体的流体体的流体体的流体体的流体质质量。量。量。量。定常条件下：定常条件下：定常条件下：定常条件下： 总总流管的外形、位置不随流管的外形、位置不随流管的外形、位置不随流管的外形、位置不随时间变时间变化。化。化。化。 总总流内的流体是不存在空隙的延流内的流体是不存在空隙的延流内的流体是不存在空隙的延流内的流体是不存在空隙的延续续介介介介质质，其密度分布恒定，所以，其密度分布恒
28、定，所以，其密度分布恒定，所以，其密度分布恒定，所以这这段段段段总总流流流流管内的流体管内的流体管内的流体管内的流体质质量也不随量也不随量也不随量也不随时间变时间变化。化。化。化。 没有流体穿没有流体穿没有流体穿没有流体穿过总过总流管流管流管流管侧侧壁流入或流出，壁流入或流出，壁流入或流出，壁流入或流出，流体只能流体只能流体只能流体只能经过经过两个两个两个两个过过流断面流断面流断面流断面进进出控制出控制出控制出控制体。体。体。体。经过经过定常定常定常定常总总流两个流两个流两个流两个过过流断面的流断面的流断面的流断面的质质量流量相等量流量相等量流量相等量流量相等对对不可不可不可不可紧缩紧缩流体，
29、流体，流体，流体，经过经过定常定常定常定常总总流两个流两个流两个流两个过过流断面流断面流断面流断面的体的体的体的体积积流量相等流量相等流量相等流量相等流体不可流体不可紧缩，2.5 流体微元的运流体微元的运动分析分析 流流体体与与刚刚体体的的主主要要不不同同在在于于它它具具有有流流动动性性，极极易易变变形形。因因此此，流流体体微微团团在在运运动动过过程程中中不不但但象象刚刚体体那那样样可可以以有有挪挪动动和和转转动动，而而且且还还会会发发生生变变形形运运动动。普普通通情情况况下下，流流体体微微团团的的运运动动可可以以分分解解为为挪挪动动，转转动动和变形运动。和变形运动。 刚刚体体体体 平移、旋平
30、移、旋平移、旋平移、旋转转流体流体流体流体 平移、旋平移、旋平移、旋平移、旋转转、变变形形形形线变线变形、角形、角形、角形、角变变形形形形平移运平移运平移运平移运动动流体微流体微团平面运平面运动速度速度 由图可知，微团上由图可知，微团上A、B、C、D各点的速度分量中均有各点的速度分量中均有u 和和 v 两项，两项，假设沿相互平行的直线流线以恒定速假设沿相互平行的直线流线以恒定速度流动，流体仅作平移运动。在经过度流动，流体仅作平移运动。在经过dt 时间后，矩形微团时间后，矩形微团ABCD向右、向向右、向上分别挪动上分别挪动 u dt、 v dt 间隔，即平间隔，即平移到新位置，外形不变。移到新位
31、置，外形不变。A AC Cuvvu 定定定定义单义单位位位位时间时间内内内内单单位位位位长长度流体度流体度流体度流体线线段的伸段的伸段的伸段的伸长长( ( ( (或或或或缩缩短短短短) ) ) ) 量量量量为为流体微流体微流体微流体微团团的的的的线变线变形速率，那么沿形速率，那么沿形速率，那么沿形速率，那么沿轴轴方向的方向的方向的方向的线线变变形速率形速率形速率形速率为为：线变线变形运形运形运形运动动 比比比比较较B B B B与与与与A A A A、C C C C与与与与DDDD点在点在点在点在 x x x x方向及方向及方向及方向及DDDD与与与与A A A A、C C C C与与与与B
32、B B B点在点在点在点在 y y y y方向的速方向的速方向的速方向的速度差可得：度差可得：度差可得：度差可得： ， ； ， 。由此可。由此可。由此可。由此可知，流体知，流体知，流体知，流体线线段段段段 和和和和 在在在在dtdtdtdt时间时间内将伸内将伸内将伸内将伸长长( ( ( (或或或或缩缩短短短短) ) ) ) ，同同同同样样， 和和和和 线线段将伸段将伸段将伸段将伸长长( ( ( (或或或或缩缩短短短短) ) ) ) 。 同理同理y y轴方向和方向和z z轴方向的方向的线变形速率分形速率分别为：将将将将x x x x、y y y y、z z z z方向的方向的方向的方向的线变线变
33、形速率加在一同，有：形速率加在一同，有：形速率加在一同，有：形速率加在一同，有： 对对于不可于不可于不可于不可紧缩紧缩流体，上式等于零，是不可流体，上式等于零，是不可流体，上式等于零，是不可流体，上式等于零，是不可紧缩紧缩流体流体流体流体的延的延的延的延续续性方程，性方程，性方程，性方程，阐阐明流体微明流体微明流体微明流体微团团在运在运在运在运动动中体中体中体中体积积不不不不变变。而三。而三。而三。而三个方向的个方向的个方向的个方向的线变线变形速率之和所反映的本形速率之和所反映的本形速率之和所反映的本形速率之和所反映的本质质是流体微是流体微是流体微是流体微团团体体体体积积在在在在单单位位位位时
34、间时间的相的相的相的相对变对变化，称化，称化，称化，称为为流体微流体微流体微流体微团团的体的体的体的体积积膨膨膨膨胀胀速率。速率。速率。速率。 两正交流体两正交流体两正交流体两正交流体边边和在和在和在和在dtdtdtdt时间时间内内内内变变化了化了化了化了( ( ( ( + )+ )+ )+ )角度。微元角度和可由以下公式角度。微元角度和可由以下公式角度。微元角度和可由以下公式角度。微元角度和可由以下公式求得求得求得求得向的速度不同，致使流体向的速度不同，致使流体向的速度不同，致使流体向的速度不同，致使流体边边在在在在dtdtdtdt时间时间内逆内逆内逆内逆时针转动时针转动了了了了 角度。角度
35、。角度。角度。角角角角变变形运形运形运形运动动比比比比较较DDDD和和和和A A A A、C C C C和和和和B B B B在在在在x x x x方向及方向及方向及方向及B B B B和和和和A A A A、C C C C和和和和DDDD在在在在y y y y方向的速度差可得：方向的速度差可得：方向的速度差可得：方向的速度差可得： ，；， 由于由于DD点和点和A A点、点、C C点和点和B B点在点在x x方向的运方向的运动速度不同，致使速度不同，致使 流体流体边在在dtdt时间内内顺时针转动了了 角度；由于角度；由于B B点和点和A A点、点、C C点和点和DD点在点在y y方方 通常把两
36、正交微元流体通常把两正交微元流体通常把两正交微元流体通常把两正交微元流体边边的的的的夹夹角在角在角在角在单单位位位位时间时间内的内的内的内的变变化量定化量定化量定化量定义为义为角角角角变变形速度，而把形速度，而把形速度，而把形速度，而把该夹该夹角角角角变变化的平均化的平均化的平均化的平均值值在在在在单单位位位位时间时间内的内的内的内的变变化量化量化量化量( ( ( (角角角角变变形速形速形速形速度的平均度的平均度的平均度的平均值值) ) ) )定定定定义为义为剪切剪切剪切剪切变变形速率。那么在形速率。那么在形速率。那么在形速率。那么在xyxyxyxy平面上，将流体微平面上，将流体微平面上，将流
37、体微平面上，将流体微团团的剪的剪的剪的剪切切切切变变形速率形速率形速率形速率记为记为 ( ) ( ) ( ) ( )，因此有：，因此有：，因此有：，因此有：同理，也可得到同理，也可得到同理，也可得到同理，也可得到 yz yz yz yz 平面和平面和平面和平面和 zx zx zx zx 平面上的剪切平面上的剪切平面上的剪切平面上的剪切变变形速率形速率形速率形速率 和和和和 。于是，于是，于是，于是，过过流体微流体微流体微流体微团团任一点任一点任一点任一点A A A A的三个正交微元流面子上的剪切的三个正交微元流面子上的剪切的三个正交微元流面子上的剪切的三个正交微元流面子上的剪切变变形速率分形速
38、率分形速率分形速率分别为别为用用用用 表示流体微表示流体微表示流体微表示流体微团团旋旋旋旋转转角速度的大小，其定角速度的大小，其定角速度的大小，其定角速度的大小，其定义为义为：过过流体微流体微流体微流体微团团上上上上A A A A点的任点的任点的任点的任两条正交微元流体两条正交微元流体两条正交微元流体两条正交微元流体边边在其所在平面内旋在其所在平面内旋在其所在平面内旋在其所在平面内旋转转角速度的平均角速度的平均角速度的平均角速度的平均值值，称作，称作，称作，称作A A A A点流体点流体点流体点流体旋旋旋旋转转运运运运动动由由由由图图可知，流体微可知，流体微可知，流体微可知，流体微团团在在在在
39、dtdtdtdt时间时间内出内出内出内出现现了角了角了角了角变变形运形运形运形运动动。假。假。假。假设设微元角度微元角度微元角度微元角度 = = = = ，那么流体微，那么流体微，那么流体微，那么流体微团团只只只只发发生角生角生角生角变变形；假形；假形；假形；假设设 =- =- =- =- ，即，即，即，即 ，那么，那么，那么，那么流体微流体微流体微流体微团团只只只只发发生旋生旋生旋生旋转转，不，不，不，不发发生角生角生角生角变变形，如下形，如下形，如下形，如下图图。普通情况下，。普通情况下，。普通情况下，。普通情况下， ，流体微流体微流体微流体微团团在在在在发发生角生角生角生角变变形的同形的
40、同形的同形的同时时，还还要要要要发发生旋生旋生旋生旋转转运运运运动动。微微微微团团的旋的旋的旋的旋转转角速度在垂直角速度在垂直角速度在垂直角速度在垂直该该平面方向的分平面方向的分平面方向的分平面方向的分量。在量。在量。在量。在xyxyxyxy平面上，平面上，平面上，平面上，过过A A A A点两正交流体点两正交流体点两正交流体点两正交流体边边 和和和和 ， 边边在在在在dtdtdtdt时间时间内逆内逆内逆内逆时针时针旋旋旋旋转转了微了微了微了微元角度元角度元角度元角度 ， 边边在在在在dtdtdtdt时间时间内内内内顺时针顺时针旋旋旋旋转转了微元角度了微元角度了微元角度了微元角度 ， 通常通常
41、通常通常规规定以逆定以逆定以逆定以逆时针时针旋旋旋旋转为转为正，那么正，那么正，那么正，那么该该两条正交微元流体两条正交微元流体两条正交微元流体两条正交微元流体边边在在在在xyxyxyxy平面平面平面平面内的旋内的旋内的旋内的旋转转角速度的平均角速度的平均角速度的平均角速度的平均值为值为 ，于是得流体微，于是得流体微，于是得流体微，于是得流体微团团沿沿沿沿轴轴方向的方向的方向的方向的旋旋旋旋转转角速度分量角速度分量角速度分量角速度分量为为0 0，无旋运，无旋运，无旋运，无旋运动动0 0，有旋运，有旋运，有旋运，有旋运动动解：解： 由于由于w=0w=0，所以是二，所以是二维维流流动动，二，二维维
42、流流动动的流的流线线方程微分方程微分为为 将两个分速度代入流将两个分速度代入流线线微分方程，得到：微分方程，得到： 即即 xdx+ydy=0 xdx+ydy=0 积积分上式得到分上式得到 x2+y2=c x2+y2=c 即流即流线线簇是以坐簇是以坐标标原点原点为圆为圆心的同心心的同心圆圆。例例例例题题 3 31 1 有一流有一流有一流有一流场场，其流速分布，其流速分布，其流速分布，其流速分布规规律律律律为为：u= -kyu= -kyu= -kyu= -ky，v= kxv= kxv= kxv= kx，w=0w=0w=0w=0，试试求其流求其流求其流求其流线线方程。方程。方程。方程。解：由速度分布可得：解：由速度分布可得： 故：故：故此流故此流动动不不满满足延足延续续性方程。性方程。例例例例题题 3 32 2 假假假假设设有一不可有一不可有一不可有一不可紧缩紧缩流体三流体三流体三流体三维维流流流流动动，其速度分布，其速度分布，其速度分布，其速度分布规规律律律律为为U= 3U= 3U= 3U= 3x+y3)x+y3)x+y3)x+y3)，v=4y+z2v=4y+z2v=4y+z2v=4y+z2，w=x+y+2zw=x+y+2zw=x+y+2zw=x+y+2z。试试分析分析分析分析该该流流流流动动能否能否能否能否满满足延足延足延足延续续性方程。性方程。性方程。性方程。
