《信号与系统的基本概念》由会员分享，可在线阅读，更多相关《信号与系统的基本概念（131页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 1 章 信号与系统的基本概念 第第1章章 信号与系统的基本概念信号与系统的基本概念 1.0 信号与系统信号与系统 1.1 信号的描述和分类信号的描述和分类 1.2 信号的基本特性信号的基本特性 1.3 信号的基本运算信号的基本运算 1.4 阶跃信号和冲激信号阶跃信号和冲激信号 1.5 系统的描述系统的描述 1.6 系统的特性和分类系统的特性和分类 1.7 信号与系统的分析方法信号与系统的分析方法 第 1 章 信号与系统的基本概念 1.0 信信 号号 与与 系系 统统图1.0-1激励、系统与响应第 1 章 信号与系统的基本概念 图1.0-2无线电广播系统的组成第 1 章 信号与系统的基本概念
2、 1.1 信号的描述和分类信号的描述和分类1.1.1 信号的描述信号的描述信号:是消息的表现形式，通常体现为随若干变量而变化的某种物理量。例如，1.在电子信息系统中的电压、电流、电荷或磁通等电信号可以理解为是时间t或其他变量的函数；2.在气象观测中的温度、气压是随海拔高度h变化的函数；3.平面黑白图像像素灰度变化情况的图像信号，可以表示为平面坐标位置(x,y)的函数，等等。第 1 章 信号与系统的基本概念 如果信号是单个独立变量的函数，称这种信号为一维信号。如果信号为n个独立变量的函数时，就称为n维信号。本书只讨论一维信号。为了方便起见，一般都将信号的自变量设为时间t或序号k。通常，还将信号的
3、图形表示称为波形或波形图。第 1 章 信号与系统的基本概念 1.1.2 信号的分类信号的分类(4种分类法种分类法) 1. 确定信号与随机信号确定信号与随机信号任一由确定时间函数描述的信号，称为确定信号或规则信号。对于这种信号，给定某一时刻后，就能确定一个相应的信号值。如果信号是时间的随机函数，事先将无法预知它的变化规律，这种信号称为不确定信号或随机信号。第 1 章 信号与系统的基本概念 图1.1-1噪声和干扰信号第 1 章 信号与系统的基本概念 2. 连续信号与离散信号连续信号与离散信号 一个信号，如果在某个时间区间内除有限个间断点外都有定义，就称该信号在此区间内为连续时间信号，简称连续信号。
4、例:正弦信号，其表达式为式中，A是常数。其自变量t在定义域(-,)内连续变化，信号在值域-A, A上连续取值。注意:一般表达式后应标明时间区间;凡没有标明时间区间时，均默认其定义域为(-，)。第 1 章 信号与系统的基本概念 图1.1-2连续信号第 1 章 信号与系统的基本概念 图1.1-2(b)是单位阶跃信号，通常记为(t)，其表达式为图1.1-2(c)表示一个延时的单边指数信号，其表达式为式中，A是常数，0。信号变量t在定义域(-,)内连续变化，信号f3(t)在值域0，A)上连续取值。注意，f3(t)在t=t0处有间断点。第 1 章 信号与系统的基本概念 对于间断点处的信号值一般不作定义，
5、这样做不会影响分析结果。如有必要，也可按高等数学规定，定义信号f(t)在间断点t0处的信号值等于其左极限f(t0-)与右极限f(t0+)的算术平均值，即第 1 章 信号与系统的基本概念 这样，图中的信号f2(t)和f3(t)也可表示为第 1 章 信号与系统的基本概念 仅在离散时刻点上有定义的信号称为离散时间信号，简称离散信号。定义在等间隔离散时刻点上的离散信号也称为序列，通常记为f(k)，其中k称为序号。与序号m相应的序列值f(m)称为信号的第m个样值。序列f(k)的数学表示式可以写成闭式，也可以直接列出序列值或者写成序列值的集合。例如，图1.1-3(a)所示的正弦序列可表示为第 1 章 信号
6、与系统的基本概念 图1.1-3离散信号第 1 章 信号与系统的基本概念 随k的变化，序列值在值域-A, A上连续取值。对于图1.1-3(b)所示的序列则可表示为第 1 章 信号与系统的基本概念 在工程应用中，把幅值可连续取值的连续信号称为模拟信号;(如图1.1-2(a)；把幅值可连续取值的离散信号称为抽样信号(如图1.1-3(a)；把幅值只能取某些规定数值的离散信号称为数字信号(如图1.1-3(c)。为方便起见，有时将信号f(t)或f(k)的自变量省略，简记为f()。第 1 章 信号与系统的基本概念 3. 周期信号与非周期信号周期信号与非周期信号一个连续信号f(t)，若对所有t均有f(t)=f
7、(t+mT)m=0,1,2,则称f(t)为连续周期信号，满足上式的最小T值称为f(t)的周期。一个离散信号f(k)，若对所有k均有f(k)=f(k+mN) m=0,1,2,(1.1-7)就称f(k)为离散周期信号或周期序列。满足式(1.1-7)的最小N值称为f(k)的周期。第 1 章 信号与系统的基本概念 图1.1-4周期信号第 1 章 信号与系统的基本概念 4. 能量信号与功率信号能量信号与功率信号若将信号f(t)设为电压或电流，则加载在单位电阻上产生的瞬时功率为|f(t)|2，在一定的时间区间内会消耗一定的能量。把该能量对时间区间取平均，即得信号在此区间内的平均功率。现在将时间区间无限扩展
8、，定义信号f(t)的能量E为第 1 章 信号与系统的基本概念 如果在无限大时间区间内信号的能量为有限值(此时平均功率P=0)，就称该信号为能量有限信号，简称能量信号。如果在无限大时间区间内，信号的平均功率为有限值(此时信号能量E=)，则称此信号为功率有限信号，简称功率信号离散信号f(k)的能量定义为第 1 章 信号与系统的基本概念 1.2 信号的基本特性信号的基本特性 信号的基本特性包括:1.时间特性、2.频率特性、3.能量特性、4.信息特性。频率与振幅、相位大小的图形称为信号的频谱。信号的能量和功率随频率分布的关系称为信号的能量谱和功率谱。第 1 章 信号与系统的基本概念 1.3 信号的基本
9、运算信号的基本运算 1.3.1 相加和相乘相加和相乘设两个连续信号f1(t)和f2(t)，则其和信号s(t)与积信号p(t)可表示为第 1 章 信号与系统的基本概念 同样，若有两个离散信号f1(k)和f2(k)，则其和信号s(k)与积信号p(k)可表示为第 1 章 信号与系统的基本概念 图1.3-1连续信号的相加和相乘第 1 章 信号与系统的基本概念 图1.3-2离散信号的相加和相乘第 1 章 信号与系统的基本概念 1.3.2 翻转、平移和展缩翻转、平移和展缩 1。翻转：将信号f(t)(或f(k)的自变量t(或k)换成-t(或-k)，得到另一个信号f(-t)(或f(-k)，称这种变换为信号的翻
10、转。几何意义：是将自变量轴“倒置”，取其原信号自变量轴的负方向作为变换后信号自变量轴的正方向。或者按照习惯，自变量轴不“倒置”时，可将f(t)或f(k)的波形绕纵坐标轴翻转180，即为f(-t)或f(-k)的波形，如图所示。2。平移：为平移：为信号f(t)(或f(k)加上一常数；3。展缩展缩 ：为：为信号f(t)(或f(k)乘（缩）、除（展）一常数第 1 章 信号与系统的基本概念 图1.3-3信号的翻转(a)f(t)的翻转；(b)f(k)的翻转第 1 章 信号与系统的基本概念 图1.3-4信号的平移第 1 章 信号与系统的基本概念 图1.3-5连续信号的波形展缩第 1 章 信号与系统的基本概念
11、 第 1 章 信号与系统的基本概念 第 1 章 信号与系统的基本概念 例例 已知信号f(t)的波形如图1.3-6(a)所示，试画出f(1-2t)的波形。解：解：一般说来，在t轴尺度保持不变的情况下，信号f(at+b)(a0)的波形可以通过对信号f(t)波形的1。平移（）、2。翻转(若a0)乘-13。展缩（）变换得到。根据变换操作顺序不同，可用多种方法画出f(1-2t)的波形。第 1 章 信号与系统的基本概念 (1)按“翻转-展缩-平移”顺序。先翻转：乘-1将f(t)变为f(-t)波形。然后，展缩：2，得到f(-2t)波形；最后：平移加1变为f(1-2t)信号的波形变换过程如图所示。第 1 章
12、信号与系统的基本概念 图1.3-7例用图之二(2)按“平移-翻转-展缩”顺序。即：“加1-乘-1-2”顺序得到f(1-2t)的波形。信号波形的变换过程如图所示。第 1 章 信号与系统的基本概念 (3)按“展缩-平移-翻转”顺序。即：“2-加1-乘-1”顺序得到f(1-2t)的波形。信号波形的变换过程如图所示第 1 章 信号与系统的基本概念 1.3.3 信号的导数和积分信号的导数和积分 连续时间信号连续时间信号f(t)的导数的导数 图1.3-9信号f1(t)、f2(t)、f3(t)的波形第 1 章 信号与系统的基本概念 连续时间信号f(t)的积分产生另一个连续时间信号，其任意时刻t的信号值为f(
13、t)波形在(-,t)区间上所包含的净面积。第 1 章 信号与系统的基本概念 图1.3-10信号的微分和积分(a)信号f(t)；(b)信号的微分；(c)信号的积分第 1 章 信号与系统的基本概念 1.3.4 信号的差分和迭分信号的差分和迭分 1. 差分运算差分运算按照连续时间信号的导数定义就离散信号而言，可用两个相邻序列值的差值代替f(t)，用相应离散时间之差代替t，并称这两个差值之比为离散信号的变化率。根据相邻离散时间选取方式的不同，离散信号变化率有如下两种表示形式：第 1 章 信号与系统的基本概念 考虑到上面两式中(k+1)-k=k-(k-1)=1，因此，相邻两个序列值的变化率也就是这两个序
14、列值之差，故称该操作为差分运算第 1 章 信号与系统的基本概念 (1)前向差分：(2)后向差分：第 1 章 信号与系统的基本概念 图1.3-11信号的差分第 1 章 信号与系统的基本概念 如果对差分运算得到的离散信号继续进行差分操作，可以定义高阶差分运算。对于前向差分有第 1 章 信号与系统的基本概念 同理，同理， 对于各阶后向差分可表示为对于各阶后向差分可表示为 第 1 章 信号与系统的基本概念 2. 迭分运算迭分运算仿照连续时间信号积分运算的定义在离散信号中，最小间隔就是一个单位时间，即=1，可定义离散积分的运算为第 1 章 信号与系统的基本概念 图1.3-12离散信号的迭分第 1 章 信
15、号与系统的基本概念 1.4 阶跃信号和冲激信号阶跃信号和冲激信号 1.4.1 连续时间阶跃信号连续时间阶跃信号 图图 1.4-1 单位阶跃信号单位阶跃信号 第 1 章 信号与系统的基本概念 设图1.4-1(a)所示函数该函数在t时为常数1。在区间(0，)内直线上升，其斜率为1/。第 1 章 信号与系统的基本概念 随减小，区间(0，)变窄，在此范围内直线上升斜率变大。当0时，函数(t)在t=0处由零立即跃变到1，其斜率为无限大，定义此函数为连续时间单位阶跃信号，简称单位阶跃信号，用(t)表示，即第 1 章 信号与系统的基本概念 单位阶跃信号时移t0后可表示为注意：注意： 信号信号(t)在在t=0
16、处和处和(t-t0)在在t=t0处都是不连续的。处都是不连续的。 第 1 章 信号与系统的基本概念 图1.4-2单边信号和区间分段信号第 1 章 信号与系统的基本概念 图1.4-2(a)和(b)所示的单边信号f1(t)和f2(t)：第 1 章 信号与系统的基本概念 而图1.4-2(c)所示的区间分段信号f3(t)为可应用几个不同时移的单位阶跃信号把f3(t)表示为第 1 章 信号与系统的基本概念 1.4.2 连续时间冲激信号连续时间冲激信号 当0时，矩形脉冲的宽度趋于零，幅度趋于无限大，而其面积仍等于1。我们将此信号定义为连续时间单位冲激信号，简称单位冲激信号或函数，用(t)表示，即第 1 章
17、 信号与系统的基本概念 图1.4-3单位冲激信号第 1 章 信号与系统的基本概念 函数的另一种定义是：定义表明函数除原点以外，处处为零，但其面积为1。第 1 章 信号与系统的基本概念 (高斯函数序列）(取样函数序列)(双边指数函数序列)第 1 章 信号与系统的基本概念 1.4.3 广义函数和广义函数和函数性质函数性质函数按函数按导数性质分类为两类：性质分类为两类：常规函数与非常规函数。常规函数：在间断点处的导数是不存在的。除间断点外，自变量t在定义域内取某值时，函数有确定的值。非常规函数：如：1。单位阶跃信号(t)：在间断点处的导数是单位冲激信号，2。函数在其惟一不等于零的点t=0处的函数值为
18、无限大。人们将这类非常规函数称为奇异函数或广义函数。第 1 章 信号与系统的基本概念 1. 广义函数的基本概念广义函数的基本概念比较：普通函数：y=f(t)看成是对定义域中的每个自变量t，按一定的运算规则f指定一个数值y的过程。广义函数：g(t)理解为是对试验函数集(t)中的每个函数(t)，按一定运算规则Ng分配(或指定)一个数值Ng(t)的过程。g(t)定义为第 1 章 信号与系统的基本概念 表1.1广义函数与普通函数的对应关系第 1 章 信号与系统的基本概念 广义函数的基本运算包括：（1）相等）相等若若则定义则定义（2）相加）相加若若第 1 章 信号与系统的基本概念 (3)尺度变换。第 1
19、 章 信号与系统的基本概念 2. 函数的广义函数定义函数的广义函数定义 按广义函数理论，函数定义为当0时，在(0,)区间上，(t)(0)，故有第 1 章 信号与系统的基本概念 3. 函数的性质函数的性质 性质性质1函数的微分和积分式中，(0)是(t)的一阶导数在t=0时的值。通常称(t)为单位冲激偶，用图所示的图形符号表示。第 1 章 信号与系统的基本概念 图1.4-4单位冲激偶(t)第 1 章 信号与系统的基本概念 同理，由广义函数的微分运算定义，并考虑到()=0，单位阶跃信号(t)的导数可表示为第 1 章 信号与系统的基本概念 第 1 章 信号与系统的基本概念 性质性质2函数与普通函数f(
20、t)相乘若将普通函数f(t)与广义函数(t)的乘积看成是新的广义函数，则按广义函数定义和函数的筛选性质，有第 1 章 信号与系统的基本概念 根据广义函数相等的定义，得到第 1 章 信号与系统的基本概念 例1.41试化简下列各信号的表达式。第 1 章 信号与系统的基本概念 性质性质3(t)函数与普通函数f(t)相乘第 1 章 信号与系统的基本概念 根据广义函数相等的定义，有对上式两边在(-,)区间取积分同理，将(t)换成(t-t0)，重复上述推导过程第 1 章 信号与系统的基本概念 性质性质4尺度变换设常数a0，按照广义函数尺度变换和微分运算的定义，可将(n)(at)表示为第 1 章 信号与系统
21、的基本概念 根据广义函数相等的定义，可得到当n=0和1时，分别有(1.4-36)第 1 章 信号与系统的基本概念 性质性质5 奇偶性奇偶性 式(1.4-36)中，若取a=-1，则可得显然，当n为偶数时，有当n为奇数时，有第 1 章 信号与系统的基本概念 例例 1.4 2计算下列各式：第 1 章 信号与系统的基本概念 第 1 章 信号与系统的基本概念 1.4.4 阶跃序列和脉冲序列阶跃序列和脉冲序列 1.单位阶跃序列单位阶跃序列离散时间单位阶跃序列定义为第 1 章 信号与系统的基本概念 图1.4-5单位阶跃序列第 1 章 信号与系统的基本概念 2. 单位脉冲序列单位脉冲序列离散时间单位脉冲序列定
22、义为图1.4-6单位脉冲序列第 1 章 信号与系统的基本概念 因为只有当k=0时(k)的值为1，而当k0时(k)的值均为零，所以任一序列f(k)与(k)相乘时，结果仍为脉冲序列，其幅值等于f(k)在k=0处的值，即而当f(k)与(k-m)相乘时，则有根据(k)和(k)的定义，不难看出(k)与(k)之间满足以下关系：第 1 章 信号与系统的基本概念 1.5 系系 统统 的的 描描 述述 1.5.1 系统模型系统模型 系统模型是指对实际系统基本特性的一种抽象描述。例：电系统，1。它可以是由理想元器件互联组成的电路图；2。可以由基本运算单元(如加法器、乘法器、积分器等)构成的模拟框图；3。或者由节点
23、、传输支路组成的信号流图；4。也可以是在上述电路图、模拟框图或信号流图的基础上，按照一定规则建立的用于描述系统特性的数学方程。这种数学方程也称为系统的数学模型。第 1 章 信号与系统的基本概念 如果系统只有单个输入和单个输出信号，则称为单输入单输出系统，如图所示。如果含有多个输入、输出信号，就称为多输入多输出系统.图1.5-1单输入单输出系统第 1 章 信号与系统的基本概念 图1.5-2多输入多输出系统第 1 章 信号与系统的基本概念 对于一个给定系统，如果在任一时刻的输出信号仅决定于该时刻的输入信号，而与其它时刻的输入信号无关，就称之为即时系统或无记忆系统；否则，就称为动态系统或记忆系统。例
24、如，只有电阻元件组成的系统是即时系统，包含有动态元件(如电容、电感、寄存器等)的系统是动态系统。描述系统输入输出关系的数学模型(描述方程)称为系统的输入输出方程。描述系统输入、输出与内部状态变量之间关系的数学模型称为系统的状态空间方程。第 1 章 信号与系统的基本概念 1.5.2 系统的输入输出描述系统的输入输出描述1。如果系统的输入、输出信号都是连续时间信号，则称之为连续时间系统，简称为连续系统。2。如果系统的输入、输出信号都是离散时间信号，就称为离散时间系统，简称离散系统。3。由两者混合组成的系统称为混合系统。第 1 章 信号与系统的基本概念 1. 系统的初始观察时刻系统的初始观察时刻在系
25、统分析中，将经常用到“初始观察时刻t0”或“初始时刻t0”一词，它包括两个含义。含义之一是以t0时刻为界，可将系统输入信号f(t)区分为f1(t)和f2(t)两部分，即第 1 章 信号与系统的基本概念 2. 连续系统输入输出方程连续系统输入输出方程 例例 简单力学系统如图所示。在光滑平面上，质量为m的钢性球体在水平外力f(t)的作用下产生运动。设球体与平面间的摩擦力及空气阻力忽略不计。将外力f(t)看作是系统的激励，球体运动速度看作是系统的响应。根据牛顿第二定律，有第 1 章 信号与系统的基本概念 图1.5-3力学系统第 1 章 信号与系统的基本概念 例例 图是一个电路系统。其中，电压源us1
26、(t)和us2(t)是电路的激励。若设电感中电流iL(t)为电路响应，则由基尔霍夫定律列出节点a的支路电流方程为第 1 章 信号与系统的基本概念 如果描述连续系统输入输出关系的数学模型是n阶微分方程，就称该系统为n阶阶连连续续系系统统。当系统的数学模型为n阶线性常系数微分方程时，写成一般形式有式中，f(t)是系统的激励，y(t)为系统的响应，an=1。方程中，。若要求解n阶微分方程，还需要给定n个初始条件y(0)，y(0)，,y(n-1)(0)。第 1 章 信号与系统的基本概念 图1.5-4电路系统第 1 章 信号与系统的基本概念 例例1.5-3 考察一个银行存款本息总额的计算问题。储户每月定
27、期在银行存款。设第k个月的存款额是f(k)，银行支付月息利率为，每月利息按复利结算，试计算储户在k个月后的本息总额y(k)。显然，k个月后储户的本息总额y(k)应该包括如下三部分款项：(1)前面(k-1)个月的本息总额y(k-1)；(2)y(k-1)的月息y(k-1)；(3)第k个月存入的款额f(k)。于是有y(k)=y(k-1)+y(k-1)+f(k)=(1+)y(k-1)+f(k)即y(k)-(1+)y(k-1)=f(k)(1.5-6)第 1 章 信号与系统的基本概念 例例 某养兔场每对异性兔子每月可繁殖一对新生兔(异性)，隔一个月后新生兔便具有生育能力。若开始养兔场有M对异性新生兔，第k
28、个月从外地收购f(k)对异性新生兔，问k个月后养兔场的兔子对总数是多少?设k个月后养兔场的兔子对总数为y(k)。因为在第k个月，有y(k-2)对兔子具有生育能力，它们由原来的y(k-2)对变成2y(k-2)对，其余的y(k-1)-y(k-2)对兔子没有生育能力，再考虑外购新生兔f(k)对，故第k个月月末的兔子对总数为y(k)=2y(k-2)+y(k-1)-y(k-2)+f(k)即y(k)-y(k-1)-y(k-2)=f(k)(1.5-7)第 1 章 信号与系统的基本概念 与连续系统类似，由n阶差分方程描述的离散系统称为n阶系统。当系统的数学模型(即输入输出方程)为n阶线性常系数差分方程时，写成
29、一般形式有式中，a0=1。第 1 章 信号与系统的基本概念 1.5.3 系统的状态空间描述系统的状态空间描述 “状态”：n阶系统在tk时刻的状态是指该时刻系统必须具有的n个独立数据，这组数据结合tk,t期间的输入就能完全确定系统在t时刻相应的输出。描述系统状态随时间变化的一组独立变量称为系统的状态变量。如果系统具有n个状态变量x1(t)，x2(t)，xn(t)，则可将它们看成是矢量x(t)的各个分量，称x(t)为状态矢量，并记为第 1 章 信号与系统的基本概念 例例 对于图所示的二阶电路系统，由节点a写出的方程(为了简便，方程中略去了信号自变量t)为对回路l写出KVL方程第 1 章 信号与系统
30、的基本概念 例如，当选取i1、uL和iC作为系统输出时，其表达式可写成可以选择uC(t)和iL(t)作为该电路系统的状态变量，即(1.5-13)第 1 章 信号与系统的基本概念 式(1.5-12)表示状态变量一阶导数与状态变量和输入间的关系，称为系统的状状态态方方程程。求解此方程，需要知道状态变量的初始条件，通常称状态变量x (t)在初始观察时刻t=0时的值x(0)为系统的初始状态。考虑到在输入信号作用下，状态变量值在t=0处可能发生跳变或出现冲激信号，为此，分别考察初始时刻前一瞬间t=0-和后一瞬间t=0+时的情况，相应地称x(0-)和x(0+)为0-初始状态初始状态和0+初始状态初始状态。
31、第 1 章 信号与系统的基本概念 设初始观察时刻t0=0时，系统的响应y(t)是由历史输入和当前输入共同决定的，而0-初始状态x(0-)反映了历史输入对系统的全部作用效果，因此，也可将响应y(t)看成是由当前输入f(t)和0-初始状态x(0-)共同决定的，可以表示为式中T表示系统对f(t)和x(0-)的传输和变换作用。第 1 章 信号与系统的基本概念 如果当前输入信号接入时，系统的0-初始状态为零(xi(0-)=0，i=1,2,n)，即系统在0-时刻没有储能(有时称这种系统为松弛系统)，则系统的响应仅由当前输入信号确定。我们定义这时的响应为系统的零状态响应零状态响应，记为yf(t)。即反之，如
32、果系统没有接入当前输入信号，输出响应完全由0-初始状态所引起，这时的响应称为系统的零输入响应HT5SS，记为yx(t)。即第 1 章 信号与系统的基本概念 1.5.4 系统的框图表示系统的框图表示 表1.2常用的系统基本运算单元第 1 章 信号与系统的基本概念 例例 某连续系统的输入输出方程为y(t)+a1y(t)+a0y(t)=f(t)试画出该系统的框图表示。 解解将输入输出方程改写为y(t)=f(t)-a1y(t)-a0y(t)（）图图 1.5-5 式式(1.5-17)的系统框图的系统框图 第 1 章 信号与系统的基本概念 例例 1.5-7 某连续系统的输入输出方程为y(t)+a1y(t)
33、+a0y(t)=b1f(t)+b0f(t)试画出该系统的框图表示。 解解该系统方程是一个一般的二阶微分方程。方程中除含有输入信号f(t)外，还包含有f(t)的导函数。对于这类系统，可以通过引用辅助函数的方法画出系统框图。设辅助函数x(t)满足x(t)+a1x(t)+a0x(t)=f(t) y(t)=b1x(t)+b0x(t) (1.5-19)第 1 章 信号与系统的基本概念 图1.5-6式(1.5-19)的系统框图第 1 章 信号与系统的基本概念 如果已知系统的框图表示，同样可以采用辅助函数方法写出系统的输入输出方程。以图所示的框图为例，设右边积分器的输出为辅助函数x(t)，在两个积分器的输入
34、端得到x(t)和x(t)，再在两个加法器的输出端写出两个等效方程，即x(t)=f(t)-a1x(t)-a0x(t)(1.5-22)y(t)=b1x(t)+b0x(t)(1.5-23)因系统是二阶的，故输入输出方程应包括y(t)、y(t)项，式(1.5-23)可得y(t)=b1x(t)+b0x(t)(1.5-24)y(t)=b1x(3)(t)+b0x(t)(1.5-25)第 1 章 信号与系统的基本概念 上式中的x(3)(t)表达式由式(1.5-22)求导函数得到，即x(3)(t)=f(t)-a1x(t)-a0x(t)(1.5-26)系统输入输出方程。具体过程是：第 1 章 信号与系统的基本概念
35、 将上述结论推广应用于n阶连续系统。设n阶系统输入输出方程为图图 1.5-7 n阶系统框图表示阶系统框图表示 第 1 章 信号与系统的基本概念 例例某离散系统框图如图1.5-8所示。试写出描述该系统输入输出关系的差分方程。图1.5-8二阶离散系统框图表示第 1 章 信号与系统的基本概念 解解系统框图中有两个移位器，故系统是二阶系统。采用与连续系统中由框图列写微分方程相类似的方法，在左边移位器的输入端引入辅助函数x(k)，则该移位器的输出为x(k-1)，右边移位器的输出为x(k-2)。写出左边加法器的输出第 1 章 信号与系统的基本概念 第 1 章 信号与系统的基本概念 1.6 系统的特性和分类
36、系统的特性和分类 1.6.1 线性特性线性特性系统的基本作用是将输入信号(激励)经过传输、变换或处理后，在系统的输出端得到满足要求的输出信号(响应)。这一过程可表示为f ()y ()式中，y()表示系统在激励f()单独作用时产生的响应。信号变量用圆点标记，代表连续时间变量t或离散序号变量k。第 1 章 信号与系统的基本概念 如果系统的激励f()数乘(为任意常数)，其响应y()也数乘，就称该系统具有齐次性齐次性或均匀性均匀性。这一特性也可表述为则系统具有齐次性。第 1 章 信号与系统的基本概念 如果任意两个激励共同作用时，系统的响应均等于每个激励单独作用时所产生的响应之和，就称系统具有叠叠加加性
37、性。或表述为则系统具有叠加性。式中，f1()，f2()表示两个激励f1()、f2()共同作用于系统。第 1 章 信号与系统的基本概念 如果系统同时具有齐次性和叠加性，就称系统具有线性特性。或表述为式中，1、2为任意常数，则系统具有线线性性特特性性，表示系统响应与激励之间满足线性关系。一个系统，如果它满足如下三个条件，则称之为线性系统，否则称为非线性系统非线性系统。第 1 章 信号与系统的基本概念 条条件件1响应y()可以分解为零输入响应yx()和零状态响应yf()之和，即y()=yx()+yf()这一结论称为系统响应的可可分分解解性性，简称分分解解性性。通常也称满足分解性条件的响应y()为完全
38、响应。 条条件件2零输入线性,即零输入响应yx()与初始状态x(0-)或x(0)之间满足线性特性。 条条件件3零状态线性，即零状态响应yf()与激励f()之间满足线性特性。第 1 章 信号与系统的基本概念 例例 在下列系统中，f(t)为激励，y(t)为响应，x(0-)为初始状态，试判定它们是否为线性系统。(1) y(t)=x(0-)f(t)(2) y(t)=x(0-)2+f(t)(3)y(t)=2x(0-)+3|f(t)|(4)y(t)=af(t)+b第 1 章 信号与系统的基本概念 解解由于系统(1)不满足分解性；系统(2)不满足零输入线性；系统(3)不满足零状态线性，故这三个系统都不是线性
39、系统。对于系统(4)，如果直接观察y(t)f(t)关系，似乎系统既不满足齐次性，也不满足叠加性，应属非线性系统。但是考虑到令f(t)=0时，系统响应为常数b,若把它看成是由初始状态引起的零输入响应时，系统仍是满足线性系统条件的，故系统(4)是线性系统。通常，以线性微分(差分)方程作为输入输出描述方程的系统都是线性系统，而以非线性微分(差分)方程作为输入输出描述方程的系统都是非线性系统。第 1 章 信号与系统的基本概念 1.6.2 时不变特性时不变特性 参数不随时间变化的系统，称为时时不不变变系系统统或定定常常系系统统，否则称为时变系统时变系统。一个时不变系统，由于参数不随时间变化，故系统的输入
40、输出关系也不会随时间变化。如果激励f()作用于系统产生的零状态响应为yf()，那么，当激励延迟td(或kd)接入时，其零状态响应也延迟相同的时间，且响应的波形形状保持相同。也就是说，一个时不变系统，若第 1 章 信号与系统的基本概念 则对连续系统有对离散系统有系统的这种性质称为时不变特性。第 1 章 信号与系统的基本概念 图1.6-1系统的时不变特性第 1 章 信号与系统的基本概念 例例 试判断以下系统是否为时不变系统。(1) yf(t)=acosf(t)t0(2)yf(t)=f(2t) t0输入输出方程中f(t)和yf(t)分别表示系统的激励和零状态响应，a为常数。 第 1 章 信号与系统的
41、基本概念 解解(1)已知设则其零状态响应故该系统是时不变系统。第 1 章 信号与系统的基本概念 (2)这个系统代表一个时间上的尺度压缩，系统输出yf(t)的波形是输入f(t)在时间上压缩1/2后得到的波形。直观上看，任何输入信号在时间上的延迟都会受到这种时间尺度改变的影响。所以，这样的系统是时变的。设相应的零状态响应为第 1 章 信号与系统的基本概念 图1.6-2例图第 1 章 信号与系统的基本概念 1.6.3 因果性因果性 一个系统，如果激励在tt0(或kk0)时为零，相应的零状态响应在tt0(或kk0)时也恒为零，就称该系统具有因因果果性性，并称这样的系统为因果系统因果系统；否则，为非因果
42、系统非因果系统。在因果系统中，原因决定结果，结果不会出现在原因作用之前。因此，系统在任一时刻的响应只与该时刻以及该时刻以前的激励有关，而与该时刻以后的激励无关。所谓激励可以是当前输入，也可以是历史输入或等效的初始状态。由于因果系统没有预测未来输入的能力，因而也常称为不可预测系统不可预测系统。第 1 章 信号与系统的基本概念 例例 对于以下系统：由于任一时刻的零状态响应均与该时刻以后的输入无关，因此都是因果系统。而对于输入输出方程为第 1 章 信号与系统的基本概念 其任一时刻的响应都将与该时刻以后的激励有关。例如，令t=1时，就有yf(1)=f(2)，即t=1时刻的响应取决于t=2时刻的激励。响
43、应在先，激励在后，这在物理系统中是不可能的。因此，该系统是非因果非因果的。同理，系统yf(t)=f(2t)也是非因果系统。非因果系统。在信号与系统分析中，常以t=0作为初始观察时刻，在当前输入信号作用下，因果系统的零状态响应只能出现在t0的时间区间上，故常常把从t=0时刻开始的信号称为因因果果信信号号，而把从某时刻t0(t00)开始的信号称为有始信号。有始信号。第 1 章 信号与系统的基本概念 1.6.4 稳定性稳定性一个系统，如果它对任何有界的激励f()所产生的零状态响应yf()亦为有界时，就称该系统为有界输入/有界输出(Bound-input/Boundoutput)稳定，简称BIBO稳定
44、，有时也称系统是零状态稳定的。一个系统，如果它的零输入响应yx()随变量t(或k)增大而无限增大，就称该系统为零输入不稳定的；若yx()总是有界的，则称系统是临界稳定的；若yx()随变量t(或k)增大而衰减为零，则称系统是渐近稳定的。第 1 章 信号与系统的基本概念 1.6.5 系统的分类系统的分类综上所述，我们可以从不同角度对系统进行分类。例如，按系统工作时信号呈现的规律，可将系统分为确定性系统与随机性系统；按信号变量的特性分为连续(时间)系统与离散(时间)系统；按输入、输出的数目分为单输入单输出系统与多输入多输出系统；按系统的不同特性分为瞬时与动态系统、线性与非线性系统、时变与时不变系统、
45、因果与非因果系统、稳定与非稳定系统等等。第 1 章 信号与系统的基本概念 1.7 信号与系统的分析方法信号与系统的分析方法 系系统统分分析析的的理理论论基基础础: 信信号号的的分分解解特特性性和和系系统统的的线线性性、时时不不变特性。变特性。实现系统分析的统一观点和方法：实现系统分析的统一观点和方法： 1.激励信号可以分解为众多基本信号单元的线性组合；激励信号可以分解为众多基本信号单元的线性组合； 2.系系统统对对激激励励所所产产生生的的零零状状态态响响应应是是系系统统对对各各基基本本信信号号单单元元分别作用时相应响应的叠加；分别作用时相应响应的叠加；3.不同的信号分解方式将导致不同的系统分析方法。不同的信号分解方式将导致不同的系统分析方法。
