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1、第第5 5讲讲离散型随机变量及其分布列离散型随机变量及其分布列精品文档1.1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性了解分布列对于刻画随机现象的重要性. .2.理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用.3.了解条件概率和两个事件相互独立的概念，能理解了解条件概率和两个事件相互独立的概念，能理解 n 次次独立重复实验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际独立重复实验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问问题题.精品文档1.1.随机变量随机变量(1)
2、(1)随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母母 X，Y，表示表示.(2)(2)所有取值可以一一列出的随机变量称为离散型随机变所有取值可以一一列出的随机变量称为离散型随机变量量. .(3)(3)随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量做连续型随机变量. .精品文档2.2.条件概率及其性质条件概率及其性质(1)条件概率的定义：条件概率的定义：A A 发生的条件下，事件发生的条件下，事件 B 发生的概率发生的概率.(2)条件概率的求法：条件概率的求法：求条件概率除了可借
3、助定义中的公式，还可以借助古典概求条件概率除了可借助定义中的公式，还可以借助古典概精品文档(3)(3)条件概率的性质：条件概率的性质：0 01 1条件概率具有一般概率的性质，即条件概率具有一般概率的性质，即_P(B|A)_；若若 B 和和 C 是两个互斥事件，则是两个互斥事件，则 P(BC|A)P(B|A)P(C|A).3.3.事件的相互独立性事件的相互独立性P P(A)P(B)(1)设设 A，B 为两个事件，若为两个事件，若 P(AB)_，则称事件，则称事件A 与事件与事件 B 相互独立相互独立.精品文档4.4.离散型随机变量的分布列离散型随机变量的分布列称为离散型随机变量称为离散型随机变量
4、 X 的概率分布列，简称为的概率分布列，简称为 X 的分布列的分布列.有时为了表达简单，也用等式有时为了表达简单，也用等式P(Xxi)pi，i1,2，n表表示示 X 的分布列的分布列.一一般般地地，若若离离散散型型随随机机变变量量X可可能能取取的的不不同同值值为为x1，x2，xi，xn，X取取每每一一个个值值xi(i1,2，n)的的概概率率P(Xxi)pi，则表：，则表：Xx1x2xixnPp1p2pipn精品文档X01P1pp5.5.离散型随机变量分布列的性质离散型随机变量分布列的性质(1)(1)pi0(i1,2，n).(2)p1p2pn1.6.常见的离散型随机变量的分布列常见的离散型随机变
5、量的分布列(1)两点分布：两点分布：如果随机变量如果随机变量 X 的分布列为：的分布列为：其中其中 0 0p35，所以，所以2013 年该居民区年该居民区PM2.5 年平均浓度不年平均浓度不符合环境空气质量标准，符合环境空气质量标准，故该居民区的环境需要改进故该居民区的环境需要改进.(3)记事件记事件 A 表示表示“一天一天 PM2.5 的的 24 小时平均浓度符合环小时平均浓度符合环精品文档精品文档【规律方法】【规律方法】(1)判断一个随机变量是否服从二项分布，关判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否必居其键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件
6、发生与否必居其一；二是重复性，即试验是否独立重复进行了一；二是重复性，即试验是否独立重复进行了 n 次次.(2)(2)二项分布满足的条件：二项分布满足的条件：每次试验中，事件发生的概率是相同的；每次试验中，事件发生的概率是相同的；各次试验中的事件是相互独立的；各次试验中的事件是相互独立的；每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生；每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生；随机变量是这随机变量是这 n 次独立重复试验中事件发生的次数次独立重复试验中事件发生的次数.精品文档【互动探究】【互动探究】3.一袋子中有大小相同的一袋子中有大小相同的 2 个红球和个红球和 3 个黑球，从袋子里个
7、黑球，从袋子里随机取球，取到每个球的可能性是相同的，设取到随机取球，取到每个球的可能性是相同的，设取到 1 个红球得个红球得2 分，取到分，取到 1 个黑球得个黑球得 1 分分.(1)(1)若从袋子里一次随机取出若从袋子里一次随机取出 3 3 个球，求得个球，求得 4 4 分的概率；分的概率；(2)若从袋子里每次取出若从袋子里每次取出 1 个球，看清颜色后放回，连续取个球，看清颜色后放回，连续取3 3 次，求得分次，求得分的概率分布列的概率分布列.精品文档精品文档精品文档思想与方法思想与方法分类讨论思想与离散型随机变量的结合分类讨论思想与离散型随机变量的结合例题：例题：(2014 年福建年福建
8、)为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对的方式对 1000 位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有 4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出个标有面值的球的袋中一次性随机摸出 2 个球，球上所标的面个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的值之和为该顾客所获的奖励额奖励额.(1)(1)若袋中所装的若袋中所装的 4 4 个球中有个球中有 1 1 个所标的面值为个所标的面值为 50 50 元，其元，其余余 3 3 个均为个均为 10 10 元，求：元，求：i)i)顾客所获的奖励额为顾客所获的奖励额为 60 60 元的概率；元的概率
9、；ii)ii)顾客所获的奖励额的分布列及数学期望顾客所获的奖励额的分布列及数学期望. .精品文档(2)商场对奖励总额的预算是商场对奖励总额的预算是 60 000 元，并规定袋中的元，并规定袋中的 4 个个球只能由标有面值为球只能由标有面值为 10 元和元和 50 元的两种球组成，或标有面值元的两种球组成，或标有面值为为 20 元和元和 40 元的两种球组成元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的中的 4 个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由个球的面
10、值给出一个合适的设计，并说明理由.精品文档X2060P0.50.5ii)ii)依题意，得依题意，得X 的所有可能取值的所有可能取值20,60.即即 X 的分的分布列为：布列为：所以顾客所获的奖励额的期望为所以顾客所获的奖励额的期望为 E(X)200.5600.540.精品文档(2)(2)根根据据商商场场的的预预算算，每每个个顾顾客客的的平平均均奖奖励励额额为为6060元元. .所所以，先寻找期望为以，先寻找期望为6060元的可能方案元的可能方案. .对对 于于 面面 值值 由由 10元元 和和 50元元 组组 成成 的的 情情 况况 ， 如如 果果 选选 择择(10,10,10,50)的的方方
11、案案，因因为为60元元是是面面值值之之和和的的最最大大值值，所所以以期期望望不不可可能能为为60元元；如如果果选选择择(50,50,50,10)的的方方案案，因因为为60元元是是面面值值之之和和的的最最小小值值，所所以以期期望望也也不不可可能能为为60元元，因因此此可可能能的的方案是方案是(10,10,50,50)，记为方案，记为方案1；对对于于面面值值由由20元元和和40元元组组成成的的情情况况，同同理理可可排排除除(20,20,20,40)和和 (40,40,40,20)的的 方方 案案 ， 所所 以以 可可 能能 的的 方方 案案 是是(20,20,40,40)，记为方案，记为方案2.精
12、品文档以下是对两个方案的分析：以下是对两个方案的分析：对于方案对于方案 1，即方案，即方案(10,10,50,50)，设顾客所获的奖励额为，设顾客所获的奖励额为X1，则，则 X1 的分布列为的分布列为精品文档对于方案对于方案2，即方案，即方案(20,20,40,40)，设顾客所获的奖励额，设顾客所获的奖励额为为X2，则，则 X2 的分布列为：的分布列为：由于两种方案的奖励额的期望都符合要求，但方案由于两种方案的奖励额的期望都符合要求，但方案 2 奖励奖励额的方差比方案额的方差比方案 1 的小，所以应该选择方案的小，所以应该选择方案 2.精品文档【规律方法】【规律方法】本题主要考查相互独立事件及互斥事件概率本题主要考查相互独立事件及互斥事件概率的计算，考查分类讨论思想以及运用数学知识解决问题的能力的计算，考查分类讨论思想以及运用数学知识解决问题的能力.尤其是运用分类讨论思想解决离散型随机变量分布列问题的时尤其是运用分类讨论思想解决离散型随机变量分布列问题的时候，可通过检查最后求出的分布列是否符合分布列的两个性质候，可通过检查最后求出的分布列是否符合分布列的两个性质来检查分类讨论是否有所遗漏或重复来检查分类讨论是否有所遗漏或重复.精品文档
