《D21导数的概念72671》由会员分享，可在线阅读，更多相关《D21导数的概念72671（29页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、一、引例一、引例二、导数的定义二、导数的定义三、导数的几何意义三、导数的几何意义四、函数的可导性与连续性的关系四、函数的可导性与连续性的关系五、单侧导数五、单侧导数第一节第一节机动 目录 上页 下页 返回 结束 导数的概念导数的概念 第二章 1一、引例一、引例 1. 曲线的切线斜率曲线的切线斜率曲线在 M 点处的切线割线 M N 的极限位置 M T(当 时)割线 M N 的斜率切线 MT 的斜率机动 目录 上页 下页 返回 结束 22. 变速直线运动的速度变速直线运动的速度设描述质点运动位置的函数为则 到 的平均速度为而在 时刻的瞬时速度为自由落体运动机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返
2、回返回 结束结束 3二、导数的定义二、导数的定义定义定义1 . 设函数在点存在,并称此极限为记作:即则称函数若的某邻域内有定义 , 在点处可导可导, 在点的导数导数. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 4若上述极限不存在 ,在点 不可导. 若也称在若函数在开区间 I 内每点都可导,此时导数值构成的新函数称为导函数.记作:注意注意:就说函数就称函数在 I 内可导. 的导数为无穷大 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 5例例1. 求函数(C 为常数) 的导数. 解解:即例例2. 求函数解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 6说明：说明：对一般幂函数( 为常数) 例如，例如，（以后将证明）机
3、动 目录 上页 下页 返回 结束 7例例3. 求函数的导数. 解解:则即类似可证得机动 目录 上页 下页 返回 结束 8例例4. 求函数的导数. 解解: 即或机动 目录 上页 下页 返回 结束 9原式是否可按下述方法作:例例5. 证明函数在 x = 0 不可导. 证证:不存在 , 例例6. 设存在, 求极限解解: 原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 10三、三、 导数的几何意义导数的几何意义曲线在点的切线斜率为若曲线过上升;若曲线过下降;若切线与 x 轴平行,称为驻点驻点;若切线与 x 轴垂直 .曲线在点处的切线方程切线方程:法线方程法线方程:机动 目录 上页 下页 返回 结束 11四、四
4、、 函数的可导性与连续性的关系函数的可导性与连续性的关系定理定理1.证证: 设在点 x 处可导,存在 , 因此必有其中故所以函数在点 x 连续 .注意注意: 函数在点 x 连续未必可导连续未必可导.反例反例:在 x = 0 处连续 , 但不可导.即机动 目录 上页 下页 返回 结束 12在点的某个右右 邻域内五、五、 单侧导数单侧导数若极限则称此极限值为在 处的右右 导数导数,记作即(左)(左左)例如例如,在 x = 0 处有定义定义2 . 设函数有定义,存在,机动 目录 上页 下页 返回 结束 13定理定理2. 函数在点且存在简写为在点处右右 导数存在定理定理3. 函数在点必 右右 连续.(
5、左左)(左左)若函数与都存在 , 则称在开区间 内可导,在闭区间 上可导.可导的充分必要条件是且机动 目录 上页 下页 返回 结束 14第二节二、反函数的求导法则二、反函数的求导法则 三、复合函数求导法则三、复合函数求导法则 四、初等函数的求导问题四、初等函数的求导问题 一、四则运算求导法则一、四则运算求导法则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数的求导法则 第二章 15一、四则运算求导法则一、四则运算求导法则 定理定理1.的和、 差、 积、 商 (除分母为 0的点外) 都在点 x 可导, 且机动 目录 上页 下页 返回 结束 16自证自证: 推论推论:机动 目录 上页 下页 返回 结束
6、( C为常数 )17例例1. 解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 18例例2. 求证证证: 类似可证:机动 目录 上页 下页 返回 结束 19二、反函数的求导法则二、反函数的求导法则 定理定理2. y 的某邻域内单调可导, 证证: 在 x 处给增量由反函数的单调性知且由反函数的连续性知 因此机动 目录 上页 下页 返回 结束 20例例3. 求反三角函数及指数函数的导数.解解: 1) 设则类似可求得利用, 则机动 目录 上页 下页 返回 结束 212) 设则特别当时,小结小结:机动 目录 上页 下页 返回 结束 22内容小结内容小结1. 导数的实质:3. 导数的几何意义:4. 可导必连续,
7、 但连续不一定可导;5. 判断可导性不连续, 一定不可导.直接用导数定义;看左右导数是否存在且相等.2. 增量比的极限;切线的斜率;机动 目录 上页 下页 返回 结束 6.已学导数公式.7.导数的四则运算法则.8.反函数的求导法则.23思考与练习思考与练习1. 函数 在某点 处的导数区别:是函数 ,是数值;联系:注意注意:有什么区别与联系 ?？与导函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 242. 设存在 , 则3. 已知则机动 目录 上页 下页 返回 结束 254. 设, 问 a 取何值时,在都存在 , 并求出解解:故时此时在都存在, 显然该函数在 x = 0 连续 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 26备用题备用题 解解: 因为1. 设存在, 且求所以机动 目录 上页 下页 返回 结束 27在 处连续, 且存在， 证明:在处可导.证证：因为存在， 则有又在处连续,所以即在处可导.2. 设故机动 目录 上页 下页 返回 结束 28作业：P46 2. 3.（2）备用题备用题 解解: 3. 设求机动 目录 上页 下页 返回 结束 29
