第二章 几何证明§2.3 几个著名的几何定理 在几何学的发展历史中，许多经久不衰的平面几何名题推动着几何学的发展，乃至整个数学的发展，它们在解决相关问题时有着很大的作用，尤其在思想方法上作用. 1. 梅涅劳斯梅涅劳斯(Menelaus)定理定理 直线l分别交⊿ABC的三边BC、CA 、AB (或其延长线) 于X、Y、Z, 如图 . 求证： [证法1] 注意到3个比例式对应的线段. 为此过点B作l的平行线交AC的延长线于D.BZYXCAlD 于是，利用平行线产生的比例线段进行替换即可得证. 注意：也可过点C作直线l的平行线. BZYXCAl [证法2] (利用面积法证，留作课后研究) 说明：(1) 结论中的线段若换成有向线段则等式右边为－1； (2) 该定理的逆定理也成立，称为梅涅劳斯逆定理. 其证明留作课后研究； (3) 该定理及其逆定理合称为“梅氏准则”： 在⊿ABC中，设X, Y, Z分别位于BC, CA, AB或其延长线上，则X, Y, Z共线的充要条件是 (4) 利用梅氏准则解决有些问题时思路可变得相当简捷，其逆定理常用于证明三点共线； (5) 梅涅劳斯定理还可以推广到平面凸四边形、四面体乃至n维欧式空间中； (6) 梅氏准则还有对应的角元形式. BAEZDYXCF●●● 例1 设四边形ABCD两双对边相交于E、F，则AC、BD、EF的中点X、Y、Z共线.（牛顿线）LNM [证明] 利用梅氏准则.没有直接符合梅氏准则的相关条件, 故需构造相关图形. 注意到题目中的中点较多, 因此如图取中点. 例2 设两个三角形ABC和 彼此对应, 使得对应点的连线 共点, 那么对应边的交点共线. (代沙格Desargues定理)NMCBLOA [证明] 应用梅氏准则. 例3 如图, ⊙ 和⊿ABC的三边所在的3条直线都相切, E, F, G, H为切点, 直线EG与FH交于点P.求证：PA⊥BC.PHGFECBA·········· [证明] 过A作AD⊥BC于D, 延长DA交HF于D 对⊿ABD及截线FP 应用梅氏定理, 有 由BF=BH,有又 , A , , 三点共线, 连 则由有⊿AG ∽⊿AH , 即 PHGFECBA··········D故 又CE=CG, 则 对⊿CAD应用梅氏逆定理, 知 , G , E三点共线,即 为直线EG与FH的交点. 即点 与点P重合. 亦即PA⊥BC. 例4 在直角梯形ABCD中, 以垂直的一腰AB为直径之半圆切另一腰于E, 自E作EF⊥AB于F, 连结AC交EF于M. 求证AC平分EF.EADCBMF [证明] 利用梅氏准则.S 延长两腰,设它们相交于S,则在⊿SEF, 因A, C, M共线, 同时注意到DE=AD, EC=BD,可得则有及AD∥BC 2. 两条著名的线两条著名的线 (1) 欧拉(Euler)线 在任一三角形中，外心、垂心和重心共线.●●●DGHOCBA [证法1] 连接O, H容易证明OH与AD的交点就是重心G.(后略)12 [证法2] 运用梅氏准则，连接OC分别交AD、AH于 . 由 可得 再分别计算所需的各项比.(略) (2) 西摩松(Simson)线 三角形外接圆上任一点向三边作垂线，则三垂点共线.(其逆亦真)PCBAZYX [证法1] 利用邻补角(如图). [证法2] 利用梅氏准则 例5 设⊿ABC的高线AD, BE, CF, 其中D, E, F为垂足, 从点D作AB, BE, CF, AC的垂线, 垂足分别为P, Q, R, S. 则P, Q, R, S共线.····QPFEDCBAHSR· [证明] 注意到题目中有较多共圆关系, 考察是否可以利用西摩松定理. 例6 如图, 延长凸四边形ABCD的对边AB与DC,AD与BC分别相交于E, F. 求证：⊿BCE, ⊿CDF,⊿ADE, ⊿ABF的四个外接圆共点.MFEDCBA [证明] 设⊿BCE与⊿CDF的两个外接圆交于C, M点. 设点M在直线BE, EC, BC上的射影分别为P, Q, R,则由西摩松定理, 知P, Q, R三点共线.·PQRS 同理, M点在直线DC, CF, DF的射影Q, R, S三点也共线, 故P, Q, R, S四点共线. 在⊿ADE中, P在直线 AE上, Q在直线DE上, S在直线AD上,且P,Q,S共线, 则由西摩松定理的逆定理知M在⊿ADE的外接圆上. 同理M也在⊿ABF 的外接圆上. 3. 塞瓦塞瓦(Cera)定理定理 (准则准则) 在⊿ABC中, 设 X, Y, Z 依次在三边 BC, CA,AB或其延长线上，则 AX, BY, CZ 共点或平行的充要条件是PZYXBCAZYXCBA PZYXBCAZYXCBA [证法1] 必要性：(1)平行情况易证；(2)共点情况可以用梅涅劳斯定理证明. 充分性：类似梅涅劳斯定理充分性的证明. [证法2] 可利用面积法证. 例7 三角形的三条角平分线共点.IFEDCBA [证明] 可利用塞瓦(Cera)定理 . 例8 在四边形ABCD中, 两组对边延长后的交点为E, F, 且EF∥BD, 延长AC交EF于G.求证：EG＝GF.HGFEDCBA [证法1] 可如图引辅助线证. [证法2] 若可利用塞瓦定理 来证, 则不用作辅助线且简捷. 4.托勒密托勒密(Ptolemy)定理定理 (准则准则) 圆内接四边形两组对边乘积之和等于对角线乘积.EDCBA [分析] 作∠1＝∠2, 则⊿ABE∽⊿CAD, 从而可证⊿ABC∽⊿AED.··xy12 注：注：(1) 其逆亦真, 称为托勒密逆定理； (2) 对于任意凸四边形ABCD均有：AB·CD+BC·AD≥AC·BD, 当且仅当ABCD时圆内接四边形时取等号. 例10 在⊿ABC中, AB>AC, 点O是外心,两条高BE,CF交于H点，点M, N分别段BH, HF上, 且满足BM=CN. 求证： 的充分必要条件是∠A=60°. [证明] ····AMNHOFECB连OB、OC，则∠BOC=2∠A，∠BHC=180°－∠HBC－∠HCB=∠B+∠C=180 － ∠A又OB=OC=R(R为外接圆半径) .MH+NH=(BH-BM)+(CN-CH)=BH-CH . ····AMNHOFECB 例11过圆外一点P作圆O的两条切线和割线，切点为A、B, 所作割线交圆于C、D两点．C在P, D之间．在弦CD上取一点Q，使得∠DAQ=∠PBC．求证：∠DBQ=∠PAC．COAPBDQ易知△ADQ∽△ABC BC•AD=AB•DQ……①分析：由切割线关系知：△PCA∽△PAD，△PCB∽△PBD，从而有 ,由于PA=PB 即 AC·BD=BC·AD 由①有 AC·BD=AB•DQ……② COAPBDQ 由圆内接四边形的托勒玫定理，有： AC·BD + BC·AD = AB·CD 再根据①、②得：2AB•DQ=AB·CD 即 CQ=DQ……③ 由①、③得： 又 ∠BCQ=∠BAD △CBQ∽△ABD ∠ABD=∠CBQ ∠DBQ=∠ABC=∠PAC ［证毕］ 例12 证明：西摩松定理与托勒枚定理等价.证明证明（1）由西摩松定理证明托勒枚定理如图，由西摩松定理得：ZY+YX=ZX ①由A、Z、Y、P共园、且AP是该园的直径及正弦定理：ZY=AP·sin∠ZPY=AP·sin∠ZAY ,sin∠ZAY= sin∠BAC=·····OAZYXPCB ·····OAZYXPCB将以上三式代入①式得：AP·BC+ AB·PC= AC·BP .(2)由托勒枚定理证西摩松定理(略). 例13 ⊙O是⊿ABC的外接圆，P是内心，射线AP交⊙O于D. 求证AB、BC、CA成等差数列的充要条件是 5. 斯特瓦尔特斯特瓦尔特(Stewart)定理定理 设B,P,C依次分别为从A点引出的三条射线AB, AP, AC上的点, B, P, C共线的充要条件是PCBA [证明] 分别对⊿ABP和⊿APC应用余弦定理, 易证. 6. 张角定理定理张角定理定理 设B, P, C依次分别是从点A引出的三条射线AB, AP, AC上的三点, 线段BP, PC对点A的张角分别是 且 , 则B, P, C共线的充分必要条件是PCBA 7. 密克密克(Auguste Miquel )定理定理 在三角形的三边(所在直线)上各取一点,过过一个顶点及两邻边所取点作圆, 则所作三圆交于一点.ZYXCBAO 例14 四条直线相交成四个三角形, 证明这四个三角形的外接圆共点. 8. 九点圆定理九点圆定理 任意三角形三条高的垂足, 三边的中点及垂心与顶点的连线的中点, 这九点共圆.··········LKIHGFEDCBAJ 9. 蝴蝶定理蝴蝶定理·MFEDCBAQP 设AB是⊙O的弦, M 是AB的中点, 过M作任意二弦CD, EF, 记P, Q依次为与CF, ED的交点. 则 PM=PQ.·OF`11`212`345证法一：利用对称造全等形. ·MFEDCBAQP证法二： 利用相似三角形的比例关系，再将比例转化用面积比来转化. ·MFEDCBAQP(合比、分比) ·MFEDCBAQP证法三： 。