抛物线及其标准方程

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1、复习回顾：复习回顾： 我们知道我们知道,椭圆、双曲线的有共同的几何特征：椭圆、双曲线的有共同的几何特征： 都可以看作是都可以看作是, ,在平面内与一个在平面内与一个定点定点的距离和一条的距离和一条定直线定直线的距离的比是的距离的比是常数常数e的点的轨迹的点的轨迹. .MFl0e 1(2) 当当e1时，是双曲线时，是双曲线;(1)当当0e1时时,是椭圆是椭圆;(其中定点不在定直线上其中定点不在定直线上)e1那么那么,当当e e=1=1时时，它又是什么曲线它又是什么曲线 ？FMl2021/7/11问题探究：问题探究：当当e=1时，即时，即|MF|=|MH| ，点，点M的轨迹是什么？的轨迹是什么？探

2、探究究？ 可以发现可以发现, ,点点M随着随着H H运动的过程中运动的过程中, ,始终有始终有| |MF|=|=|MH|,|,即点即点M与点与点F和定直线和定直线l的距离相等的距离相等. .点点M生成的轨迹是曲线生成的轨迹是曲线C的形状的形状.( (如图如图) ) 我们把这样的一条曲线叫做我们把这样的一条曲线叫做抛物线抛物线. .MFle=1几何画板观察几何画板观察2021/7/122021/7/132.4.1抛物线及其标准方程抛物线及其标准方程2021/7/14MFle=1 在平面内在平面内,与一个定点与一个定点F和一条定直线和一条定直线l ( (不在直线上不在直线上）的的距离相等距离相等的

3、点的轨迹叫的点的轨迹叫抛抛物线物线.点点F叫抛物线的叫抛物线的焦点焦点,直线直线l 叫抛物线的叫抛物线的准线准线d 为为 M 到到 l 的距离的距离准线准线焦焦点点d一、抛物线的定义一、抛物线的定义:2021/7/15MFle=1二、标准方程的推导二、标准方程的推导 思考思考：抛物线是抛物线是轴对称图形吗轴对称图形吗？怎怎样建立坐标系样建立坐标系,才能才能使焦点坐标和准线使焦点坐标和准线方程更简捷方程更简捷?2021/7/161.1.建系建系2.2.设点设点3.3.列式列式4.4.化简化简l解：以过解：以过F且垂直于且垂直于 l 的直线为的直线为x轴轴, ,垂足为垂足为K. .以以F, ,K的

4、中点的中点O O为为坐标原点建立直角坐标系坐标原点建立直角坐标系xoy.两边平方两边平方, ,整理得整理得xKyoM(x,y)F依题意得依题意得5.5.检验检验这就是所求的轨迹方程这就是所求的轨迹方程. .y如图，若以准线所在直线为如图，若以准线所在直线为y y轴，轴， 则则焦点焦点F(P,0),F(P,0),准线准线L:x=0L:x=0 由抛物线的定义，可导出由抛物线的定义，可导出抛物线方程为抛物线方程为y2 = 2p(x- )(p0）p22021/7/17三、标准方程三、标准方程 把方程把方程 y2 = 2 2px (p0)叫做抛物线的叫做抛物线的标准方标准方程程.其中其中 p 为正常数为

5、正常数,表示焦点在表示焦点在 x 轴正半轴上轴正半轴上.且且 p的几何意义是的几何意义是: :右焦点是：右焦点是：左准线方程为左准线方程为: : 一一条条抛抛物物线线，由由于于它它在在坐坐标标平平面面内内的的位位置置不不同同，方方程程也也不不同同，所所以以抛抛物物线线的的标标准方程有四种形式准方程有四种形式.lxKyoM(x,y)F焦焦 点点 到到 准准 线线 的的 距距 离离2021/7/18yxoyxoyxoyxo 图图 形形 焦焦 点点 准准 线线 标准方程标准方程第第一一: :一一次次项项的的变变量量为为x( (或或y),),则则x轴轴( (或或y轴轴) )为为抛抛物物线线的的对对称称

6、轴轴, ,焦焦点点就就在在对对称称轴轴上上. .第第二二: :一一次次项项的的系系数数的的正正负负决定了开口方向决定了开口方向. . 不容易错的最好方法是不容易错的最好方法是看看看看x(或或y)的取值范围的取值范围即：焦点与一次项变量相即：焦点与一次项变量相即：焦点与一次项变量相即：焦点与一次项变量相同；正负决定开口方向！同；正负决定开口方向！同；正负决定开口方向！同；正负决定开口方向！ 2021/7/19例例1 1）抛物线的标准方程是）抛物线的标准方程是y2 = 6x，求焦点和准线方程；，求焦点和准线方程；2）抛物线的方程是）抛物线的方程是y = 6x2,求焦点坐标和准线方程；求焦点坐标和准

7、线方程；3）抛物线的焦点坐标是）抛物线的焦点坐标是F（0，-2）,求它的标准方程。求它的标准方程。解解:因焦点在因焦点在y轴的负半轴上轴的负半轴上,且且p=4,故其标准故其标准方程为方程为:x = - 8y232解：因为，故焦点坐标为（解：因为，故焦点坐标为（,）32准线方程为准线方程为x=- .解解:方程可化为方程可化为: 故焦点坐标故焦点坐标为为 ,准线方程为准线方程为 2021/7/110焦点坐标焦点坐标准线方程准线方程（1）（2）（3）（4）（5，0）x= -5（0，）18y= - 188x= 5（- ，0）58（0，-2）y=2练习练习练习练习1求下列抛物线的焦点和准线方程求下列抛物

8、线的焦点和准线方程（1）y2 = 20x （2）y=2x2（3）2y2 +5x =0 （4）x2 +8y =0注意：求抛物线的焦点注意：求抛物线的焦点一定要先把抛物线化为一定要先把抛物线化为标准形式标准形式2021/7/111练习练习练习练习2抛物线的顶点是坐标原点，抛物线的顶点是坐标原点，根据下列条件，分根据下列条件，分别写出抛物线的标准方程：别写出抛物线的标准方程：（1）焦点是）焦点是F（3，0）；）；（2）准线方程是）准线方程是x = ；（3）焦点到准线的距离是）焦点到准线的距离是2。y2 =12xy2 =xy2 =4x、 y2 = -4x、x2 =4y 或或 x2 = -4y反思：反思

9、：已知抛物线的标准方已知抛物线的标准方程程 求其焦点和准求其焦点和准线方程线方程先定位，后定量先定位，后定量2021/7/112AOyx解解:(1)当焦点在当焦点在 y 轴正半轴上时，轴正半轴上时，把把A(- -3,2)代入代入x2 =2py，得，得p= (2)当焦点在当焦点在 x 轴负半轴上时轴负半轴上时,把把A(- -3,2)代入代入y2 = - -2px，得，得p= 抛物线标准方程为抛物线标准方程为x2 = y 或或 y2 = x 。练习练习练习练习3抛物线经过点抛物线经过点P(4,P(4,2)2)，求抛物线的标准方程。，求抛物线的标准方程。 提示：注意到提示：注意到P为第四象限的点，所

10、以可以设抛物为第四象限的点，所以可以设抛物线的标准方程为线的标准方程为y2=2px或或x2=-2py例例2.求求顶点是坐标原点顶点是坐标原点,且且过过A(- -3,2)的抛物线的标准方程的抛物线的标准方程.2021/7/1134a1焦点坐标是（焦点坐标是（ ，0），准线方程是：），准线方程是： x=4a1例例3已知抛物线方程为已知抛物线方程为x=ay2（a0)，讨论抛物线的开口方，讨论抛物线的开口方向、焦点坐标和准线方程？向、焦点坐标和准线方程？解：抛物线的方程化为：解：抛物线的方程化为：y2= x1a即2p=1 a当当a0时时, ,抛物线的开口向右抛物线的开口向右p2=14a2021/7/1

11、14 思考思考: :M是抛物线是抛物线y2 = 2px（p0）上一点，若点）上一点，若点M 的横的横 坐标为坐标为x0，则，则x0 + 2pOyxFM这就是抛这就是抛物线的物线的焦焦半径半径公式公式! !yxoFMyxoFMyxoFMx0 ( )2p2021/7/115例例4抛物线的焦点在抛物线的焦点在 x 轴上，抛物线上的横坐标为轴上，抛物线上的横坐标为3 3的点的点M到焦点的距离等于到焦点的距离等于6 6，求抛物线的标准方程，求抛物线的标准方程. .y2=2px(p0)由抛物线的定义知由抛物线的定义知3-(- )=6,3-(- )=6,即即p=6.=6.数形结合数形结合, ,用定义转化条件

12、用定义转化条件, ,解解: :因为是焦点在因为是焦点在 x 轴上且过轴上且过M点的抛物线点的抛物线, ,所以设标准方程为所以设标准方程为所求抛物线标准方程为所求抛物线标准方程为y2 2 =12=12x变式：变式：抛物线的焦点在抛物线的焦点在 x 轴上，抛物线上的点轴上，抛物线上的点M(3,(3,m) )到焦点的距离等于到焦点的距离等于6 6，求抛物线的标准方程，求抛物线的标准方程. .OyxFMx0 ( )2p2021/7/116过抛物线的焦点过抛物线的焦点F作作x轴的垂线交抛物线与轴的垂线交抛物线与、两点，且。、两点，且。34页作业页作业92021/7/117变式变式2平面上到定点平面上到定

13、点和到定直和到定直线线距离相等的点的距离相等的点的轨轨迹迹为为( )( )(A)(A)直直线线 (B) (B)抛物抛物线线 (C) (C)双曲双曲线线 (D) (D)椭圆椭圆变式变式3点点M与点与点F(2，0)的距离比的距离比它到直线它到直线l:x+4=0的距离小的距离小2, 求求点点M的轨迹方程的轨迹方程?例例5平面上到定点平面上到定点和到定直和到定直线线距离相等的点的距离相等的点的轨轨迹迹为为( )( )(A)(A)直直线线 (B) (B)抛物抛物线线 (C) (C)双曲双曲线线 (D) (D)椭圆椭圆变式变式1平面上到定点平面上到定点和到定直和到定直线线距离相等的点的距离相等的点的轨轨迹

14、迹为为( )( )(A)(A)直直线线 (B) (B)抛物抛物线线 (C) (C)双曲双曲线线 (D) (D)椭圆椭圆OyxFM35页作业页作业112021/7/118第第 2 课课 时时2021/7/119准线方程准线方程焦点坐标焦点坐标标准方程标准方程焦点位置焦点位置 图图 形形不同位置的抛物线不同位置的抛物线 x轴的轴的正方向正方向 x轴的轴的负方向负方向 y轴的轴的正方向正方向 y轴的轴的负方向负方向y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2pyF(-yxoyxoyxoyxo2021/7/120OyxFMyxoFMyxoFMyxoFMx0 ( )2p抛物线的抛物线的焦半径焦半径公

15、式公式2021/7/121例例1抛物线的焦点在抛物线的焦点在x 轴上，抛物线上的横坐标为轴上，抛物线上的横坐标为-3-3的点的点M到焦点的距离等于到焦点的距离等于5 5，求抛物线的标准方程，求抛物线的标准方程. .y2=-8x变式：变式：抛物线的焦点在抛物线的焦点在x 轴上，抛物线上的点轴上，抛物线上的点M(-(-3,3,m) )到焦点的距离等于到焦点的距离等于5 5，求抛物线的标准方程，求抛物线的标准方程，并求并求m的值的值. .OyxFM x0 2p变式：变式：在抛物线在抛物线y2=-8x上上，到，到焦点的距离等于焦点的距离等于5 5的点的坐标的点的坐标. .35页作业页作业102021/

16、7/1222021/7/12336页作业页作业8(改改)35页作业页作业5（改）（改）2021/7/12437页作业页作业7（改）（改）练习练习2021/7/125后后备备练练习习.已已知知抛抛物物线线x2=4y的的焦焦点点F和和点点A(- -1，8)，P为为抛抛物物线线上上一一点点，则则|PA|+|PF|的最小的最小值值是是( )(A)16 (B)6 (C)12 (D)9D2021/7/126第第 3课时课时2021/7/127直线与抛物线位置关系种类直线与抛物线位置关系种类xyO1、相离、相离:2、相切、相切:3、相交、相交:（一个交点，两个交点一个交点，两个交点）（一个交点一个交点）（没

17、有交点没有交点）2021/7/128(0,1)2021/7/129判断直线是否与抛物线的对称轴平行判断直线是否与抛物线的对称轴平行不平行不平行直线与抛物线直线与抛物线相交相交(一个交点一个交点)平行平行 计计 算算 判判 别别 式式0=00)的的焦焦点点的的直直线线交交抛抛物物线线于于A,B两两点则点则|AB|=问题（问题（3）能否把能否把例例（2）推广到一般性的命题呢？推广到一般性的命题呢？ 斜率为斜率为k的直线经过抛物线的直线经过抛物线 (p0)的焦点，的焦点，与抛物线相交于与抛物线相交于A，B，求线段，求线段AB的长。（用的长。（用k,p表示）表示）解：设直线解：设直线AB的方程为的方程

18、为 x1+x2+p|AB|= 即即:( )y=2px 消消 y 得得: 由由2021/7/140斜率为斜率为k的直线经过抛物线的直线经过抛物线 (p0)的焦点，的焦点，与抛物线相交于与抛物线相交于A，B，求线段，求线段AB的长。（用的长。（用k,p表示）表示）解：解： 设直线设直线AB的方程的方程 为为 ( ) y=2px 消消 y 得得: 即即: |AB|= 由此可得由此可得, 即即通径通径. 问题问题(4):把上题中的斜率把上题中的斜率k换成直线的倾斜角换成直线的倾斜角 呢呢?(0 0)的焦点，的焦点，与抛物线相交于与抛物线相交于A，B，求线段，求线段AB的长。（用的长。（用k,p表示）表

19、示）解：解： 设直线设直线AB的方程的方程 为为 ( ) y=2px 消消 y 得得: 即即: 命题:如果过抛物线 (p0)的焦点的一条直线和 此抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1x2=p2/4, y1y2= -p22021/7/144第第5课时课时2021/7/145xy问题问题(6):过抛物线过抛物线 (p0) 焦点的一条直线与它相焦点的一条直线与它相交于交于A,B两点两点,经过经过A和抛物线顶点的直线交准线于点和抛物线顶点的直线交准线于点C (2001高考题作业本页第题高考题作业本页第题)设抛物线设抛物线 (p0)的焦点的焦点F, 经过经过F 的直线交抛物线的直线交抛

20、物线A,B两点两点,点点C在抛在抛物线的准线上物线的准线上,且且BCx轴轴,证明证明:AC经过原点经过原点O. 那么那么BC与抛物线的对称轴有什么关系呢与抛物线的对称轴有什么关系呢?(证证KOC=KOA)BC平行于对称轴平行于对称轴.( 的结论略证的结论略证) 当当 时时 (x2,y2)(x1,y1)则直线则直线OA的方程的方程证明证明:设设A ( ),B( ),C ( )2021/7/146问题问题(6): 有什么几何意义呢有什么几何意义呢? (x1,y1)(x2,y2)xyFBA结论结论:Q(2)以以Q为圆心为圆心,以以AB为为 直径的圆切直径的圆切AB 于于F点点. AQA与与AQF全等

21、全等2021/7/147问题问题(6): 有什么几何意义呢有什么几何意义呢? (x1,y1)(x2,y2)xyFBA结论结论:Q(2)以以Q为圆心为圆心,以为直以为直 径的圆切径的圆切AB 于于F点点. P(3)以以P为圆心以为圆心以AB为直径的圆切为直径的圆切AB于于Q点点 QP=1/2(AA+BB)AA+BB=AF+BF =ABQP=1/2ABMN2021/7/148问题问题(6): 有什么几何意义呢有什么几何意义呢? (x1,y1)(x2,y2)xyFBA结论结论:Q(2)以以Q为圆心为圆心,以为直以为直 径的圆切径的圆切AB 于于F点点. (3) AQBQ P(4)以以P为圆心以为圆心

22、以AB为为 直径的圆切于直径的圆切于Q点点 2021/7/149问题问题(7):Cyxo2021/7/1502021/7/151 y2 = 8x练习练习:1.已知抛物线的顶点在原点，对称轴为已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，轴，焦点在直线焦点在直线3x-4y-12=0上，那么抛物线通径上，那么抛物线通径长是长是_.2.过抛物线过抛物线 的焦点的焦点,作倾斜角为作倾斜角为的直线的直线,则被抛物线截得的弦长为则被抛物线截得的弦长为_3.垂直于垂直于x轴的直线交抛物线轴的直线交抛物线y2=4x于于A、B,且且|AB|=4 ,求直线求直线AB的方程的方程.X=32021/7/1522021/7/1531、通径：、通径：|PF|=x0+p/2xOyFP通径的长度通径的长度：P越大越大,开口越开阔开口越开阔2、焦半径：、焦半径：3、焦点弦：、焦点弦：焦点弦公式：焦点弦公式：xOyFAB（1）M2P2021/7/1542021/7/155例例2：斜率为：斜率为1的直线经过抛物线的直线经过抛物线 的焦点的焦点,与抛物与抛物 线相交于线相交于A,B,求线段求线段AB的长。的长。 2021/7/1562021/7/157 结束语结束语若有不当之处，请指正，谢谢！若有不当之处，请指正，谢谢！