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1、复杂网络的自相似性研究复杂网络的自相似性研究1414v引言引言v复杂网络模型简介复杂网络模型简介v复杂网络的自相似性研究复杂网络的自相似性研究 v仿真分析仿真分析v结论结论v参考文献参考文献v小世界网络的主要特点：v度分布为指数分布且峰值取平均值，每个节点有大致相同数目的连结数，平均路径短且聚集系数大如图，其中 为平均路径， 为聚集系数。小世界网络介于规则网络和随机网络之间，它实现了从规则到完全随机之间的连续演变。2.2无尺度网络模型无尺度网络模型v1999年，Barabasi和Albert提出了无尺度网络模型，它通过增加新的节点而实现连续增长，同时这些新的节点总是倾向于选择连结已经具有大量连
2、结的节点。BA模型具体描述如下：v增长性：假设网络最初有 个节点。每一次加入一个新节点，每次加入的新节点通过 条新加入的连结边与网络中已有的v 个节点相连。v优先连结：我们假设每个新节点与节点 相连的概率 都依赖于节点 的度 ，并且这个概率服从如下的规则： v v根据上述步骤重复 次后得到一个有 个节点和 条边的网络 。v在1999年.Barabsi,与Albert用数量模拟表明具有k条边的节点的概率服从指数为r=3的幂律分布，如图3：v无尺度网络的主要特点为度分布为幂律分布，极少数节点有大量的连结，而大多数节点只有很少的连结。同时，无尺度还具有某些重要特性，可以承受意外的故障，但对恶意攻击却
3、很脆弱。3.自相似性复杂网络自相似性复杂网络v3.1问题的提出v虽然小世界网络、无尺度网络比较准确地把握了现实世界中网络最基本的特性，但它们仍然存在一定的局限性。在现实世界中一些网络常常并不具有幂律特征，如指数中止、小变量饱和等。为了在微观层面更深入研究复杂网络的拓扑结构和演化规律，研究人员作了大量新的尝试和努力，对网络的演化与建模已经有了长足的进展，演化因素包括各种类型的择优连接、局域世界、适应度4、竞争等。 v尽管众多的网络演化模型已经被用来分析和研究可能潜藏的演化规律，但这些研究仍然忽视了一些重要因素。例如计算机网络节点之间的连接。如果是按照择优连接概率：则新的节点会全部连接到同一个节点
4、上，但现实网络并非如此，而是形成不同的集散节点。这个例子说明了网络节点之间的连接有可能是基于一些相似的性质，节点与节点之间有某种共性才相连。因此建立并研究基于相似性的网络演化模型有利于我们更好地认识现实世界中的复杂网络 。 3.2自相似性网络容量维数自相似性网络容量维数v1975 年美国数学系教授曼德布罗特首次提出了“分形”概念，其原意是“不规则的、非整数的、支离破碎的”物体，我们把具有某种自相似性的图形或集合称为分形。 大自然中存在的不规则的物体，可能存在不同尺度上的相似性，称为自相似性。 v自相似性就是局部与整体相似，局部中又有相似的局部，每一小局部中包含的细节并不比整体所包含的少，不断重
5、复的无穷嵌套，形成了奇妙的分形图案，它不但包括严格的几何相似性，而且包括通过大量的统计而呈现出的自相似性。 v自然界存在大量统计意义下的自相似体，一般并不知道自相似比。 v为了解决这类物体的维数计算，发展了计算容量相似维数方法。常用的容量维数分析方法有变方法、结构函数法，自仿射法以及盒子覆盖算法。其中盒子覆盖算法简单、快速、精确得到广泛应用。本文采用盒子覆盖算法来计算网络容量维数。计算相似比时，采用圆片（或方块）去填充（或覆盖）被测对象，统计覆盖所需的方块数来计算其维数。如此方法计算的维数称为容量维数。 v如果用长度为 尺子去测长度为 的线段，与 之比为 。 值的大小与 长短有关，越小 越大：
6、。 对于 维物体：v v取对数得容量相似维数：v3.3自相似特性测量方法自相似特性测量方法v现实中的网络是动态增长的，为了测量复杂网络的自相似性，以网络的增长为例来测量不同阶段网络的自相似维数。不同阶段的网络为：起初形成的小局部网络，增长稍大些的网络，再到最终形成的网络。测量它们的自相似性维数的具体方法是：v1 在被测网络上覆盖边长为 r 的小正方形，统计一下有多少个正方形中含有被测对象，记入 N(r)中。v2 缩小正方形边长，再统计一下有多少个正方形中含有被测对象，记入N(r)中，以此类推。v3 统计不同的值下记入的值。v分别计算出处于不同阶段网络的自相似容量维数 、 、 与 。如果这几个维
7、数取相同或相近值（容量维数具有最小标度与最大标度），则表明网络具有自相似性。3.3仿真结果与分析仿真结果与分析v本文分别以网络节点n=100、n=500、n=1000与n=1500时形成的网络为例。N=100时形成的网络作为小局部网络，网络增加节点至n=500以及继续增加节点至n=1000时形成的这两类网络为大的局部网络。此后网络继续增长，最终形成的网络节点n=1500。用盒子覆盖方法测量这四类网络在不同值下的，并由实验数据绘出仿真图形（如图4）。vv 根据实验得出的数据用最小二乘法对 v进行线性拟合，得出直线方程的斜率即为相似维数Dc,网络节点n=100时Dc1=1.56, n=500时，D
8、c2=2.98, n=1000时， Dc3=2.85,n=1500时，Dc4=2.41,Dc2、Dc3与Dc4的值取相近的一系列值，表明在现实中不断增长的复杂网络的确具有自相似性。 v网络起初形成时 n=100,而Dc1=1.56，Dc2=2.98,Dc3=2.85与Dc4=2.41有一定的偏差，这也在一定程度上说明了随着网络的增长具有的自相似性越来越明显。图4中的图形均呈幂律分布这也与复杂网络中无尺度特性的度分布为幂律分布相吻合。4结论结论v本文在详细阐述复杂网络的小世界模型与无尺度模型的演化过程之后，提出了复杂网络的自相似性质，引进了分形数学思想，给出了具体的计算相似容量维数方法，并用此方
9、法分析了复杂网络在不同阶段的容量维数，得出维数相同（或相近）具有自相似的特性，又给出了仿真分析结果。v为了更深入地了解各种复杂网络（从生物基因进化网络到像语言学、世界贸易网、社会经济网络等等）中的微观演化过程，用盒子覆盖方法测量复杂网络的自相似性是一种强有力的工具，本文所提出的复杂网络的自相似性还有待更进一步的研究。vAlbert R. & Barabasi, A.-L. Statistical mechanics of complex networks. Rev. Mod. Phys 74,47-97（2002）vPastor-Satorras, R. & Vespignani, A. Ev
10、olution and Structure of the Internet: a Statistical Physics Approach (Cambridge University Press, Cambridge, 2004).参考文献vNewman, M. E. J. The structure and function of complex networks. SIAM Review 45, 167-256（2003）.vChaoming Song, Shlomo Havlin, Hernan A. Makse1.letters to nature,2005.vR. Guimera,
11、L. Danon, A. Daz-Guilera, Self-similar community structure in a network of human interactions, PHYSICAL REVIEW E 68, 065103R! 2003!B3E6I9LcOgRjVmYp!t&w)z1C4G7JaMePhSkWnZr$u*x+A2D5H8KcNfQiUlXo#s%v)y0B3F6I9LdOgSjVmYq!t&w-z1C4G7JbMePhTkWnZr$u(x+A2E5H8KcNfRiUlXp#s%v)y0C3F6IaLdOgSjVnYq!t*w-z1D4G8JbMeQhTk
12、WoZr%u(x+B2E5H9KcOfRiUmXp#s&v)y0C3F7IaLdPgSjVnYq$t*w-A1D4G8JbNeQhTlWoZr%u(y+B2E6H9KcOfRjUmXp!s&v)z0C4F7IaMdPgSkVnZq$t*x-A1D5G8JbNeQiTlWo#r%u(y+B3E6H9LcOfRjUmYp!s&w)z0C4F7JaMdPhSkVnZq$u*x-A2D5G8KbNfQiTlXo#r%v(y0B3E6I9LcOgRjUmYp!t&w)z1C4F7JaMePhSkWnZq$u*x+A2D5H8KbNfQiUlXo#s%v(y0B3F6I9LdOgRjVmYq!t&w-z1
13、C4G7JbMePhTkWnZr$u(x+A2E5H8KcNfQiUlXp#s%v)y0B3F6IaLdOgSjVmYq!t*w-z1D4G7JbMeQhTkWoZr$u(x+B2E5H9KcNfRiUmXp#s&v)y0C3F7IaLdPgSjVnYq!t*w-A1D4G8JbMeQhTlWoZr%u(x+B2E6H9KcOfRiUmXp!s&v)z0C3F7IaMdPgSkVnYq$t*x-A1D5G8JbNeQiTlWo#r%u(y+B2E6H9LcOfRjUmXp!s&w)z0C4F7IaMdPhSkVnZq$t*x-A2D5G8KbiUmXp!s&v)z0C3F7IaMdPgSkVn
14、Yq$t*x-A1D5G8JbNeQhTlWo#r%u(y+B2E6H9LcOfRjUmXp!s&w)z0C4F7IaMdPhSkVnZq$t*x-A2D5G8KbNeQiTlXo#r%v(y+B3E6I9LcOgRjUmYp!s&w)z1C4F7JaMdPhSkWnZq$u*x-A2D5H8KbNfQiTlXo#s%v(y0B3E6I9LdOgRjVmYp!t&w-z1C4G7JaMePhTkWnZr$u*x+A2E5H8KcNfQiUlXo#s%v)y0B3F6I9LdOgSjVmYq!t&w-z1D4G7JbMePhTkWoZr$u(x+A2E5H9KcNfRiUlXp#s&v)y0C3
15、F6IaLdPgSjVnYq!t*w-z1D4G8JbMeQhTkWoZr%u(x+B2E5H9KcOfRiUmXp#s&v)z0C3F7IaLdPgSkVnYq$t*w-A1D5G8JbNeQhTlWo#r%u(y+B2E6H9KcOfRjUmXp!s&v)z0C4F7IaMdPgSkVnZq$t*x-A1D5G8KbNeQiTlWo#r%v(y+B3E6H9LcOgRjUmYp!s&w)z1C4F7JaMdPhSkWnZq$u*x-A2D5G8KbNfQiTlXo#r%v(y0B3E6I9LcOgRjVmYp!t&w)z1C4G7JaMePhSkWnZr$u*x+A2D5H8KcNfQiU
16、lXo#s%v)y0B3F6I9LdOgRjVmYq!t&w-z1C4G7JbMePhTkWnZr$u(x+A2E5H8KcNfRiUlXp#s%v)y0C3F6IaLdOgSjVnYq!t*w-z1D4G8JbMeQhTkWoZr%u(x+B2E5H9KcNfRiUmXp#s&v)y0C3F7IaLdPgSjVnYq$t*w-A1D4G8JbNeQhTlWoZr%u(y+B2E6H9KcOfRjUmXp!s&v1D4G7JbMeQhTkWoZr$u(x+B2E5H9KcNfRiUmXp#s&v)y0C3F7IaLdPgSjVnYq$t*w-A1D4G8JbNeQhTlWoZr%u(y+B2E
17、6H9KcOfRjUmXp!s&v)z0C3F7IaMdPgSkVnYq$t*x-A1D5G8JbNeQiTlWo#r%u(y+B3E6H9LcOfRjUmYp!s&w)z0C4F7JaMdPhSkVnZq$u*x-A2D5G8KbNeQiTlXo#r%v(y+B3E6I9LcOgRjUmYp!t&w)z1C4F7JaMePhSkWnZq$u*x+A2D5H8KbNfQiUlXo#s%v(y0B3F6I9LdOgRjVmYp!t&w-z1C4G7JaMePhTkWnZr$u*x+A2E5H8KcNfQiUlXp#s%v)y0B3F6IaLdOgSjVmYq!t*w-z1D4G7JbMeQhTk
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19、C4G7JaMePhTkWnZr$u*x+A2D5H8KcNfQiUlXo#s%v)y0B3F6I9LdOgSjVmYq!t&w-z1D4G7JbMePhTkWoZr$u(x+A2E5H9KcNfRiUlXp#s&v)y0C3F6IaLdOgSjVnYq!t*w-z1D4G8JbMeQXo#s%v)y0B3F6I9LdOgSjVmYq!t&w-z1D4G7JbMePhTkWoZr$u(x+A2E5H9KcNfRiUlXp#s%v)y0C3F6IaLdOgSjVnYq!t*w-z1D4G8JbMeQhTkWoZr%u(x+B2E5H9KcOfRiUmXp#s&v)z0C3F7IaLdPgSkVn
20、Yq$t*w-A1D4G8JbNeQhTlWoZr%u(y+B2E6H9KcOfRjUmXp!s&v)z0C4F7IaMdPgSkVnZq$t*x-A1D5G8KbNeQiTlWo#r%v(y+B3E6H9LcOfRjUmYp!s&w)z0C4F7JaMdPhSkVnZq$u*x-A2D5G8KbNfQiTlXo#r%v(y0B3E6I9LcOgRjVmYp!t&w)z1C4G7JaMePhSkWnZr$u*x+A2D5H8KbNfQiUlXo#s%v(y0B3F6I9LdOgRjVmYq!t&w-z1C4G7JbMePhTkWnZr$u(x+A2E5H8KcNfRiUlXp#w)z1C4F7
21、JaMePhSkWnZq$u*x+A2D5H8KbNfQiUlXo#s%v(y0B3F6I9LdOgRjVmYq!t&w-z1C4G7JbMePhTkWnZr$u(x+A2E5H8KcNfRiUlXp#s%v)y0B3F6IaLdOgSjVmYq!t*w-z1D4G7JbMeQhTkWoZr$u(x+B2E5H9KcNfRiUmXp#s&v)y0C3F7IaLdPgSjVnYq$t*w-A1D4G8JbMeQhTlWoZr%u(x+B2E6H9KcOfRiUmXp!s&v)z0C3F7IaMdPgSkVnYq$t*x-A1D5G8JbNeQiTlWo#r%u(y+B3E6H9LcOfRjUmY
22、p!s&w)z0C4F7IaMdPhSkVnZq$t*x-A2D5G8KbNeQiTlXo#r%v(y+B3E6I9LcOgRjUmYp!t&w)z1C4F7JaMePhSkWnZq$u*x+A2D5H8KbNfQiTlXo#s%v(y0B3E6I9LdOgRjVmYp!t&w-z1C4G7JaMePhTkWnZr$u*x+A2E5H8KcNfQiUlXp#s%v)y0B3F6IaLdOgSjVmYq!t&w-z1D4G7JbMePhTkWoZr$u(x+A2E5H9KcNfRiUlXp#s&v)y0C3F6IaLdPgSjVnYq!t*w-A1D4G8JbMeQhTlWoZr%u(x+B2E
23、6H9KcOfRYq!t&w-z1D4G7JbMePhTkWoZr$u(x+A2E5H9KcNfRiUlXp#s&v)y0C3F6IaLdPgSjVnYq!t*w-A1D4G8JbMeQhTkWoZr%u(x+B2E5H9KcOfRiUmXp#s&v)z0C3F7IaLdPgSkVnYq$t*w-A1D5G8JbNeQhTlWo#r%u(y+B2E6H9LcOfRjUmXp!s&w)z0C4F7IaMdPgSkVnZq$t*x-A1D5G8KbNeQiTlWo#r%v(y+B3E6H9LcOgRjUmYp!s&w)z1C4F7JaMdPhSkWnZq$u*x-A2D5H8KbNfQiTlXo#
24、r%v(y0B3E6I9LcOgRjVmYp!t&w)z1C4G7JaMePhSkWnZr$u*x+A2D5H8KcNfQiUlXo#s%v)y0B3F6I9LdOgSjVmYq!t&w-z1C4G7JbMePhTkWnZr$u(x+A2E5H8KcNfRiUp!t&w)z1C4G7JaMePhSkWnZr$u*x+A2D5H8KcNfQiUlXo#s%v)y0B3F6I9LdOgRjVmYq!t&w-z1C4G7JbMePhTkWnZr$u(x+A2E5H8KcNfRiUlXp#s%v)y0C3F6IaLdOgSjVnYq!t*w-z1D4G8JbMeQhTkWoZr$u(x+B2E5H9K
25、cNfRiUmXp#s&v)y0C3F7IaLdPgSjVnYq$t*w-A1D4G8JbNeQhTlWoZr%u(y+B2E6H9KcOfRjUmXp!s&v)z0C4F7IaMdPgSkVnYq$t*x-A1D5G8JbNeQiTlWo#r%u(y+B3E6H9LcOfRjUmYp!s&w)z0C4F7JaMdPhSkVnZq$u*x-A2D5G8KbNfQiTlXo#r)z0C3F7IaMdPgSkVnYq$t*x-A1D5G8JbNeQiTlWo#r%u(y+B3E6H9LcOfRjUmYp!s&w)z0C4F7JaMdPhSkVnZq$u*x-A2D5G8KbNeQiTlXo#r%v
26、(y+B3E6I9LcOgRjUmYp!t&w)z1C4F7JaMePhSkWnZq$u*x+A2D5H8KbNfQiUlXo#s%v(y0B3F6I9LdOgRjVmYp!t&w-z1C4G7JaMePhTkWnZr$u*x+A2E5H8KcNfQiUlXp#s%v)y0B3F6IaLdOgSjVmYq!t*w-z1D4G7JbMeQhTkWoZr$u(x+A2E5H9KcNfRiUlXp#s&v)y0C3F6IaLdPgSjVnYq!t*w-A1D4G8JbMeQhTlWoZr%u(x+B2E6H9KcOfRiUmXp!s&v)z0C3F7IaMdPgSkVnYq$t*w-A1D5G8Jb
27、NeQhTls&v)y0C3F6IaLdPgSjVnYq!t*w-A1D4G8JbMeQhTlWoZr%u(x+B2E6H9KcOfRiUmXp#s&v)z0C3F7IaLdPgSkVnYq$t*w-A1D5G8JbNeQhTlWo#r%u(y+B2E6H9LcOfRjUmXp!s&w)z0C4F7IaMdPhSkVnZq$t*x-A2D5G8KbNeQiTlWo#r%v(y+B3E6H9LcOgRjUmYp!s&w)z1C4F7JaMdPhSkWnZq$u*x-A2D5H8KbNfQiTlXo#s%v(y0B3E6I9LdOgRjVmYp!t&w)z1C4G7JaMePhSkWnZr$u*x+A2D5H8KcNfQiUlXo#s%v)y0B3F6I9L结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！34
