例1已知波动方程如下

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1、 例例1 1 已知波动方程如下，求波长、周期和波速已知波动方程如下，求波长、周期和波速 . . y ? (5cm)cos(2.50s )t ? (0.01cm )x.解：解：方法一（方法一（比较系数法比较系数法） -1-1txy ? Acos2 (?)T?把题中波动方程改写成把题中波动方程改写成 比较得比较得 2.50-10.01-1y ? (5cm)cos2(s )t ? (cm )x222T?s? 0.8s2.5?2cm?1? 200cmu? 250cm?s0.01T 已知波动方程如下，求波长、周期和波速已知波动方程如下，求波长、周期和波速 . . -1-1y ? (5cm)cos(2.5

2、0s )t ? (0.01cm )x.解：方法二（解：方法二（由物理量的定义求解由物理量的定义求解 ） 波长波长是指同一时刻是指同一时刻 t，波线上相位差为，波线上相位差为 2的两的两点间的距离点间的距离. (2.50s)t? (0.01 cm )x1?(2.50s)t?(0.01 cm )x2 ? 2周期周期为相位传播一个波长所需的时间为相位传播一个波长所需的时间 -1-1-1-1(2.50s )t1? (0.01 cm )x1 ?(2.50s )t2? (0.01 cm )x2-1-1-1-1x2? x1? 200cmT ? t2? t1? 0.8sx2? x1?1u ? 250cm?st

3、2? t1例例2 2 一平面简谐波沿一平面简谐波沿OxOx 轴正方向传播，已知振轴正方向传播，已知振T ? 2.0s， A ? 1.0m， ? 2.0m， 幅幅 在在 t ? 0时坐标原点处的质点位于平衡位置沿时坐标原点处的质点位于平衡位置沿 Oy Oy 轴正方向运动轴正方向运动 . . 求求 1 1）波动方程）波动方程 解：解： 写出波动方程的标准式写出波动方程的标准式 t ? 0 x ? 0txy ? Acos2(?) ?T?yy ? 0,v ? 0?tO txy ? (1.0m)cos2(?) ?2.0s2.0m2? ?2?Ay?t ? 1.0s波形图波形图. . 2 2）求）求 t ?

4、 1.0s波形方程波形方程: txy ? (1.0m)cos2(?)?2.0s2.0m2?1y ? (1.0m)cos ? (m )x2?1? (1.0m) sin( m)xy / m1.0 o -1.0 2.0 x / m t ? 1.0 s 时刻波形图时刻波形图 x ? 0.5m处质点的振动规律并做图处质点的振动规律并做图 . . 3 3） txy? (1.0m)cos 2(?)?2.0s2.0m2x ? 0.5m处质点的振动方程处质点的振动方程 y ? (1.0m)cos(s )t ? y3 4 O ?1y / m1.0 2 0 -1.0 * 1 2 * 3 * 1.0 4 * 2.0

5、* * t / s1 ?x? 0.5m处质点的振动曲线处质点的振动曲线 u? 20m/s沿直线传播沿直线传播,波线波线 例例3 一平面简谐波以速度一平面简谐波以速度 yA? (3?10 m)cos(4s )t上点上点 A 的简谐运动方程的简谐运动方程 . 8m C B 5m ?2?1uoA 9m D x-11 1）以）以 A A 为坐标原点，写出波动方程为坐标原点，写出波动方程 A? 3?10 m?2? 0? 4?u ? 20m.sx?x?2y? Acos?(t ?)? (3?10m)cos?4(t ?)?20?u? 2? (3 ? 10m ) cos( 4?t ?x)52 2）以）以 B 为

6、坐标原点，写出波动方程为坐标原点，写出波动方程 yA? (3? 10m) cos(4s)t8m 5m ? 2?1uu ? 20m.s-19m A D 法一：法一： 法二：由以法二：由以A A为原点的波动方程：为原点的波动方程： 5xA? xBB B比比A A相位超前相位超前 ? 4?u20? 2B B点振动方程：点振动方程： yB? (3? 10m)cos4 t ? x?2) ? 波动方程波动方程: y ? (3?10m)cos4(t ?20 X=-5m X=-5m x?2y ? (3?10m)cos?4(t ?)?可得可得B B点振动方程点振动方程 C oB x?20?3 3）写出传播方向上

7、点）写出传播方向上点C、点点D 的简谐运动方程的简谐运动方程 8m C ? 25m B 9m D ?1uoA xu ? 20m.s-1xAC1313? 4?点点 C 的相位比点的相位比点 A 超前超前 ?205u13? 2yC? (3? 10m)cos4?t ?5xDA99? 4?点点 D 的相位比点的相位比点 A落后落后 ?205u9? 2yD? (3? 10m)cos4?t ?5yA? (3?10m)cos(4s )t4 4）分别求出）分别求出 BC ，CD 两点间的相位差两点间的相位差 yA? (3? 10m)cos( 4s)t8m C B 5m ? 2?1u9m D ? 4?-1u ?

8、 20m.s? 10moA xC? xBx2?u?12? 2?x21? uT ?8?B?C? 2? 2? ?1.6?10xD? xC22?C?D? 2? 2? 4.4?10例例4 4 一平面简谐波在介质中以速度一平面简谐波在介质中以速度 u = 20 m/s u = 20 m/s，沿，沿x x轴的负向传播。已知轴的负向传播。已知 A A点的振动方程为点的振动方程为y=3cos4y=3cos4? ? t t ，则（则（1 1）以）以A A点为坐标原点求波动方程；（点为坐标原点求波动方程；（ 2 2）以距）以距A A点点5m5m处的处的B B为坐标原点求波动方程。为坐标原点求波动方程。 y y 解

9、：解： 以以A A为坐原点求波动方程为坐原点求波动方程 u xy ? 3cos4?(t ?B 以以B B为坐原点求波动方程为坐原点求波动方程 20)A x x? ?5mB点振动方程：点振动方程： 波动方程：波动方程： yB? 3cos( 4?t ?)xy? 3cos4?(t ?)?20例例5 5 已知已知 t=0 t=0时的波形曲线为时的波形曲线为，波沿，波沿 oxox方向传播，方向传播，经经t=1/2st=1/2s后波形变为曲线后波形变为曲线。已知波的周期。已知波的周期 T1sT1s，试根据图中绘出的条件求出波的表达式，并求试根据图中绘出的条件求出波的表达式，并求 A A点点的振动方程。的振

10、动方程。 y(cm) ? ? 1 0 A A 1 2 3 4 5 6 x(cm) 解：解： 法一：法一： ? 0.04mA ? 0.01mx1? xo0.01?1? 0.02m?s波速：波速： u ?t1 22?0.04?1?sT ? 2s?Tu0.02y(cm) 1 ? ? 0 A A 1 2 3 4 5 6 x(cm) 原点振动方程：原点振动方程： 初始条件：初始条件： yo? Acos(?t ?)? ?0? Acos?2v? ?Asin? 0A ? 0.01m?2?1?s?yo? 0.01cos(?t ?)2y(cm) 1 ? ? 0 A A 1 2 3 4 5 6 x(cm) ?1u?

11、 0.02m?sx?波动方程：波动方程： y ? 0.01cos?(t ?)?0.022A点振动方程：点振动方程： x ? 0.01m0.01?yA? 0.01cos?(t ?)?0.022? 0.01cos?tyo? 0.01cos(?t ?)2?y(cm) 法二：法二： 1 ? ? 0 A A 1 2 3 4 5 6 x(cm) A点振动方程：点振动方程：y A? Acos(?t ?)初始条件：初始条件： A ? Acos? 0?s?1?1u? 0.02 m?sxx?0点振动方程：点振动方程： 点比点比A A点相位超前点相位超前 ? 2?O Ou?2?y0? 0.01cos(?t ?)2x

12、?波动方程：波动方程：y ? 0.01cos?(t ?) ?0.022yA? Acos?t ? 0.01cos?t例例6 6 有一平面简谐波沿有一平面简谐波沿 x x轴方向传播，在距反射面轴方向传播，在距反射面 B B为为L L处的振动规律为处的振动规律为 y =Acos y =Acos ? ? t t，设波速为，设波速为u u ，反，反射时无半波损失，求入射波和反射波的波动方程。射时无半波损失，求入射波和反射波的波动方程。 解：解： 入射波方程：入射波方程： u u xL反射波在反射波在0 0点振动方程：点振动方程：O O 点的位相比点的位相比B B点落后点落后 ?uLLy0? Acos?(

13、t ?)uux2L反射波方程：反射波方程： y ? Acos?(t ?)uo B B点振动方程：点振动方程： LyB? Acos?(t ?)uB L x y ? Acos?(t ?u?u) 例例7 7 证明球面波的振幅与离证明球面波的振幅与离开其波源的距离成反比，并开其波源的距离成反比，并求球面简谐波的波函数求球面简谐波的波函数 . . 证证 介质无吸收，通过两个介质无吸收，通过两个球面的平均能流相等球面的平均能流相等 . . s2s1r1r2w1uS1? w2uS211222222?A1?u4 r1?A2?u4 r2即即 22A1r2A rr0 0?y ?cos?(t ?)A2r1ru式中式

14、中 为离开波源的距离，为离开波源的距离， r ? r0处的振幅处的振幅. A0为为 r例例8 8 如图所示，如图所示，A、B 两点为同一介质中两相干波源两点为同一介质中两相干波源 . .其振幅皆为其振幅皆为5cm，频率皆为，频率皆为100Hz，但当点，但当点 A 为波峰为波峰时，点时，点B 适为波谷适为波谷. .设波速为设波速为10m/s，试写出由，试写出由A、B发发出的两列波传到点出的两列波传到点P 时干涉的结果时干涉的结果. . P 15m A 20m B 解解 BP?15 ? 20 m? 25m2210?m ? 0.10m?100 设设 A 的相位较的相位较 B 超超?A?B?前，则前，

15、则 . u25?15?B?A? 2? ? 2? ?201 ?0.1P点静止点静止 点点P 合振幅合振幅 A? A1? A2? 0BP? AP例例9 9 波源位于同一介质中的波源位于同一介质中的 A A、B B两点，其振幅相同，两点，其振幅相同，频率为频率为100Hz100Hz，B B比比A A位相超前位相超前? ?，A A、B B相距相距30m30m，波速为，波速为400m400m?s s-1-1，试求试求A A、B B连线上因干涉而静止的各点位置。连线上因干涉而静止的各点位置。 r rB B 解：解： ?u? 4mA A左侧左侧 ?2?14?30?16?B B右侧右侧 ?2?rB?rA?B?

16、A?2?30?r rA A X X P P A A 0 0 B B 加加强强 30m 30m ?若若静止静止 ?x?(2k?1 )?x? ?2k?15? x?15k ? 0,1,2,? 7x ? ?14,?12,? ? 2,0,2,? 12,14.取取ABAB连线中点为原点，距原点为连线中点为原点，距原点为 x x (15? x)? (15? x)? 2?xy?例例10 已知驻波方程：已知驻波方程： 2.0cos0.16xcos750t求：（求：（1 1）波幅与波速。（）波幅与波速。（ 2 2）节点间的距离。（）节点间的距离。（ 3 3）t=2.0t=2.0? ?1010-3-3秒时，位于秒时

17、，位于x=5.0cmx=5.0cm处质点的速度。处质点的速度。 2?解：解： 标准方程：标准方程： y ? 2Acosxcost?T2?2A? 2.02? ? 0.162?T ? 750u ?A? 1.0cm? 2?0.16? T ? 2?750? 4.7?10 cm?s3?1?T2?1（2）节点间的距离）节点间的距离 ? 20cm?s20.16? 2-3-3（3 3） t=2.0t=2.0? ?1010 秒时，位于秒时，位于x=5.0cmx=5.0cm处质点的速度处质点的速度 ?2?y? 2Acosxcost?T2?A? 1.0cm? 2?0.16T ? 2?750?yu ? ?2.0? 750cos0.16xsin750 t?t?3? ?2.0? 750cos( 0.16?5.0)sin(750? 2.0?10 )? ?1.04?10 cm?s3?1