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1、数学分析数学分析( (华东师大版大版) )上第二章上第二章2-22-2一、惟一性定理定理 2.2 若若收敛收敛, 则它只有一个极限则它只有一个极限.证证 设设下下面面证证明明对对于于任任何何定数定数若若 a，b 都是都是 an 的极限，则对于任何正数的极限，则对于任何正数 0, ,当当 n N 时时 (1), (2)同时成同时成立立,从而有从而有二、有界性即存在即存在证证对于正数对于正数若令若令则对一切则对一切正整数正整数 n , 都有都有定理定理 2.3 若数列若数列件件. .注注 数列数列是有界的是有界的, 但却不收敛但却不收敛.这就说这就说明有界只是数列收敛的必要条件，而不是充分条明有界
2、只是数列收敛的必要条件，而不是充分条三、保号性定理定理 2.4对对于于任任意意两两个个实实数数 b, c , 证证注注我们可取我们可取这也是为什么称该定理为保号性定理的原因这也是为什么称该定理为保号性定理的原因. , 则存在则存在 N, 当当 n N 时时,例例1 证明证明证证 对任意正数对任意正数 ,所以由所以由 这就证明了这就证明了定理定理 2.4, ,四、保不等式性定理定理 2.5均为收敛数列均为收敛数列, 如果存在正如果存在正证证所以所以是严格不等式是严格不等式.注注 若将定理若将定理 2.5 中的条件中的条件 改为改为这就是说这就是说, 即使条件是严格不等式即使条件是严格不等式, 结
3、论却不一定结论却不一定也只能得到也只能得到例如例如 , 虽然虽然五、迫敛性 (夹逼原理)定理定理 2.6 设数列设数列都以都以 a 为极限为极限,证证 对任意正数对任意正数 所以分所以分这就证得这就证得满足满足: 存在存在则则例例2 求数列求数列的极限的极限.所以由迫敛性，求得所以由迫敛性，求得又因又因解解有有六、四则运算法则定理定理2.7则则(1)(2)当当为常数为常数 c 时时,(3)也都是收敛数列也都是收敛数列, 且有且有所以所以的任意性的任意性, 得到得到证明证明 (2)对于任意对于任意证明证明 (1)的任意性的任意性, 证得证得 证明证明 (3)由由(2), 只只要要证证明明据保号性
4、据保号性, 于是于是又因为又因为即即七、一些例子例例3 用四则运算法则计算用四则运算法则计算(1) 当当 m=k 时时, 有有分别得出分别得出:解解(2) 当当 m N 时时, 有有又因为又因为所以由极限的迫所以由极限的迫敛性敛性, 证得证得例例6 解解所以由极限四则所以由极限四则运算法则运算法则, 得得故得故得例例7 为为 m 个正数个正数, 证明证明证证由由以及极限的迫敛性以及极限的迫敛性, 可得可得定义定义1 1注注定理定理 2.8证证注注例例8 证证 ( (必要性必要性) )例例9解解因此因此, ,1.1.极限的保号性与保不等式性有什么不同？极限的保号性与保不等式性有什么不同？2.2.仿效例题仿效例题5 5的证法的证法, ,证明：证明：复习思考题谢谢！
