特征值特征向量与二次型

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1、数数=线线性性代代特征值、特征向量与二次型特征值、特征向量与二次型 本章将把几何空间本章将把几何空间R3中数量积的概念中数量积的概念推广到向量空间推广到向量空间Rn中，以使中，以使Rn中能有向量中能有向量长度、正交等概念。然后讨论：对一个长度、正交等概念。然后讨论：对一个n阶阶方阵方阵A，如何求出一个可逆的如何求出一个可逆的n阶方阵阶方阵P，使使P-1AP具有尽可能简单的形式，即矩阵的相具有尽可能简单的形式，即矩阵的相似化简问题。最后讨论二次型化为标准形似化简问题。最后讨论二次型化为标准形问题，特别是用正交线性变换将二次型化问题，特别是用正交线性变换将二次型化为标准形的方法，并给出判定二次型正

2、定为标准形的方法，并给出判定二次型正定性的充要条件。性的充要条件。数数=线线性性代代5.1 向量的内积向量的内积一、向量的内积一、向量的内积二、向量组的正交化二、向量组的正交化三、正交矩阵三、正交矩阵数数=线线性性代代定义定义1 1内积内积一、向量的内积数数=线线性性代代数数=线线性性代代定义定义2 2 令令长度长度范数范数数数=线线性性代代数数=线线性性代代数数=线线性性代代二、向量组的正交化二、向量组的正交化定义定义3 3由定义不难看出，零向量与任何同维向量都正交。由定义不难看出，零向量与任何同维向量都正交。定义定义4 4一组两两正交的非零向量组称为正交向量组正交向量组数数=线线性性代代定理定理1 1数数=线线性性代代数数=线线性性代代几何解释几何解释数数=线线性性代代数数=线线性性代代再把它们单位化再把它们单位化,得得数数=线线性性代代定义定义5 5数数=线线性性代代三、正交矩阵三、正交矩阵定义定义6 6数数=线线性性代代数数=线线性性代代数数=线线性性代代1 1将一组基规范正交化的方法：将一组基规范正交化的方法： 先用施密特正交化方法将基正交化，然后再将先用施密特正交化方法将基正交化，然后再将其单位化其单位化2 2 为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：四、小结