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1、第五章第五章 大数定律及中心极限定理大数定律及中心极限定理 概率统计是研究随机变量规律性概率统计是研究随机变量规律性的数学学科，而随机现象的规律性只的数学学科，而随机现象的规律性只有对大量的随机现象的考察中才能显有对大量的随机现象的考察中才能显现出来，研究大量随机现象的统计规现出来，研究大量随机现象的统计规律，常常采用律，常常采用极限定理的形式极限定理的形式去刻画，去刻画，由此导致对极限定理的研究，极限定由此导致对极限定理的研究，极限定理的内容非常广泛，本章只讨论理的内容非常广泛，本章只讨论大数大数定理定理和和中心极限定理中心极限定理。第一部分第一部分 大数定律大数定律一、一、契比雪夫不等式契
2、比雪夫不等式三、基本定理三、基本定理二、典型例题二、典型例题四、小结四、小结一、契比雪夫不等式一、契比雪夫不等式证明证明取连续型随机变量的情况来证明取连续型随机变量的情况来证明. 切比雪夫不等式切比雪夫不等式., )()及及(成立成立不等式不等式则对于任意正数则对于任意正数方差方差具有数学期望具有数学期望设随机变量设随机变量定理定理XDXEX得得契比雪夫不等式的含义契比雪夫不等式的含义契比雪夫不等式契比雪夫不等式用于估计用于估计X落入区间落入区间(E(X)- , E(X)+ )的概率的概率当方差当方差D(X)很小时很小时, X落入区间落入区间(E(X)- , E(X)+ )是大概率事件是大概率
3、事件;X落入区间落入区间(E(X)- , E(X)+ )之外是小概率事件之外是小概率事件., )()及及(成立成立不等式不等式则对于任意正数则对于任意正数方差方差具有数学期望具有数学期望设随机变量设随机变量定理定理XDXEX 例例5-1 设设X是抛掷一枚骰子所出现的点数是抛掷一枚骰子所出现的点数,若给定若给定 =2, 2.5, 实际实际计算计算P|X-E(X)| , 并验证并验证契比雪夫不等式成立契比雪夫不等式成立.解解: X的分布律为的分布律为所以所以故故二、典型例题二、典型例题 例例5-1 设设X是抛掷一枚骰子所出现的点数是抛掷一枚骰子所出现的点数,若给定若给定 =2, 2.5, 实际实际
4、计算计算P|X-E(X)| , 并验证并验证契比雪夫不等式成立契比雪夫不等式成立.|X-7/2|5/2 3/2 1/2 1/2 3/2 5/2 1 2 3 4 5 6X1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6P若若 =2, 则则P|X-E(X)| =P|X-7/2| 2 =1/3 可见契比雪夫不等式成立可见契比雪夫不等式成立 例例5-1 设设X是抛掷一枚骰子所出现的点数是抛掷一枚骰子所出现的点数,若给定若给定 =2, 2.5, 实际实际计算计算P|X-E(X)| , 并验证并验证契比雪夫不等式成立契比雪夫不等式成立.|X-7/2|5/2 3/2 1/2 1/2 3/2 5/2 1 2 3
5、 4 5 6X1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6P若若 =2.5, 则则P|X-E(X)| =P|X-7/2| 2.5 =1/3 可见契比雪夫不等式成立可见契比雪夫不等式成立例例 已知随机变量已知随机变量X的期望的期望E(X)=100,方差方差D(X)=10,估估计计X落在落在80到到120内的概率内的概率. 解解解解例例5-2练习练习1 1 某厂生产的一批产品，一等品率为某厂生产的一批产品，一等品率为15%，现从，现从 中随机的抽取中随机的抽取10000件发往外地，试估计其中一等品的件发往外地，试估计其中一等品的件数与件数与1500件相差不超过件相差不超过100的概率的概率 .练
6、习练习2 2解解练习练习1 某厂生产的一批产品，一等品率为某厂生产的一批产品，一等品率为15%，现从中随机，现从中随机的抽取的抽取10000件发往外地，试估计其中一等品的件数与件发往外地，试估计其中一等品的件数与1500件相差不超过件相差不超过100的概率的概率 .练习练习2 2解解定理定理5-2（贝努利大数定理贝努利大数定理）三、基本定理三、基本定理关于贝努利定理的说明关于贝努利定理的说明: 故而当故而当 n 很大时很大时, 事件发生的频率与概率有较事件发生的频率与概率有较大偏差的可能性很小大偏差的可能性很小. 在实际应用中在实际应用中, 当试验次数当试验次数很大时很大时, 便可以用事件发生
7、的频率来代替事件的概便可以用事件发生的频率来代替事件的概率率.独立同分布随机变量序列独立同分布随机变量序列 设随机变量序列设随机变量序列X1, X2,Xn, 是相互独立的是相互独立的,若对任意的若对任意的n1, X1, X2,Xn是相互独立的是相互独立的, 且所有且所有的变量的变量Xi又具有相同的分布又具有相同的分布,则称则称X1, X2,Xn, 是是独立同分布随机变量序列。独立同分布随机变量序列。定理定理5-3（独立同分布随机变量序列的独立同分布随机变量序列的契比雪夫大数定律契比雪夫大数定律）契比雪夫定理的特殊情况契比雪夫定理的特殊情况表达式的意义表达式的意义证明证明由由契比雪夫不等式契比雪
8、夫不等式可得可得则则关于定理关于定理5-3的说明的说明:（这个接近是概率意义下的接近这个接近是概率意义下的接近）即在定理条件下即在定理条件下, n个随机变量的算术平均个随机变量的算术平均, 当当n无限增加时无限增加时, 几乎变成一个常数几乎变成一个常数.定理定理5-3的另一种叙述的另一种叙述:. , 1 ), 2, 1()(,)(, , , , 1221m mm ms sm m= = = = = = =PnkkkknXXnXkXDXEXXX即即依概率收敛于依概率收敛于则均值则均值和方差：和方差：且具有相同的数学期望且具有相同的数学期望相互独立相互独立设随机变量设随机变量LLL四、小结四、小结两
9、个大数定理两个大数定理契比雪夫不等式契比雪夫不等式贝努利大数定理贝努利大数定理契比雪夫定理的特殊情况契比雪夫定理的特殊情况频率的稳定性是概率定义的客观基础频率的稳定性是概率定义的客观基础, , 而伯而伯努利大数定理以严密的数学形式论证了频率的稳努利大数定理以严密的数学形式论证了频率的稳定性定性. .第二部分第二部分 中心极限定理中心极限定理一、问题的引入一、问题的引入二、基本定理二、基本定理三、小结三、小结 正态分布在概率论与数理统计中占有很重要正态分布在概率论与数理统计中占有很重要的地位，在自然界与工程实践中经常遇到大量的的地位，在自然界与工程实践中经常遇到大量的随机变量都是服从正态分布的随
10、机变量都是服从正态分布的. 在某些条件下，即使原来不服从正态分布的在某些条件下，即使原来不服从正态分布的一些随机变量，它们的和的分布当随机变量的个一些随机变量，它们的和的分布当随机变量的个数无限增加时也趋于正态分布。数无限增加时也趋于正态分布。 在概率论中，把有关在概率论中，把有关论证随机变量和的极限论证随机变量和的极限分布为正态分布的一类定理称为中心极限定理分布为正态分布的一类定理称为中心极限定理。一、问题的引入一、问题的引入二、基本定理二、基本定理定理定理5-4（独立同分布的中心极限定理独立同分布的中心极限定理）定理定理5-45-4表明表明:.,数数标准正态分布的分布函标准正态分布的分布函
11、的分布函数收敛于的分布函数收敛于随机变量序列随机变量序列当当nYn 注：注：1、注：注：2、例例5-3 对敌人的防御地段进行对敌人的防御地段进行100次射击，每次射击的命中目标次射击，每次射击的命中目标的炮弹数是一个随机变量，其数学期望为的炮弹数是一个随机变量，其数学期望为2，均方差为，均方差为1.5，求这，求这100次射击中有次射击中有180颗到颗到220颗炮弹命中目标的概率颗炮弹命中目标的概率.解解设设Xi (i=1,2,100)为第为第i次射击时命中目标的炮弹数，次射击时命中目标的炮弹数，由于由于100次射击时命中目标的炮弹数为次射击时命中目标的炮弹数为则由题意则由题意Xi (i=1,2
12、,100)同分布且相互独立，同分布且相互独立， E(Xi)=2, D(Xi)=1.52则由定理则由定理5-4可知，随机变量可知，随机变量近似服从标准正态分布近似服从标准正态分布则则例例5-4 某种电器元件的寿命服从均值某种电器元件的寿命服从均值100（单位：小时）的指（单位：小时）的指数分布，现随机抽出数分布，现随机抽出16只，设它们的寿命是相互独立的，求这只，设它们的寿命是相互独立的，求这16只元件寿命总和大于只元件寿命总和大于1920小时的概率小时的概率.解解设设Xi (i=1,2,16)为第为第i只电器元件的寿命，只电器元件的寿命，由于由于16只电器元件的寿命总和为只电器元件的寿命总和为
13、则由题意则由题意Xi (i=1,2,100)同分布且相互独立，同分布且相互独立， E(Xi)=100, D(Xi)=1002则由定理则由定理5-4可知，随机变量可知，随机变量近似服从标准正态分布近似服从标准正态分布则则解解由定理由定理5-4, 随机变量随机变量 Z 近似服从正态分布近似服从正态分布 N (0,1) ,练习练习其中其中证明证明 根据第二章第二节可知根据第二章第二节可知定理定理5.5 ( (德莫佛拉普拉斯中心极限定理德莫佛拉普拉斯中心极限定理) )ZnZnZn根据定理根据定理5-4得得定理表明定理表明: 正态分布是二项分布的极限分布正态分布是二项分布的极限分布, 当当n充分充分大时
14、大时, 可以利用该定理来计算二项分布的概率可以利用该定理来计算二项分布的概率.Zn2、在贝努利试验中，若事件、在贝努利试验中，若事件A发生的概率为发生的概率为p.又设又设 为为n次独立重复试验中事件次独立重复试验中事件A发生的频率，则当发生的频率，则当n充充分大，分大， 近似服从于正态分布近似服从于正态分布结论：结论：1、在贝努利试验中，若事件、在贝努利试验中，若事件A发生的概率为发生的概率为p.又又设设 为为n次独立重复试验中事件次独立重复试验中事件A发生的频数，发生的频数，则当则当n充分大，充分大， 近似服从于正态分布近似服从于正态分布解解例例5-55-5根据定理5-5，服从标准正态分布解
15、解例例5-6 某单位内部有某单位内部有1000台电话分机，每台分支有台电话分机，每台分支有5%的时间的时间使用外线电话，假定各个分支是否使用外线是相互独立的，使用外线电话，假定各个分支是否使用外线是相互独立的，该单位总支至少需要安装多少条外线，才能以该单位总支至少需要安装多少条外线，才能以95%以上的概以上的概率保证每台分支需要使用外线不被占用？率保证每台分支需要使用外线不被占用？根据题意，N为满足条件的 最小正整数由于故查标准正态分布表得故由此即该单位总支至少需要62条外线，才能以95%以上的概率保证每台分支在使用外线时不被占用。 一船舶在某海区航行一船舶在某海区航行, 已知每遭受一次海浪已
16、知每遭受一次海浪的冲击的冲击, 纵摇角大于纵摇角大于 3 的概率为的概率为1/3, 若船舶遭受若船舶遭受了了90 000次波浪冲击次波浪冲击, 问其中有问其中有29 50030 500次次纵摇角大于纵摇角大于 3 的概率是多少？的概率是多少？练习练习1 1练习练习2 2 某保险公司的老年人寿保险有某保险公司的老年人寿保险有1万人参加万人参加,每每人每年交人每年交200元元. 若老人在该年内死亡若老人在该年内死亡,公司付给家公司付给家属属1万元万元. 设老年人死亡率为设老年人死亡率为0.017,试求保险公司在试求保险公司在一年内的这项保险中亏本的概率一年内的这项保险中亏本的概率.练习练习1 1
17、一船舶在某海区航行一船舶在某海区航行, 已知每遭受一次海浪的冲已知每遭受一次海浪的冲击击, 纵摇角大于纵摇角大于 3 的概率为的概率为1/3, 若船舶遭受了若船舶遭受了90000次次波浪冲击波浪冲击, 问其中有问其中有29 50030 500次纵摇角大于次纵摇角大于 3 的的概率是多少？概率是多少？解解 将船舶每遭受一次海将船舶每遭受一次海浪的冲击看作一次试验浪的冲击看作一次试验,并假设各次试验是独立的并假设各次试验是独立的,在在90000次波浪冲击中纵摇角大于次波浪冲击中纵摇角大于 3 的次数为的次数为 X,则则 X 是一个随机变量是一个随机变量,所求概率为所求概率为分布律为分布律为直接计算
18、很麻烦，利用直接计算很麻烦，利用德莫佛拉普拉斯定理德莫佛拉普拉斯定理练习练习2 2 某保险公司的老年人寿保险有某保险公司的老年人寿保险有1万人参加万人参加,每人每每人每年交年交200元元. 若老人在该年内死亡若老人在该年内死亡,公司付给家属公司付给家属1万元万元. 设老年人死亡率为设老年人死亡率为0.017,试求保险公司在一年内的这项试求保险公司在一年内的这项保险中亏本的概率保险中亏本的概率.解解设设 X 为一年中投保老人的死亡数为一年中投保老人的死亡数,则则则保险公司亏本的概率为则保险公司亏本的概率为由由德莫佛拉普拉斯定理德莫佛拉普拉斯定理知知,三、小结三、小结二个中心极限定理二个中心极限定理独立同分布的中心极限定理独立同分布的中心极限定理德莫佛拉普拉斯德莫佛拉普拉斯中心极限中心极限定理定理中心极限定理表明中心极限定理表明, 在相当一般的条件下在相当一般的条件下, 当独立当独立随机变量的个数增加时随机变量的个数增加时, 其和的分布趋于正态分布其和的分布趋于正态分布.
