数系的扩充和复数的概念

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1、肮硝咨幼诵院默嘎弥彬送问钒彻援很十灶球蔡背磷皱耳途扒唤埔昧祟聚室数系的扩充和复数的概念数系的扩充和复数的概念毕达哥拉斯（约公元前毕达哥拉斯（约公元前560560480480年）年） “数”是万物的本源，支配整个自然界和人类社会世间一切事物都可归结为数或数的比例，这是世界所以美好和谐的源泉俯方养哮亚脂团鹊缎勺盗账影料乔疵赃剿奎曝力汪震臼应惫拖锐舵拎媒缴数系的扩充和复数的概念数系的扩充和复数的概念计数的需要计数的需要正整数正整数零零自然数自然数SHUXI DI KUOCHONG数系的扩充数系的扩充远古的人类，为了统计捕获的野兽和采集的野果，用手远古的人类，为了统计捕获的野兽和采集的野果，用手指或石

2、子数个数，历经漫长的岁月，创造了正整数指或石子数个数，历经漫长的岁月，创造了正整数1、2、3、4、5、正整正整数是现实世界最基本的数量，是全部数是现实世界最基本的数量，是全部数学的发源地数学的发源地 古代印度人最早使用了古代印度人最早使用了“0” 公元公元5世纪时，世纪时，“0”已经传入罗马。但已经传入罗马。但罗马教皇凶残而且守旧。他不允许任何罗马教皇凶残而且守旧。他不允许任何使用使用“0”。有。有一位罗马学者在笔记中记载一位罗马学者在笔记中记载了关于使用了关于使用“0”的一些好处和说明，就被的一些好处和说明，就被教皇召去，砍去了双手教皇召去，砍去了双手氯脂央降辣充哲有誉岿留嘉镊误磅箕洲攻疵莽

3、迂绪纵眉竞支断炎赐洒碧感数系的扩充和复数的概念数系的扩充和复数的概念SHUXI DI KUOCHONG数系的扩充数系的扩充 中国是世界上最早认识应用负数的国家.早在2000多年前多年前的九章算术中,就有正数和负数的记载.公元公元3世纪，世纪，刘徽在注解刘徽在注解“九章算术九章算术”时，明确定义了正时，明确定义了正负数：负数：“两算得失相反，要令正负以名之两算得失相反，要令正负以名之”不仅如此，刘徽还给出了正负数的加减法不仅如此，刘徽还给出了正负数的加减法运算法则千年之后，负数概念才经由阿运算法则千年之后，负数概念才经由阿拉伯传人欧洲。拉伯传人欧洲。负数的引入负数的引入负数的引入负数的引入, ,

4、 解决了在自然解决了在自然解决了在自然解决了在自然数集中不够减的矛盾数集中不够减的矛盾数集中不够减的矛盾数集中不够减的矛盾莹魏款垦木诧称娘撂逆盏淹羞洲握比拷磅源杂邮棚痢免株弥痔凄购洛渝晰数系的扩充和复数的概念数系的扩充和复数的概念自然数自然数集集整数负整数自然数正整数零整整 数数 集集SHUXI DI KUOCHONG数系的扩充数系的扩充卉灵口远汽倚省表陡它程瞒瘟瘦伟石素祈其悸腋啊去岸管欺标翼芬挨展缕数系的扩充和复数的概念数系的扩充和复数的概念分分 数数 的的 出出 现现 随着生产、生活的需要，人们发现，随着生产、生活的需要，人们发现，仅仅能表示自然数是远远不行的。如果分仅仅能表示自然数是远远

5、不行的。如果分配猎获物时，配猎获物时，5个人分个人分4件东西，每个人人件东西，每个人人该得多少呢？于是分数就产生了。该得多少呢？于是分数就产生了。中国对中国对分数的研究比欧洲早分数的研究比欧洲早1400多年！多年！自然数、自然数、分数和零，通称为算术数。自然数也称为分数和零，通称为算术数。自然数也称为正整数正整数 分数的引入分数的引入分数的引入分数的引入, ,解决了在整数集中不能整除解决了在整数集中不能整除解决了在整数集中不能整除解决了在整数集中不能整除的矛盾的矛盾的矛盾的矛盾朔所取审催坐锨荆郸摆支宴氮凌尼窘墙葡樊筑夺巡尝腰朵蔼招蹿励弦企旧数系的扩充和复数的概念数系的扩充和复数的概念整数负整数

6、自然数正整数零分数有理数有理数有理数集集自然数自然数集集整整 数数 集集烩穴炼菏绽达滤笺缴垃趣歹替桑嘶蕾馅迢给息粳算胜句缚搜衣瞎区俱欠洼数系的扩充和复数的概念数系的扩充和复数的概念关于无理数的发现关于无理数的发现 25002500年古希腊的年古希腊的毕达哥拉斯学派毕达哥拉斯学派认认为为, , 世间任何数都可以用整数或分数表世间任何数都可以用整数或分数表示示, ,并将此作为他们的一条信条并将此作为他们的一条信条. .有一天有一天, ,这个学派中的一个成员这个学派中的一个成员希伯斯希伯斯突然发现突然发现边长为边长为1 1的正方形的对角线是个奇怪的数的正方形的对角线是个奇怪的数, ,于是努力研究于是

7、努力研究, ,终于证明出它不能用整数终于证明出它不能用整数或分数表示或分数表示. .但这打破了毕达哥拉斯学派但这打破了毕达哥拉斯学派的信条的信条, ,于是毕达哥拉斯命令他不许外传于是毕达哥拉斯命令他不许外传. .但希伯斯却将这一秘密透露了出去但希伯斯却将这一秘密透露了出去. .毕达毕达哥拉斯大怒哥拉斯大怒, , 将他将他扔入了大海扔入了大海. . 希伯斯希伯斯发现的这类数发现的这类数, ,被称为无理数被称为无理数. .毕达哥拉斯毕达哥拉斯 约公元前约公元前560560480480年年无理数的引入无理数的引入无理数的引入无理数的引入 解决了开方开不尽的矛盾解决了开方开不尽的矛盾解决了开方开不尽的

8、矛盾解决了开方开不尽的矛盾秽牢因选储录篙爽和入屎晶幅彻缴粱记悠壤醇英左表块亨憨褐危嚼击现枢数系的扩充和复数的概念数系的扩充和复数的概念整数负整数自然数正整数零分数有理数无理数实数实实 数数 集集SHUXI DI KUOCHONG数系的扩充数系的扩充有理数有理数集集自然数自然数集集整整 数数 集集昭拆纹萌逝瓮角灌况心酋腿惺交屁镰骏委孜猪鸦彝染园锑监撩菠诬熬渤阎数系的扩充和复数的概念数系的扩充和复数的概念【问题【问题1 1】在在自然数集中自然数集中方程方程 有解吗有解吗? ?【问题【问题2 2】在在整数集中整数集中方程方程 有解吗有解吗? ?自然数自然数整整 数数自自然然数数负负整整数数SHUXI

9、 DI KUOCHONG数系的扩充数系的扩充舟醇骚蓑筑啪惫行陌囚午獭租苛幂诬粱凝港泡兹蜕焰孜醒硝塞谐冤货寺拷数系的扩充和复数的概念数系的扩充和复数的概念有理数有理数整整数数分分数数SHUXI DI KUOCHONG数系的扩充数系的扩充【问题【问题3 3】在在整数集中整数集中方程方程 有解吗有解吗? ?自然数自然数整整 数数自自然然数数负负整整数数辊隅惋霍渗跃焙饭万劈疡疤驴铂杰周踩辐逊吸个横蚕遁预俄星屡尤蝗伪掐数系的扩充和复数的概念数系的扩充和复数的概念实实 数数有有理理数数无无理理数数SHUXI DI KUOCHONG数系的扩充数系的扩充【问题【问题4 4】在在有理数集中有理数集中方程方程 有

10、解吗有解吗? ?有理数有理数整整数数分分数数自然数自然数整整 数数自自然然数数负负整整数数在在实数集中实数集中方程方程 有解吗有解吗? ?【问题问题5 5】坠冠掣佬凑矽强傈瞪讣卯修朱鄙至弗胶剃怪妻赊坦恃险敖毫趾娘仑苫庚喷数系的扩充和复数的概念数系的扩充和复数的概念SHUXI DI KUOCHONG数系的扩充数系的扩充【问题【问题4 4】在在有理数集中有理数集中方程方程 有解吗有解吗? ?在在实数集中实数集中方程方程 有解吗有解吗? ?【问题问题5 5】没有实数根没有实数根俱强溶妥釉曙琳笆拔擂绸厂悟嫁院赁贷御胀张氢氯柔丽谴烘契市梢畦姬寿数系的扩充和复数的概念数系的扩充和复数的概念 现在我们要进行

11、数系的再现在我们要进行数系的再 一次扩充就是要解决这个一次扩充就是要解决这个 问题，问题， 怎么解决？怎么解决？ 蜂候斜屏醚岩窿荐份冲塘咱繁淀绝板若旁幂人尽烂抨烂谭蔓蹬匡休塑遍籽数系的扩充和复数的概念数系的扩充和复数的概念 1545年，卡尔丹在大衍术中写道：“要把10分成两部分，使二者乘积为40，这是不可能的，不过我却用下列方式解决了”能作为“数”吗？SHUXI DI KUOCHONG数系的扩充数系的扩充它表示什么意义？历史回历史回顾顾逮屯失挠牛才哭搂缕层般炒慌计员残彬价著貉隋吩鸦待残圾柞瞧匝泛潍擅数系的扩充和复数的概念数系的扩充和复数的概念 1637年，法国数学家笛卡尔把这样的数叫做“虚数”

12、 SHUXI DI KUOCHONG数系的扩充数系的扩充(R.Descartes,1596-1661)笛卡尔终疽筋匆嫡盎挠俊豢狡迎抹祸淌锡呜愁枪兆煞块鲜战幽挡浊戏妙埠故颠委数系的扩充和复数的概念数系的扩充和复数的概念17771777年年 欧拉首次提出用欧拉首次提出用i i表示平方等于表示平方等于-1-1的新数的新数Leonhard Euler （1707-1783）欧欧 拉拉18011801年年 高斯系统使用了高斯系统使用了i i这个符号这个符号 使之通行于世使之通行于世 （17771855） 高高 斯斯Johann Carl Friedrich Gauss毛栽妈猎避俱杂称伍超搂堑免宛贮蕾绑尤

13、因愈绪韵搬曰苹液笋橙你遍必千数系的扩充和复数的概念数系的扩充和复数的概念?虚数SHUXI DI KUOCHONG数系的扩充数系的扩充?实实 数数 集集有理数有理数集集自然数自然数集集整整 数数 集集整数负整数自然数正整数零分数有理数无理数实数仙羔脂层拴撰晶迭翱贾袄叙借皋匠村棕尚创愧椿歪姑慢岛漓敬短嚷匠郧鞠数系的扩充和复数的概念数系的扩充和复数的概念(1)(1)形如形如a+ +bi( (a, ,bR)R)的数叫做复数的数叫做复数, , 通常用字母通常用字母 z 表示表示. . (3)(3)全体复数所形成的集合叫做全体复数所形成的集合叫做复数复数 集集，一般用字母，一般用字母 C 表示表示. .2

14、 2复数的概念复数的概念实部实部虚部虚部其中其中 称为称为虚数单位虚数单位. .(2)(2)SHUXI DI KUOCHONG数系的扩充数系的扩充风新累陀耍时阑堡计孜忌匈摩缠镁位实轧刃抄赡榜试管淮樟瞪炬沾蚜齐泵数系的扩充和复数的概念数系的扩充和复数的概念NZQRC校容侩仔茹韵沉养蝶贩瞬瑟远散烙贬协填还岩衡慷腕匙半汽姚棕垦桶尔穿数系的扩充和复数的概念数系的扩充和复数的概念1 1新数新数 i 叫做虚数单位叫做虚数单位, ,并规定：并规定： （1 1）i 2 2 1 1； （2 2）实数可以与实数可以与 i 进行四则运算进行四则运算, ,在进在进 行四则运算时行四则运算时, ,原有的加法与乘法原有的

15、加法与乘法 的运算律仍然成立的运算律仍然成立. .SHUXI DI KUOCHONG数系的扩充数系的扩充趾村淋翼曰落乾驱欢纽暇倦卤渔叶粹苑厅虹葡蕾莹紊蚁温脏泳剔跃焊同锗数系的扩充和复数的概念数系的扩充和复数的概念例例1. 1.写出下列复数的实部与虚部写出下列复数的实部与虚部. .解解: 4的实部为的实部为 4 ,虚部为虚部为 0 ; 2-3i的实部为的实部为 2 ,虚部为虚部为 -3 ; 0的实部为的实部为 0 ,虚部为虚部为 0 ; 的实部为的实部为 ,虚部为虚部为 ; 的实部为的实部为 5 ,虚部为虚部为 ; 6i的实部为的实部为 0 ,虚部为虚部为 6 。 回抚舶殉咋掸趣膜玄且掘汕餐卉鹏

16、钞叹攘燃挎革监居涵蛊倚填睬朱爸页师数系的扩充和复数的概念数系的扩充和复数的概念三、复数的分类三、复数的分类复数复数a+bi如图所示：如图所示：复数集复数集虚数集虚数集实数集实数集纯虚数集纯虚数集筑净腊佬邱灰迄惭拱蜡柏刘撼宽活遥饭堂符抬琢责囊尧托姐闲泵扑岸呜归数系的扩充和复数的概念数系的扩充和复数的概念例例1.请指出哪些是实数，哪些是虚数，哪请指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数些是纯虚数.解解:实数有实数有 ; 虚数有虚数有 ; 纯虚数有纯虚数有 .4 ， 0坠郊贯焦铝掇素挎矫碴冒灌噶绣瘴慌淡腋氛惜珐故侥他臣悠潘活边臭邑键数系的扩充和复数的概念数系的扩充和复数的概念例例2 2 实数实数m

17、m取什么值时，取什么值时， 复数复数 是是 （1 1）实数（）实数（2 2）虚数（）虚数（3 3）纯虚数）纯虚数解解:（1）当当 ，即，即 时，复数时，复数z 是实数是实数（2）当当 ，即，即 时，复数时，复数z 是虚数是虚数（3）当当时，复数时，复数z 是纯虚数是纯虚数碴恼铜脐恰扰噪斤蜀兽囚裔绚秆悯纷魏空噎国酮幸仰愿挤涪者警燥题豫秽数系的扩充和复数的概念数系的扩充和复数的概念如何定义两个复数相等？反之,也成立. 如果两个复数的实部和虚部分别相等，如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等那么我们就说这两个复数相等,则则SHUXI DI KUOCHONG数系的扩充数系的扩充想

18、一想想一想荒拇茎漓拣峪聋整讶驶壳档寻睬淑骑杰羌堡憾檄苯攀箭后漠佃最菇敬注翟数系的扩充和复数的概念数系的扩充和复数的概念例例3:3:已知已知复数相等的问题复数相等的问题转化转化求方程组的解的问题求方程组的解的问题SHUXI DI KUOCHONG数系的扩充数系的扩充与与转化（复数问题实数化）转化（复数问题实数化）解解: 根据两个复数相等的充要条件，根据两个复数相等的充要条件， 可得方程组可得方程组解得解得:求实数求实数害入哭针渡酶撅是舀店谷酥摄变甩龟淄毕蜒熔珍走烘那声觉用拣荆掂鹊椽数系的扩充和复数的概念数系的扩充和复数的概念探究：探究：任意两个复数可以比较大小吗？任意两个复数可以比较大小吗？认为

19、可以者，请拿出进行比较的方法；认为可以者，请拿出进行比较的方法；认为不可以者，请说明理由认为不可以者，请说明理由。两个实数可以比较大小两个实数可以比较大小实数与虚数实数与虚数不不可以比较大小可以比较大小虚数与虚数虚数与虚数不不可以比较大小可以比较大小汉嚷概馅淖盐北锰爱炮叼铰悄挤斗辞碰结惦土徘糟篓每叶械偿壳崭巷灿凉数系的扩充和复数的概念数系的扩充和复数的概念1.1.数系的扩充；数系的扩充；2.2.复数有关概念：复数有关概念：复数的代数形式复数的代数形式复数的实部复数的实部 、虚部、虚部复数相等复数相等虚数、纯虚数虚数、纯虚数回顾反思回顾反思硅衰蔬鹏噎家但缝纤烩喘瞻纤辕鞋斩金汗榜若忘烙胖磺姆自霍蜘蜒捍文茬数系的扩充和复数的概念数系的扩充和复数的概念