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1、第七讲第七讲: 2.62.8分析、代数与几何分析、代数与几何l 分析的严密化分析的严密化l 代数学的新生代数学的新生l 几何学的变革几何学的变革分析的严密化分析的严密化u 分析：分析：关于函数的无穷小分析关于函数的无穷小分析u 问题：问题：第二次数学危机第二次数学危机u 核心：核心：函数、无穷小函数、无穷小u 贡献：贡献：柯西柯西(法法, 1789-1857 ) 魏尔斯特拉斯魏尔斯特拉斯(德德, 1815-1897)分析的严密化分析的严密化函数函数l初等函数狄狄里里克克雷雷函函数数处处处处不不可可微微的的连连续续函函数数l 解析函数l 1837年狄里克雷(德, 1805-1859)1817年波
2、尔查诺(捷, 1781-1848)定义了导数、连续1821年柯西(法, 1789-1857)代数分析教程定义了极限、连续、导数分析的严密化分析的严密化算术化算术化n 1854年黎曼(德, 1826-1866)定义了有界函数的积分n 1870年海涅(德, 1821-1881)定义了一致连续n 19世纪60年代魏尔斯特拉斯(德, 1815-1897)提出-语言n 1875年达布(法, 1842-1917)提出了大和、小和1817年波尔查诺(捷, 1781-1848)提出确界原理1817年波尔查诺和19世纪60年代魏尔斯特拉斯(德, 1815-1897)提出聚点定理1821年柯西(法, 1789-1
3、857)提出收敛准则19世纪60年代魏尔斯特拉斯提出单调有界原理1872年海涅(德, 1821-1881)和1895年波莱尔(法, 1871-1956)提出有限覆盖定理分析的严密化分析的严密化实数理论实数理论n 1872年戴德金(德, 1831-1916)提出分割理论n 1892年巴赫曼(德, 1837-1920)提出区间套原理分析的严密化分析的严密化波尔查诺(捷克斯洛伐克，1981）波尔查诺魏尔斯特拉斯狄里克雷柯西海涅达布 黎曼巴赫曼戴德金波莱尔分析的严密化分析的严密化1874年起康托(德, 1845-1918)一系列论文建立康托三等分集分析的严密化分析的严密化集合论集合论l 希尔伯特：数学
4、思想的最惊人的产物，希尔伯特：数学思想的最惊人的产物，在纯粹理性的范畴中人类活动的最优美的在纯粹理性的范畴中人类活动的最优美的表现之一。表现之一。朱利亚集l 我看到了它，但我简直不能相信它。我看到了它，但我简直不能相信它。代数代数u 突破传统突破传统l 方程与根方程与根l 行列式与矩阵行列式与矩阵l 数系扩张数系扩张 l 数论数论1799年高斯(德, 1777-1855)代数基本定理代数基本定理代数代数代数方程代数方程高斯和格廷根(尼加拉瓜，1994)1770年拉格朗日(法, 1736-1813)的预解式代数代数代数方程根式解代数方程根式解n 1813年鲁菲尼(意, 1765-1822)定理n
5、 1824年阿贝尔(挪, 1802-1829)定理 1829年伽罗瓦(法, 1811-1832)理论1750年克莱姆(瑞, 1704-1752)法则1772年范德蒙(法, 1735-1796)、拉普拉斯(法, 1749-1827)行列式展开定理1815年柯西(法, 1789-1857)行列式乘法定理1841年凯莱(英, 1821-1895)行列式记号、1841年雅可比(德, 1804-1851)行列式1852年西尔维斯特(英, 1814-1897)惯性定理1854年和1878年埃尔米特(法, 1822-1910)和弗罗贝尼斯(德, 1849-1917)使用和定义了正交矩阵1858年凯莱证明了凯
6、莱-哈密顿(爱尔兰, 1805-1865)定理1870年若尔当(法, 1838-1921)建立了若尔当标准形1879年弗罗贝尼斯(德, 1849-1917)引入矩阵的秩代数代数行列式与矩阵行列式与矩阵柯西克莱姆拉普拉斯凯莱雅可比西尔维斯特埃尔米特弗罗贝尼斯若尔当代数代数行列式与矩阵行列式与矩阵1837年哈密顿(爱尔兰, 1805-1865)表示复数为有序实数对1843年哈密顿(爱尔兰, 1805-1865)定义了四元数1844年格拉斯曼(德, 1809-1877)引进了n个分量的超复数1847年凯莱(英, 1821-1895)定义了八元数代数代数数系扩张数系扩张18世纪l1736年欧拉(瑞,
7、1701-1783)证明了费尔马小定理l1742年哥德巴赫(德, 1690-1764)猜想l1770年华林(英, 1734-1798)定理l1783年欧拉发现二次互反律代数代数数论数论19世纪l1801年高斯(德, 1777-1855)出版算术研究l1845-1847年库默尔(德, 1810-1893)提出理想数l1871年戴德金(德, 1831-1916)创立代数数l1897年希尔伯特(德, 1862-1943)“代数数域理论”l1737年欧拉(瑞, 1701-1783)恒等式(s) =代数代数解析数论解析数论a+nbl 1837年狄里克雷(德, 1805-1859)解决素数问题l 1859
8、年黎曼(德, 1826-1866)的(x)与(s)l 1896年阿达玛(法, 1865-1963)等证明了素数定理(x)x/lnx 华林代数代数数论数论库默尔 戴德金希尔伯特狄里克雷阿达玛黎曼 高斯和正十七边形(民主德国, 1977)代数代数邮票邮票 阿贝尔的塑像(挪威, 1983)代数代数邮票邮票维格兰1908年雕塑的阿贝尔塑像 伽罗瓦(法国, 1984)代数代数邮票邮票 哈密顿的四元数(爱尔兰, 1983)代数代数邮票邮票 戴德金(民主德国, 1981)代数代数邮票邮票几何几何u 现实空间与思维空间现实空间与思维空间l 射影几何射影几何l 非欧几何非欧几何l 统一的几何统一的几何几何几何射
9、影几何射影几何l 1799年蒙日(法, 1746-1818)的画法几何学 蒙日(法国, 1953)l 1803年卡尔诺(法, 1753-1823)的位置几何学卡尔诺(法国, 1950)l 1799年蒙日(法, 1746-1818)的画法几何学l综合方法综合方法连连续续性性原原理理对对偶偶原原理理几何几何射影几何射影几何1822年庞斯列(法, 1788-1867)的论图形的射影性质l代数方法代数方法几何几何射影几何射影几何麦比乌斯(德, 1790-1868)1827年麦比乌斯(德, 1790-1868)的重心计算1829年普吕克(德, 1801-1868)的三线坐标普吕克(德, 1801-186
10、8)平行公理的研究(公元前3世纪至1800年)A+B+C=2几何几何欧氏几何欧氏几何欧几里得普莱费尔(苏格兰, 1748-1819)勒让德(法, 1752-1833)1826年罗巴切夫斯基(俄, 1792-1856)()几何几何非欧几何非欧几何n 1816年高斯(德, 1777-1855)n 1832年鲍耶(匈, 1802-1860)l 几何学上的哥白尼几何学上的哥白尼几何几何非欧几何非欧几何罗巴切夫斯基(苏联, 1951)几何几何非欧几何非欧几何高斯(联邦德国, 1955)几何几何非欧几何非欧几何鲍耶(罗马尼亚, 1960)1854年黎曼(德, 1826-1866)几何几何几何非欧几何非欧几何l模型与相容性几何几何非欧几何非欧几何l 1866年贝尔特拉米(意, 1835-1900)l 1871克莱因(德, 1849-1925)l 1882年庞加莱(法, 1854-1912)伪球面曳物线克莱因-庞加莱圆几何几何非欧几何的模型非欧几何的模型1872年克莱因(德, 1849-1925)的爱尔朗根纲领射影几何仿射几何单重椭圆几何二重椭圆几何双曲几何欧几里得几何其它仿射几何几何几何统一的几何学统一的几何学
