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1、 2、二重积分的变量交换、二重积分的变量交换公式公式设 为一个一个给定的二重定的二重积分，分， 其中被其中被积函数函数在在积分区域分区域D上延上延续， 现作作变量交量交换经过此此变换后原来的后原来的xy平面上的区域平面上的区域D变换为uv平面平面而而这个个变换的逆的逆变换为上的区域上的区域 ，假假设这个个变换满足：足：(1) 在在上具有一上具有一阶延延续偏偏导数；数；(2) 在在上雅可比式上雅可比式(3) D与与 的点之的点之间有一一有一一对应关系关系;那么有那么有二重二重积分的分的变量交量交换公式公式面面积元素元素雅可比行列式雅可比行列式解解例例计算计算其中其中由由轴、轴、轴和轴和所围成的闭
2、区域。所围成的闭区域。那么那么令令即即故故平面上恣意一点的直角坐平面上恣意一点的直角坐标(x,y),极坐极坐标上式可看成是从极坐标平面上式可看成是从极坐标平面到直角坐标平面到直角坐标平面的一种变换，的一种变换，即对于即对于平面上的一点平面上的一点经过上式上式变换，且且这种种变换是一是一对一的。一的。平面上的一点平面上的一点变成变成3、极坐标下计算二重积分、极坐标下计算二重积分极点极点 原点原点r为点点(x,y)到原点的到原点的间隔隔 为向量向量(x,y) 的的倾斜角斜角度度所以由二重所以由二重积分分变量交量交换公式，可得到极坐公式，可得到极坐标系下系下二重二重积分分变化公式化公式为要要计算极坐
3、算极坐标系下的二重系下的二重积分，同分，同样要把二重要把二重积分化分化为极坐极坐标系下关于系下关于r和和 的累次的累次积分。分。二重积分化为累次积分的公式二重积分化为累次积分的公式区域特征如区域特征如图区域特征如图区域特征如图二重积分化为累次积分的公式二重积分化为累次积分的公式区域特征如区域特征如图二重积分化为累次积分的公式二重积分化为累次积分的公式区域特征如区域特征如图当当积分区域分区域为圆域、域、圆环域或部分域或部分圆域，域，宜采用极坐宜采用极坐标。且且被积函数又呈被积函数又呈或或时，时，注：注：解解例例1 1 写出积分写出积分的极坐标二次积分形的极坐标二次积分形式，其中积分区域式，其中积
4、分区域 圆方程方程为 直直线方程方程为解解例例2 2 计算计算，其中，其中D 是由中心在是由中心在原点，半径为原点，半径为a的圆周所围成的闭区域。的圆周所围成的闭区域。.注：此注：此积分在直角坐分在直角坐标系下无法系下无法计算。算。在极坐在极坐标系下系下 .解解例例3 计算计算其其 D为由由圆 及直线及直线 所围成的平面闭区域所围成的平面闭区域.解解例例4 求曲线求曲线 和和所围成的图形的面积所围成的图形的面积.根据根据对称性可知：所求面称性可知：所求面积 为第一象限部分面第一象限部分面积的的4倍。倍。由由 得交点得交点 在极坐在极坐标系下系下所求面所求面积 . 二重二重积分在极坐分在极坐标下
5、的下的计算公式算公式小结小结计算二重算二重积分的根本步分的根本步骤总结：总结：1、画出、画出积分区域分区域D的草的草图；2、根据被根据被积函数的特点和函数的特点和积分区域的外形，分区域的外形，选取适当的坐取适当的坐标系；系；3、选取适当取适当积分次序分次序(假假设不是不是规范区域范区域,应先将先将其分其分为假假设干个干个规范区范区域域)4、确定确定积分限分限,从而把二重从而把二重积分化分化为累次累次积分分5、计算累次算累次积分。分。练练 习习 题题一、一、填空题填空题: : 1 1、 将将 Ddxdyyxf),(, ,D为为xyx222 + +, ,表示为极坐表示为极坐标方式的累次积分标方式的
6、累次积分, ,为为_._. 2 2、 将将 Ddxdyyxf),(, ,D为为xy- - 10, ,10 x, ,表表示为极坐标方式的累次积分为示为极坐标方式的累次积分为_._. 3 3、 将将 + +xxdyyxfdx32220)(化为极坐标方式的累化为极坐标方式的累次积分为次积分为_._. 4 4、 将将 2010),(xdyyxfdx化为极坐标方式的累次积分化为极坐标方式的累次积分为为_._. 5 5、 将将 - -+ +xxdyyxdx221)(2210化为极坐标方式的累次积化为极坐标方式的累次积分为分为_,_,其值为其值为_._.二、二、 计算以下二重积分计算以下二重积分: : 1
7、1、 + + +Ddyxs s)1ln(22, ,其中其中D是由圆周是由圆周122= =+ +yx 及坐标轴所围成的在第一象限内的区域及坐标轴所围成的在第一象限内的区域 . . 2 2、 + +Ddyxs s)(22其中其中D是由直线是由直线xy = =, , )0(3, = = =+ += =aayayaxy所围成的区域所围成的区域. . 3 3、 - - -DdyxRs s222, ,其中其中D是由圆周是由圆周 Rxyx= =+ +22所围成的区域所围成的区域. . 4 4、 - -+ +Ddyxs s222, ,其中其中D: :322 + +yx. .练习题答案练习题答案3 333p pR4 4、p p25一、一、1 1、rdrrrfd q qp pp p- -q qq qq qcos2022)sin,cos(； 2 2、 - -q q+ +q qp pq qq qq q1)sin(cos020)sin,cos(rdrrrfd；3 3、 q qp pp pq qsec2034)(rdrrfd；4 4、 q qq qq qp pq qq qq qsectansec40)sin,cos(rdrrrfd；5 5、 q qq qp pq q2cossin0401rdrrd, ,12- -. .二、二、1 1、)12ln2(8- -p p； 2 2、414a；
