1©2009,HenanPolytechnicUniversity1§ §8 8 8 8 酉空间酉空间酉空间酉空间第九章第九章第九章第九章 欧几里得空间欧几里得空间欧几里得空间欧几里得空间二、线性变换的简单性质二、酉空间中的重要结论二、酉空间中的重要结论一、一、酉空间酉空间定义定义 2©2009,HenanPolytechnicUniversity2§ §8 8 8 8 酉空间酉空间酉空间酉空间第九章第九章第九章第九章 欧几里得空间欧几里得空间欧几里得空间欧几里得空间一、一、酉空间酉空间定义定义欧氏空间是专对实数域上线性空间而讨论的欧氏空间是专对实数域上线性空间而讨论的.酉空间实际就是复数域上的欧氏空间酉空间实际就是复数域上的欧氏空间.定义定义 1 设设设设 V V 是复数域上的线性空间，在是复数域上的线性空间，在是复数域上的线性空间，在是复数域上的线性空间，在 V V上定义了一个二元复函数，称为内积，记作上定义了一个二元复函数，称为内积，记作上定义了一个二元复函数，称为内积，记作上定义了一个二元复函数，称为内积，记作 ( ( , , ), ),它具有以下性质：它具有以下性质：它具有以下性质：它具有以下性质：1)1) ( ( , , ) = () = ( , , ) ) ，这里，这里，这里，这里 ( ( , , ) ) 是是是是 ( ( , , ) ) 的的的的 共轭复数；共轭复数；共轭复数；共轭复数； 3©2009,HenanPolytechnicUniversity3§ §8 8 8 8 酉空间酉空间酉空间酉空间第九章第九章第九章第九章 欧几里得空间欧几里得空间欧几里得空间欧几里得空间2)2) ( (k k , , ) = ) = k k( ( , , ) ) ; ;3)3) ( ( + + , , ) = () = ( , , ) + () + ( , , ) ;) ;4)4) ( ( , , ) ) 是非负实数，且是非负实数，且是非负实数，且是非负实数，且 ( ( , , ) =0 ) =0 当且当且当且当且仅当仅当仅当仅当 =0 .=0 .这里这里这里这里 , , , , 是是是是 V V 中任意的向量，中任意的向量，中任意的向量，中任意的向量，k k 为任意复数，为任意复数，为任意复数，为任意复数，这样的线性空间称为这样的线性空间称为这样的线性空间称为这样的线性空间称为酉空间酉空间. . 4©2009,HenanPolytechnicUniversity4§ §8 8 8 8 酉空间酉空间酉空间酉空间第九章第九章第九章第九章 欧几里得空间欧几里得空间欧几里得空间欧几里得空间例例1 性空间性空间 Cn 中，对向量中，对向量 = (a1 , a2 , … , an) , = (b1 , b2 , … , bn) , 定义内积为定义内积为( , ) = a1 b1 + a2 b2 + … + an bn . (1)显然，内积显然，内积 (1) 满足定义满足定义 15 中的条件中的条件.这样这样 Cn 就就成为一个酉空间成为一个酉空间. 5©2009,HenanPolytechnicUniversity5§ §8 8 8 8 酉空间酉空间酉空间酉空间第九章第九章第九章第九章 欧几里得空间欧几里得空间欧几里得空间欧几里得空间例例例例2 2 2 2 用用C[a,bC[a,b] ]表示区间表示区间[ [a,ba,b] ]上所有连续复值函数组上所有连续复值函数组成的线性空间，规定成的线性空间，规定是是C[a,bC[a,bC[a,bC[a,b] ] ] ]上的一个内积，此时上的一个内积，此时 C[a,bC[a,bC[a,bC[a,b] ] ] ]成为一个酉空间成为一个酉空间. .容易验证，容易验证， 6©2009,HenanPolytechnicUniversity6§ §8 8 8 8 酉空间酉空间酉空间酉空间第九章第九章第九章第九章 欧几里得空间欧几里得空间欧几里得空间欧几里得空间二、酉空间中的重要结论二、酉空间中的重要结论由于酉空间的讨论与欧氏空间的讨论很相似由于酉空间的讨论与欧氏空间的讨论很相似,有一套平行的理论，因此这儿只简单地列出重要的有一套平行的理论，因此这儿只简单地列出重要的结论，而不详细论证结论，而不详细论证.首先由内积的定义可得到首先由内积的定义可得到1)1) ( , k ) = k ( , ) .2)2) ( , + ) = ( , ) + ( , ) . 7©2009,HenanPolytechnicUniversity7§ §8 8 8 8 酉空间酉空间酉空间酉空间第九章第九章第九章第九章 欧几里得空间欧几里得空间欧几里得空间欧几里得空间 与实内积空间类似，酉空间与实内积空间类似，酉空间V V 中由于有了内积的中由于有了内积的概念，从而就有长度、角度、正交、距离等度量概念概念，从而就有长度、角度、正交、距离等度量概念. .定义定义2 2 非负实数非负实数叫做向量叫做向量 的长度，的长度，记为记为 | | | .| .显然显然| |0 0|=0|=0，， ≠≠0 0时，时， | | |>0.|>0.容易证明：容易证明： 8©2009,HenanPolytechnicUniversity8§ §8 8 8 8 酉空间酉空间酉空间酉空间第九章第九章第九章第九章 欧几里得空间欧几里得空间欧几里得空间欧几里得空间定理定理定理定理1 1 柯西柯西 - 布涅柯夫斯基不等式仍然成立，布涅柯夫斯基不等式仍然成立，即对即对任意的向量任意的向量 , 有有| ( , ) | | | | |，，当且仅当当且仅当 , 线性相关时，等号成立线性相关时，等号成立.注意：注意：酉空间中的内积酉空间中的内积 ( , ) 一般是复数，一般是复数，故向量之间不易定义夹角，但我们仍引入故向量之间不易定义夹角，但我们仍引入 9©2009,HenanPolytechnicUniversity9§ §8 8 8 8 酉空间酉空间酉空间酉空间第九章第九章第九章第九章 欧几里得空间欧几里得空间欧几里得空间欧几里得空间定义定义3 3 酉空间酉空间V中，两个非零中，两个非零 , , 的夹角的夹角< < , , > >规定为规定为于是于是（（2 2））从（从（7 7）式得出，）式得出， 定义定义4 4 向量向量 , ，，当当 ( , ) = 0 时称为正交或时称为正交或互互相垂直相垂直. 10©2009,HenanPolytechnicUniversity10§ §8 8 8 8 酉空间酉空间酉空间酉空间第九章第九章第九章第九章 欧几里得空间欧几里得空间欧几里得空间欧几里得空间 与实内积空间一样，我们可以证明在酉空间中，与实内积空间一样，我们可以证明在酉空间中，有三角形不等式和勾股定理有三角形不等式和勾股定理. .我们可以定义两个向我们可以定义两个向量量 , , 的距离的距离与实内积空间一样，在酉空间与实内积空间一样，在酉空间V V 中，有正交向中，有正交向量组的概念，并且可以证明：正交向量组一定线性量组的概念，并且可以证明：正交向量组一定线性无关无关. .从而有正交基、标准正交基的概念，利用施从而有正交基、标准正交基的概念，利用施密特正交化和单位化，可把密特正交化和单位化，可把V V 的一个基变成与它等的一个基变成与它等价的标准正交基价的标准正交基. . 11©2009,HenanPolytechnicUniversity11§ §8 8 8 8 酉空间酉空间酉空间酉空间第九章第九章第九章第九章 欧几里得空间欧几里得空间欧几里得空间欧几里得空间n 维酉空间维酉空间V V 中，向量组中，向量组η1,η2,…,ηn是是V V 的一个的一个标准正交基当且仅当标准正交基当且仅当利用利用标准正交基η1,η2,…,ηn，容易计算向量的内，容易计算向量的内积积. . 设设 , , 在在η1,η2,…,ηn下的坐标分别是下的坐标分别是 =(=(x1,x2,…,xn) )’, , =( =(y1,y2,…,yn) )’, , 则则 12©2009,HenanPolytechnicUniversity12§ §8 8 8 8 酉空间酉空间酉空间酉空间第九章第九章第九章第九章 欧几里得空间欧几里得空间欧几里得空间欧几里得空间利用标准正交基，向量的坐标的分量可以用内积利用标准正交基，向量的坐标的分量可以用内积表达表达. . 设设 在标准正交基在标准正交基η1,η2,…,ηn下的坐标是下的坐标是( (x1,x2,…,xn) )’, ,则则 两边用两边用ηj作内积，得作内积，得 因此因此 （（3 3）） （（3 3）式称为）式称为 的傅里叶（的傅里叶（FourierFourier）展开，其中每）展开，其中每个系数个系数（（ ，，ηj））称为称为 的傅里叶（的傅里叶（FourierFourier）系数）系数. . 13©2009,HenanPolytechnicUniversity13§ §8 8 8 8 酉空间酉空间酉空间酉空间第九章第九章第九章第九章 欧几里得空间欧几里得空间欧几里得空间欧几里得空间n维酉空间维酉空间V V 中，向量组中，向量组η1,η2,…,ηn是是V V 的一个的一个标准正交基，向量组标准正交基，向量组 1, 2,…, n 满足满足则则 i在标准正交基在标准正交基η1,η2,…,ηn下下的坐标是的坐标是P的第的第i列列Xi , ,，于是，于是 1, 2,…, n 是是V V 的一个标准正交基的一个标准正交基 14©2009,HenanPolytechnicUniversity14§ §8 8 8 8 酉空间酉空间酉空间酉空间第九章第九章第九章第九章 欧几里得空间欧几里得空间欧几里得空间欧几里得空间 15©2009,HenanPolytechnicUniversity15§ §8 8 8 8 酉空间酉空间酉空间酉空间第九章第九章第九章第九章 欧几里得空间欧几里得空间欧几里得空间欧几里得空间定义定义定义定义5 5 对对对对复数方阵复数方阵 P，用，用 P 表示以表示以 P 的的元素元素的共轭复数作元素的矩阵的共轭复数作元素的矩阵.如如 P 满足满足则称之为则称之为酉矩阵酉矩阵.它的行列式的绝对值等于它的行列式的绝对值等于1 .或 16©2009,HenanPolytechnicUniversity16§ §8 8 8 8 酉空间酉空间酉空间酉空间第九章第九章第九章第九章 欧几里得空间欧几里得空间欧几里得空间欧几里得空间两组标准正交基的过渡矩阵是酉矩阵两组标准正交基的过渡矩阵是酉矩阵.类似于欧氏空间的正交变换和对称矩阵，可以类似于欧氏空间的正交变换和对称矩阵，可以引进酉空间的酉变换和埃尔米特矩阵引进酉空间的酉变换和埃尔米特矩阵. 它们也分别它们也分别具有正交变换和对称矩阵的一些重要性质，我们把具有正交变换和对称矩阵的一些重要性质，我们把它列举在下面：它列举在下面：1)1) 酉空间酉空间 V 的线性变换的线性变换 A ，，如果满足如果满足(A , A ) = ( , )，，就称为就称为 V 的一个的一个酉变换酉变换.酉变换在标准正交基下酉变换在标准正交基下的矩阵是酉矩阵的矩阵是酉矩阵. 17©2009,HenanPolytechnicUniversity17§ §8 8 8 8 酉空间酉空间酉空间酉空间第九章第九章第九章第九章 欧几里得空间欧几里得空间欧几里得空间欧几里得空间2)2) 如果矩阵如果矩阵 A 满足满足AT = A，，则叫则叫埃尔米特埃尔米特(Hermite)矩阵矩阵. 在酉空间在酉空间 Cn 中令中令则则(A , ) = ( , A )，，A 也是对称变换也是对称变换. 18©2009,HenanPolytechnicUniversity18§ §8 8 8 8 酉空间酉空间酉空间酉空间第九章第九章第九章第九章 欧几里得空间欧几里得空间欧几里得空间欧几里得空间3)3) V 是酉空间，是酉空间，V1 是子空间，是子空间，V1 是是 V1 的的正交补，则正交补，则 V = V1 V1 .又设又设 V1 是对称变换的不变子空间，则是对称变换的不变子空间，则 V1 也也是不变子空间是不变子空间.4)4) 埃尔米特矩阵的特征值为实数埃尔米特矩阵的特征值为实数.它的属于它的属于不同特征值的特征向量必正交不同特征值的特征向量必正交.5)5) 若若 A 是埃尔米特矩阵，则有酉矩阵是埃尔米特矩阵，则有酉矩阵 C，使，使C-1AC = CTAC是对角形矩阵是对角形矩阵. 19©2009,HenanPolytechnicUniversity19§ §8 8 8 8 酉空间酉空间酉空间酉空间第九章第九章第九章第九章 欧几里得空间欧几里得空间欧几里得空间欧几里得空间6)6) 设设 A 是埃尔米特矩阵，二次齐次函数是埃尔米特矩阵，二次齐次函数叫做叫做埃尔米特二次型埃尔米特二次型.必有酉矩阵必有酉矩阵 C，，当当 X=CY时时 。