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1、第三章 函数的极限与连续性本章学习要求： 了解函数极限的概念，知道运用“”和 “X ”语言描 述函数的极限。 理解极限与左右极限的关系。熟练掌握极限的四则运算法则 以及运用左右极限计算分段函数在分段点处的极限。 理解无穷小量的定义。理解函数极限与无穷小量间的关系。 掌握无穷小量的比较，能熟练运用等价无穷小量计算相应的 函数极限。了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。 理解极限存在准则。能较好运用极限存在准则和两个重要极 限求相应的函数极限。 理解函数在一点连续以及在区间上连续的概念，会判断函数 间断点的类型。了解基本初等函数和初等函数的连续性以及 闭区间上连续函数的性质（介值定理、最值定理）
2、。第二章 极限与连续第六节 函数的连续性及其性质一、一、连续函数的概念二. 函数的间断点三.连续函数的运算 及其基本性质 四.初等函数的连续性一、连续函数的概念极限形式增量形式设 f (x) 在 U(x0) 内有定义, 若则称函数 f (x) 在点 x0 处是连续的.1.函数连续性的定义 (极限形式) 可减弱：x0 为聚点 函数的连续性是一个局部性的概念, 是逐点定义的.定义定义定义定义是整个邻域函数 f (x ) 在点 x0 处连续, 应该满足以下三点：(1) f (x) 在 U(x0) 内有定义；(包括在点 x0 处有定义)(极限值等于函数在点 x0 处的函数值)函数 y = x2 在点
3、x = 0 处是否连续 ? 函数 y = x2 在点 x = 0 处连续.又且 y = x 2 在 U(0) 内有定义,例1解3.连续性概念的增量形式在某过程中, 变量 u 的终值 u2 与它的初值 u1 的差 u2 u1, 称为变量 u 在 u1处的增量, 记为 u = u2u1.定义定义定义定义u 是一个整体记号, 它可以取正值、负值或零. 有时我们也称 u 为变量 u 在 u1 处的差分. 设函数 f (x) 在 U(x0)内有定义, xU(x0) , 则称x = x x0 为自变量 x 在 x0 点处的增量. = f (x0 + x) f (x0 )y = f (x) f (x0 )x
4、yOx0xxyy = f (x)此时, x = x0 + x , 相应地, 函数在点 x0 点处有增量 y 连续性概念的增量形式则称 f (x) 在点 x0 处连续.设 f (x) 在 U(x0) 内有定义. 若定义定义定义定义自变量的增量趋于零时, 函数的增量也趋于零.4.函数的左、右连续性设函数 f (x) 在 x0, x0+ ) 内有定义. 若则称 f (x) 在 x0 点处右连续.设函数 f (x) 在 (x0 , x0 内有定义. 若则称 f (x) 在 x0 点处左连续.其中, 为任意常数.定义定义定义定义 函数在点 x0 连续, 等价于它在点 x0 既 左连续又右连续.定理定理定
5、理定理讨论 y = | x |, x() 在点 x = 0 处 y = | x | 在点 x = 0 处连续.xyy = | x |O的连续性.例2解讨论 y = sgn x 在点 x = 0 处的连续性.sgn x1,x 0,sgn x|x=0=sgn 0 = 0故符号函数 y = sgn x 在点 x = 0 处不连续.0,x = 0,1,x 1, 但由于例4解二. 函数的间断点 通常将函数的不连续点叫做函数的间断点.函数 f (x ) 在点 x0 处连续, 应该满足以下三点：(1) f (x) 在 U(x0) 内有定义; (包括在点 x0 处有定义)(极限值等于函数在点 x0 处的函数值
6、)(1) f (x) 在 x0 处无定义.1.函数间断点的定义满足下述三个条件中的任何一个, 则称函数 f (x)若函数 f (x) 在内有定义, 且在点 x0 处在点 x0 处间断, 点 x0 称为函数 f (x) 的一个间断点：定义定义定义定义求函数间断点的途径:(1) f (x)在 x0 处无定义, 但 f (x) 在内有定义.(2)中至少有一个不存在.(3)存在, 但不相等.(4)但 a f (x0 ).2.函数间断点的分类 函数的间断点第一类间断点第二类间断点跳跃可去无穷振荡其它(1) 第一类间断点若 x0 为函数 f (x) 的一个间断点, 且f (x) 的第一类间断点.则称 x0 为函数定义定义定义定义讨论函数 f (x)=x +1 x 0sinx x 0. 时, 幂指函数 g(x)h(x) 也是连续函数.当 g(x) 与 h(x) 均为连续函数, 且 g(x) 0(3)(2)(1)例15四.初等函数的连续性 基本初等函数在其定义域内是连续的. 初等函数在其有定义的区间内连续. 注意两者的区别！求 连续性给极限运算带来很大方便.例16解注意夹逼定理例17解解由于初等函数在其有定义的区间内是连续的,夹逼定理所以在其上是连续的.例18解处连续即可. 即应有解此方程组得所求:
