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1、19.319.3正方形第二课时正方形第二课时中学生导报中学生导报平行四边形菱形定义定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形平行四边形一个角是直角一个角是直角矩形矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形一组邻边相等一组邻边相等八年级八年级 数学数学第第十十九九章章 四四边边形形复习：复习：知识回顾知识回顾:定义定义 边边角角对对 角角 线线对对 称称 性性平行平行四边四边形形 矩矩 形形 菱菱 形形 几种特殊四边形的定义及性质几种特殊四边形的定义及性质 对边平行对边平行 且相等且相等对边平行对边平行 且相等且相等对边平
2、行对边平行，四边都，四边都相等相等对角相等，对角相等，邻角互补邻角互补 四个角四个角都是直角都是直角对角相等，对角相等，邻角互补邻角互补对角线对角线互相平分互相平分对角线相等对角线相等且互相平分且互相平分对角线互相对角线互相垂直平分，垂直平分，每条对角线每条对角线平分一组对平分一组对角角中心对中心对称图形称图形轴对称轴对称图形、图形、中心对中心对称图形称图形 轴对称轴对称图形、中图形、中心对称图心对称图形形两组对边两组对边分别平行分别平行的四边形的四边形有一个角有一个角是直角的是直角的平行四边平行四边形形有一组邻有一组邻边相等的边相等的平行四边平行四边形形2002年世界数学大会会标年世界数学大
3、会会标j j1 1、给你一张正方形的彩色纸，你能一刀剪出如、给你一张正方形的彩色纸，你能一刀剪出如图的正方形孔吗？图的正方形孔吗？正方形正方形矩形矩形2 2、给你一张矩形纸能把它折成一个正方形吗？、给你一张矩形纸能把它折成一个正方形吗？邻边相等的矩形邻边相等的矩形正方形正方形矩形矩形实验与观察一：折叠矩形纸片折叠矩形纸片正方形正方形菱形菱形想一想想一想菱形经这样变化能成为正方形呢？菱形经这样变化能成为正方形呢？一个角是直角的菱形一个角是直角的菱形正方形正方形菱形菱形实验与观察二：转动菱形模型转动菱形模型一起探究一起探究1.矩形满足什么条件时，就是正方形？矩形满足什么条件时，就是正方形？2.菱形
4、满足什么条件时，就是正方形？菱形满足什么条件时，就是正方形？3.平行四边形满足什么条件时，就是平行四边形满足什么条件时，就是 正方形？正方形？4.四边形满足什么条件时，就是正方四边形满足什么条件时，就是正方形？形？探探 究（二）究（二）菱形怎样变化后就成了正方形呢菱形怎样变化后就成了正方形呢?正方形正方形有一个直角有一个直角有一个直角有一个直角矩形矩形有一个直角有一个直角矩形矩形有一个直角有一个直角一组邻边相等一组邻边相等矩形矩形菱形菱形有一个直角有一个直角一组邻边相等一组邻边相等矩形矩形菱形菱形平行四边形平行四边形有一个直角有一个直角一组邻边相等一组邻边相等矩形矩形菱形菱形平行四边形平行四边
5、形有一个直角有一个直角一组邻边相等一组邻边相等矩形矩形菱形菱形平行四边形平行四边形有一个直角有一个直角一组邻边相等一组邻边相等矩形矩形菱形菱形一组邻边相等一组邻边相等平行四边形平行四边形有一个直角有一个直角一组邻边相等一组邻边相等矩形矩形菱形菱形一组邻边相等一组邻边相等平行四边形平行四边形有一个直角有一个直角一组邻边相等一组邻边相等矩形矩形菱形菱形一组邻边相等一组邻边相等平行四边形平行四边形有一个直角有一个直角一组邻边相等一组邻边相等矩形矩形菱形菱形一组邻边相等一组邻边相等有一个直角有一个直角正方形正方形平行四边形平行四边形你能给正方形下一个定义吗？你能给正方形下一个定义吗？探究小结探究小结矩
6、 形正方形邻边邻边相等相等发现：发现： 一组邻边相等的矩形一组邻边相等的矩形 是正方形是正方形 菱菱 形形一个角一个角是直角是直角正方形发现：发现： 一个角为直角的菱形一个角为直角的菱形是正方形是正方形正方形定义正方形定义有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形有一个角有一个角是直角是直角有一组邻边有一组邻边相等相等有一组邻边有一组邻边相等相等有一个角是有一个角是直角直角有一组邻边相等且有有一组邻边相等且有一个角是直角一个角是直角这是从边角方面理解这是从边角方面理解正方形、矩形、正方形、矩形、菱形及平行四边形四者之间的关系菱形及平
7、行四边形四者之间的关系。平行四边形平行四边形正方形正方形矩形矩形菱形菱形一组邻边相一组邻边相等等一组邻边相一组邻边相等等一内角是直一内角是直角角一内角是直一内角是直角角平行四边形平行四边形正方形正方形一组邻边相等一组邻边相等一内角是直角一内角是直角定义：定义：一组一组邻边相等邻边相等，且有，且有一个角是直角一个角是直角的平行四边的平行四边形叫做形叫做正方形正方形:正方形有那些性质正方形有那些性质?观察思考：正方形是中心对称图形吗观察思考：正方形是中心对称图形吗?八年级八年级 数学数学既是中心对称图形轴对称既是中心对称图形轴对称第第十十九九章章 四四边边形形边边: 对边平行对边平行 四边相等四边
8、相等角角 ：四个角都是直角四个角都是直角对角线：对角线： 相等相等 互相垂直平分互相垂直平分正方形是轴对称图形正方形是轴对称图形, ,也是中心对称图形也是中心对称图形= =菱形性质菱形性质每条对角线平分一组对角。每条对角线平分一组对角。正方形性质正方形性质边边角角对角线对角线对称性对称性图图形形语语言言 文文字字语语言言 符符号号语语言言ACDBACDBACDBO对边平行，对边平行， 四条四条边都边都相等相等 四四 个个 角角 都是直角都是直角对角线互相垂直对角线互相垂直平分且相等，每平分且相等，每条对角线平分一条对角线平分一组对角组对角 四边形四边形ABCD是是正方形正方形AB CD AD
9、BC, AB=BC=CD=AD 四边形四边形ABCD是是正方形正方形A= B= C= D=90 四边形四边形ABCD是正方形是正方形AC BD,AC=BD,OA=OB=OC=OD, 1= 2= 3= 4= 5= 6= 7= 8轴轴对对称称图图形形 中中心心对对称称图图形形12345678一个矩形的条对角线互相垂直，一个矩形的条对角线互相垂直，它是正方形吗？它是正方形吗？一个菱形的条对角线相等，它一个菱形的条对角线相等，它是正方形吗？是正方形吗？思考：思考：平平行行四四边边形形矩矩形形菱菱形形正正方方形形对角线对角线相等相等对角线对角线垂直垂直对角线对角线相等相等对角线对角线垂直垂直对角线垂对角
10、线垂直且相等直且相等这是从对角线角度理解四者的关系这是从对角线角度理解四者的关系平行四边形平行四边形矩矩形形菱菱形形正正方方形形正方形、菱形、矩形、平行四边形四者之间有什么关系？正方形、菱形、矩形、平行四边形四者之间有什么关系？平行四边形平行四边形正方形正方形一组邻边相等一组邻边相等一内角是直角一内角是直角1 1、 正方形正方形菱形菱形 2 2、一内角是直角一内角是直角矩形矩形3 3、一组邻边相等一组邻边相等正方形正方形 你觉得什么样的四边形是正方形呢你觉得什么样的四边形是正方形呢?( ?( 判断一个判断一个四边形是正方形有哪些方法？）四边形是正方形有哪些方法？）议一议议一议5种识种识别方法别
11、方法三个角是直角三个角是直角四条边相等四条边相等一个角是直角一个角是直角或或对角线相等对角线相等一组邻边相等一组邻边相等或或对角线垂直对角线垂直一组邻边相等一组邻边相等或或对角线垂直对角线垂直一个角是直角一个角是直角或或对角线相等对角线相等一个角是直角且一组邻边相等一个角是直角且一组邻边相等平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结根据图形所具有的性质根据图形所具有的性质,在下表相应的空格中在下表相应的空格中打打 ”平行四边形平行四边形矩形矩形菱形菱形正方形正方形对边平行且相等对边平行且相等四边都相等四边都相等四个角都是直角四个角都是直角对角线互相平分对角
12、线互相平分对角线互相垂直对角线互相垂直对角线相等对角线相等小结与复习小结与复习正方形性质1正方形性质2四个角都是直角四个角都是直角 相相等等并并且且互互相相垂垂直直平平分分，每每一一条对角线平分一组对角条对角线平分一组对角(1)正方形的性质有那些?ABCD正方形ABCDA= B= C= D=90AB=BC=CD=AD正方形ABCDABCDOAC=BD,ACBDAC平分BAD和BCDBD平分ABC和ADC角:四条边相等对角线:边:例例例例 求证求证: 正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形三角形.这是一道文字证明题这是一道文
13、字证明题,该怎么做该怎么做?你会做吗你会做吗?第一步第一步:根据题意画出图形根据题意画出图形第二步第二步:写出已知、求证写出已知、求证第三步第三步：进行证明进行证明ADCBO 已知已知:如图如图,四边形四边形ABCD是正方形是正方形,对对 角角线线AC、BD相交于点相交于点O. 求证求证:ABO、 BCO、 CDO、 DAO是全等的等腰直角三角形是全等的等腰直角三角形.证明证明: 四边形四边形ABCD是正方形是正方形, AC=BD,AC BD,AO=BO=CO=DO. ABO、 BCO、 CDO、 DAO都是等腰直角都是等腰直角三角形三角形,并且并且 ABO BCO CDO DAO分析分析:利
14、用正方形的性质利用正方形的性质,对角线互相垂直平分且相等对角线互相垂直平分且相等,每条对每条对角线平分一组对角角线平分一组对角.平分平分可以产生可以产生线段等量关系线段等量关系,垂直垂直可以产生可以产生直角直角,于是可以得到四个全等的等腰直角三角形于是可以得到四个全等的等腰直角三角形.ADCBO 正方形对角线把正方形分成多少个等腰直角三角形？正方形对角线把正方形分成多少个等腰直角三角形？拓展讨论拓展讨论:结论：结论： 分成八个等腰直角三角形，分别是分成八个等腰直角三角形，分别是ABC、 ADC、 ABD、 BCD ；AOB、 BOC、 COD、 DOA.ABCDO(1)(1)正方形的一条对角线
15、把正方形分成两个全等的正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的 等腰直角三角形（等腰直角三角形（ ）(2)(2)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形（对角线互相垂直且相等的四边形是正方形（ ）(3)(3)如果一个菱形的对角线相等，那么它一定如果一个菱形的对角线相等，那么它一定 是正方形是正方形 （ ）(4)(4)如果一个矩形的对角线互相垂直，那么它如果一个矩形的对角线互相垂直，那么它 一定是正方形一定是正方形 （ ）(5)(5)四条边相等，且有一个角是直角的四边形四条边相等，且有一个角是直角的四边形 是正方形（是正方形（ ）试一试试一试 、对角线相等的菱形是正方形对角线相等的菱形是正方形 、对
16、角线互相垂直的矩形是正方形对角线互相垂直的矩形是正方形、对角线互相垂直且相等的四边对角线互相垂直且相等的四边 形是正方形形是正方形 四条边都相等的四边形是正方形四条边都相等的四边形是正方形、四个角都相等的四边形是正方形四个角都相等的四边形是正方形、四边相等，有一个角是直角的四四边相等，有一个角是直角的四 边形是正方形边形是正方形. （ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）判断判断 对对 错错 下列说法对吗下列说法对吗?（1）四个角都相等的四边形是正方形）四个角都相等的四边形是正方形（2）四条边都相等的四边形是正方形）四条边都相等的四边形是正方形（3）四边相等，有一角是直角的四边形是正方形）四边相等
17、，有一角是直角的四边形是正方形 (4) 正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰 直角三角形直角三角形 (5) 正方形是轴对称图形正方形是轴对称图形,一共有一共有2条对称轴条对称轴1 1、判断判断判断判断：（1 1）正方形一定是矩形（）正方形一定是矩形（）正方形一定是矩形（）正方形一定是矩形（ ）（2 2）正方形一定是菱形（）正方形一定是菱形（）正方形一定是菱形（）正方形一定是菱形（ ）（3 3）菱形一定是正方形（）菱形一定是正方形（）菱形一定是正方形（）菱形一定是正方形（ ）（4 4）矩形一定是正方形（）矩形一定是正方形（）矩形一定是正方形（）
18、矩形一定是正方形（ ）（5 5）正方形、矩形、菱形都是平行四边形。）正方形、矩形、菱形都是平行四边形。）正方形、矩形、菱形都是平行四边形。）正方形、矩形、菱形都是平行四边形。 （ ）。）。）。）。对对错错对综合训练综合训练:2 2、在下列性质中，平行四边形具有的是、在下列性质中，平行四边形具有的是、在下列性质中，平行四边形具有的是、在下列性质中，平行四边形具有的是_，矩形具有的是，矩形具有的是，矩形具有的是，矩形具有的是_ _ 。菱形具有的是菱形具有的是菱形具有的是菱形具有的是_ _ 。 正正正正方形具有的是方形具有的是方形具有的是方形具有的是 。 （1 1）四边都相等；）四边都相等；）四边都
19、相等；）四边都相等； （2 2）对角线互相平分；）对角线互相平分；）对角线互相平分；）对角线互相平分； （3 3）对角线相等；）对角线相等；）对角线相等；）对角线相等； （4 4）对角线互相垂直；）对角线互相垂直；）对角线互相垂直；）对角线互相垂直； （5 5）四个角都是直角；）四个角都是直角；）四个角都是直角；）四个角都是直角； （6 6）每条对角线平分一组对角；）每条对角线平分一组对角；）每条对角线平分一组对角；）每条对角线平分一组对角； （7 7）对边相等且平行；）对边相等且平行；）对边相等且平行；）对边相等且平行； （8 8）既是轴对称图形）既是轴对称图形）既是轴对称图形）既是轴对称图
20、形, , 又是中心对称图形又是中心对称图形又是中心对称图形又是中心对称图形. .2、72、3、5、7、8 1、2、4、6、7、81、2、3、4、5、6、7、81.正方形具有而矩形不一定具有的性质是（正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）2. A、四个角相等、四个角相等.3. B、对角线互相垂直、对角线互相垂直.4. C、对角互补、对角互补.5. D、对角线相等、对角线相等.2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（正方形具有而菱形不一定具有的性质（ ） A、四条边相等、四条边相等. B、对角线互相垂直、对角线互相垂直. C、对角线平分一组对角、对角线平分一组对角. D、对角线相等、对角线相等.B
21、D3 3、如图：正方形、如图：正方形ABCDABCD的周长为的周长为15cm15cm，则矩形则矩形EFCGEFCG的周长为的周长为 cmcm。 ABCDEGF7.57.5试一试试一试1.1.已知：正方形已知：正方形ABCDABCD对角线对角线ACAC、BDBD相相交于点交于点O O，且，且ABAB2cm2cm，则，则AC=AC= , , 正方形的面积正方形的面积S=_.S=_. 224 46 636362.2.已知：在正方形已知：在正方形ABCDABCD中，对角线中，对角线ACAC、BDBD相交于点相交于点O O，且，且ACAC6 cm6 cm，面积面积S=S=_. .则边长则边长ABAB_,
22、 , 例例1 1：1 1、要使一个菱形成为正方形需、要使一个菱形成为正方形需 增加的条件是增加的条件是（填上一个条件即可）（填上一个条件即可）2 2、要使一个矩形成为正方形需、要使一个矩形成为正方形需添加的条件是添加的条件是（填上一个条件即可（填上一个条件即可）3、下列命题正确的是（、下列命题正确的是（ ） A、四个角都相等的四边形是正方形、四个角都相等的四边形是正方形 B、四条边都相等的四边形是正方形、四条边都相等的四边形是正方形 C、对角线相等的平行四边形是正方形、对角线相等的平行四边形是正方形 D、对角线互相垂直的矩形是正方形、对角线互相垂直的矩形是正方形D例：下列正确的是例：下列正确的
23、是. 四边相等的四边形是正方形四边相等的四边形是正方形四角相等的四边形是正方形四角相等的四边形是正方形对角线垂直的平行四边形是正方形对角线垂直的平行四边形是正方形对角线互相垂直平分且相等的四边对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形形是正方形已知四边形已知四边形ABCDABCD是平行四边形，对角线是平行四边形，对角线ACAC、BDBD相交于点相交于点O O。若若AB=BC，则四边形，则四边形ABCD是（是（ ）若若AC=BD，则四边形，则四边形ABCD是（是（ ）若若BCD=900，则四边形，则四边形ABCD是（是（ ）若若OA=OB，则四边形，则四边形ABCD是（是（ ）若若AB=BC，且，
24、且AC=BD，则四边形，则四边形ABCD是是 （ ）菱形菱形矩形矩形矩形矩形矩形矩形正方形正方形 1四个内角都相等的四边形一定是（四个内角都相等的四边形一定是（ ）A、正方形、正方形 B、菱形、菱形 C、矩形、矩形 D平行四边形平行四边形 2在四边形在四边形ABCD中，中，O是对角线的交点，是对角线的交点，能判定这个四边形是正能判定这个四边形是正 方形的是：（方形的是：（ ）AAOBOCODO，ACBD BADBC AC CAOCOBODOABBC DACBD CA3四个内角都相等，四条边也都相等的四个内角都相等，四条边也都相等的四边形一定是：（四边形一定是：（ ）A正方形正方形 B菱形菱形
25、C矩形矩形 D平行四边形平行四边形A数一数图中正方形的个数，你发现了什么数一数图中正方形的个数，你发现了什么？多多多多多多 （）个（）个（）个 （）个第第n个图中正方形有个图中正方形有 个个3n-1长见识长见识1、如图，正方形、如图，正方形ABCD的边长为的边长为4cm，则图中阴影部分，则图中阴影部分的面积为的面积为 平方厘米平方厘米ABCD2、如图，在等腰、如图，在等腰RtABC中，中，C=90，正方形，正方形DEFG的顶点的顶点D在边在边AC上，点上，点E、F在边在边AB上，点上，点G在在边边BC上上.（1）求证）求证AE=BF；（2）若）若BC= cm，求正方形，求正方形DEFG的边长的
26、边长. 例题例题：如图，在正方形如图，在正方形ABCD中，点中，点E在对在对角线角线AC上，那么，上，那么，BE和和DE相等吗？为什么？相等吗？为什么？ABCDE解：解：BE=DE.因为因为 对角线对角线AC所在的直所在的直线是正方形线是正方形ABCD的对的对称轴，而点称轴，而点E在对称轴上，在对称轴上，点点B为点为点D关于关于AC的对的对称点，称点，所以所以 BE=DE(2)若若AC=4，则正方形边长，则正方形边长 ; 正方形的面积是正方形的面积是四边形四边形ABCD是正方形是正方形,两条对角线相交两条对角线相交于点于点O,(1)求求AOB,OAB的度数。的度数。8解：解：（1）四边形四边形
27、ABCD是正方形是正方形 ACBDAOB=900 BAC=DAC OAB=450 ABCDOE4(3)正方形的面积正方形的面积64cm，则对角线交点到正方，则对角线交点到正方形一边的距离形一边的距离22 AC为正方形为正方形ABCD的对角线的对角线,E为为AC上一上一点，且点，且AB=AE， EFAC交交BC于于F. 请说请说明：明：EC=EF=FBABCDEF解：解： 四边形四边形ABCD是正方形是正方形 B=900 , ACB=450 AEF=900 AB=AE AF=AF ABFAFE(HL） BF=EF 又又FEC=900, ECF=45EFC=45 EC=EF（等角对等边）（等角对等
28、边） BF=EF=EC例例2如图如图(3)，正方形，正方形ABCD中，中，AC、BD相交于相交于O， 分析：分析：要证明要证明BMCN，大家观察大家观察图形可以考虑证哪两个三角形全等图形可以考虑证哪两个三角形全等 ? MNAB且且MN分别交分别交OA、OB于于M、N，求证：求证：BMCN。 你能完成证明吗你能完成证明吗?ABBC，1245 条件够吗？条件够吗？还需要的条件是还需要的条件是 AMBNABMBCN你所要证明的两个三角形已经满足你所要证明的两个三角形已经满足了哪些条件了哪些条件?由正方形可以得到的条件有：由正方形可以得到的条件有：例例2如图如图(3)，正方形，正方形ABCD中，中，A
29、C、BD相交相交于于O，MNAB且且MN分别交分别交OA、OB于于M、N，求证：求证：BMCN。 证明：证明：四边形四边形ABCD是正方形是正方形 OAOB ,12345 又又MNAB OMN13ONM45 OMON OAOMOBON 即即AMBN下面大家自己完成证明下面大家自己完成证明4 4、已知：如图矩形、已知：如图矩形ABCD,ABCD,对角线对角线ACAC、BDBD相交于点相交于点O O，AEAE平分平分BADBAD交交BCBC于于点点E E，连接，连接OEOE，若，若EAO=15EAO=150 0，求，求BOEBOE的度数。的度数。OABCDE1、已知正方形、已知正方形ABCD的边长
30、为的边长为4，E为为BC边上边上一点，且一点，且BE=1，P为为AC上一点，求上一点，求PE+PB的的最小值最小值.2、在正方形在正方形ABCDABCD中中,AC,AC是对角线是对角线,AE,AE平分平分BAC,BAC,试猜想试猜想ABAB、ACAC、BEBE之间的关系，并证明之间的关系，并证明你的猜想你的猜想GFEDABC5 5、在正方形、在正方形ABCDABCD中，中，AC=10AC=10，P P是是ABAB上任意一点，上任意一点，PEACPEAC于点于点E E，PFBDPFBD于点于点F F，求，求PE+PFPE+PF的值。的值。ABCDEPF6、如图，正方形如图，正方形ABCDABCD
31、的边长为的边长为8 8， M M在在DCDC上，且上，且DM=2DM=2，N N是是ACAC上一个动上一个动点，求点，求DN+MNDN+MN的最小值。的最小值。ABCDMN7 7、已知，如图在、已知，如图在ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，ADBCADBC，垂足为点，垂足为点D D，ANAN是是ABCABC外角外角CAMCAM的平分线，的平分线，CEANCEAN垂足为点垂足为点E E，求证：四边形求证：四边形ADCEADCE是矩形。是矩形。当当ABCABC满足什么条件时，四边形满足什么条件时，四边形 ADCEADCE是正方形，说明理由。是正方形，说明理由。ABCEMND例例2 2、 直
32、角三角形直角三角形ABCABC中，中，CDCD平分平分ACBACB交交ABAB于于D D，DEACDEAC，DFABDFAB. .求证：四边形求证：四边形CEDFCEDF是正方形。是正方形。ABCDEF1 1、如图，在、如图，在ABAB上取一点上取一点C C，以，以ACAC、BCBC为正方形的为正方形的一边在同一侧作正方形一边在同一侧作正方形AEDCAEDC和和BCFGBCFG连结连结AFAF、BDBD延延长长BDBD交交AFAF于于H.H.求证：求证：(1) ACFDCB (2) BHAF(1) ACFDCB (2) BHAF 练一练练一练巩固练习巩固练习已知：如图已知：如图(4)在正方形在
33、正方形ABCD中，中，F为为CD延长线延长线 上一点，上一点，CEAF于于E，交，交AD于于M， 求证：求证：MFD45分析：分析：欲证欲证MFD45，由于，由于MDF是直角三角形是直角三角形,只须证只须证MDF是等腰三角形是等腰三角形,即只要证即只要证 _=_要证要证MDFD，大家只须证得哪两个三角形全等，大家只须证得哪两个三角形全等? CMDADF2 2、如图、如图(6)(6)，ABCABC的外面作正方形的外面作正方形ABDEABDE和和ACFGACFG，连，连结结BGBG、CECE，交点为，交点为N N。求证：求证：CEACEAABGABG 如图如图B、C、E是同一直线上的三个点，是同一
34、直线上的三个点，四边形四边形ABCD与与CEFG是正方形，连接是正方形，连接BG、DE（1）观察、猜想）观察、猜想BG与与DE之间的大小关之间的大小关系，并说明理由。系，并说明理由。（2）正方形）正方形CEFG在绕点在绕点C旋转过程中，旋转过程中，BG与与DE之间的关系是否仍然成立。之间的关系是否仍然成立。ABCEFDGADBGFEC如图，如图，M为正方形为正方形ABCD边边AB的中点，的中点，E是是AB延长线上一点，延长线上一点，MN DM，且交，且交CBE的平分线于点的平分线于点N。（1）求证：）求证：MD=MN（2）若将上述条件中的）若将上述条件中的“M是是AB的中点的中点”改为改为“M
35、为为AB上任意一点上任意一点”，其它条件不，其它条件不变，问结论变，问结论MD=MN是否仍然成立。是否仍然成立。ABCDMENFABCDENMPABDCFE4 4、如图，在正方形、如图，在正方形ABCDABCD中，中，E E在在BCBC的延长线上，的延长线上，且且CE=ACCE=AC，AEAE交交CDCD于于F F，则求，则求AFCAFC的度数的度数. .5 5、在、在ABCABC中中,AB=AC,D,AB=AC,D是是BCBC的中点的中点,DEAB,DEAB,DFAC,DFAC,垂足分别是垂足分别是E,F.E,F.1)1)试说明试说明:DE=DF:DE=DF2)2)只添加一个条件只添加一个条
36、件, ,使四边形使四边形EDFAEDFA是正方形是正方形. .请你至少写出两种不同的添加方法请你至少写出两种不同的添加方法.(.(不另外不另外添加辅助线添加辅助线, ,无需证明无需证明) )条件：条件： A=90A=90AD=BD练习练习1 提示：有一组邻边相等的矩形是正方形提示：有一组邻边相等的矩形是正方形ABDCEF正方形正方形裁裁ADCBE练习练习2提示：寻找直角三角形，运用直角三角形求边长和对角线提示：寻找直角三角形，运用直角三角形求边长和对角线.小结小结1、正方形定义、正方形定义有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形2
37、、正方形有哪些性质、正方形有哪些性质?对边平行，四条边都相等对边平行，四条边都相等四个角都是直角四个角都是直角对角线互相垂直平分且相等，对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角每条对角线平分一组对角边边：角：角：对角线：对角线：思考思考: 如何设计花坛？如何设计花坛？ 在一块正方形的花坛上，欲修建两条在一块正方形的花坛上，欲修建两条直的小路，使得两条直的小路将花坛平直的小路，使得两条直的小路将花坛平均分成面积相等的四部分（不考虑道路均分成面积相等的四部分（不考虑道路的宽度），你有几种方法？（至少说出的宽度），你有几种方法？（至少说出三种）三种） 请你当设计师请你当设计师(2)若若AC=
38、4，则正方形边，则正方形边长长_ ; 正方形的面积正方形的面积是是_. 3. 四边形四边形ABCD是正方形是正方形,两条对角线相交两条对角线相交于点于点O. (1) 则则AOB_ OAB=_8ABCDOEF4(3)正方形的面积正方形的面积64cm2，则对角线，则对角线交点到正方形一边的距离交点到正方形一边的距离_.229045思考题：思考题： 如图正方形如图正方形ABCDABCD的对角线相交于点的对角线相交于点O O，O O又是另一个正方形又是另一个正方形OEFGOEFG的一个顶点，若正方形的一个顶点，若正方形OEFGOEFG绕点绕点O O旋转，在旋转的过程中旋转，在旋转的过程中. .探究二探
39、究二: :若正方形若正方形OEFGOEFG与正方形与正方形ABCDABCD两边两边分别相交于分别相交于M NM N，试判断线段，试判断线段AMAM于于BNBN之间之间的关系的关系. .探究一探究一: :两个正方形重叠部分的面积是否会两个正方形重叠部分的面积是否会发生变化？并说明理由。发生变化？并说明理由。探究四：探究四： 如图，有两个大小不等的两个正如图，有两个大小不等的两个正 方形，其中小正方形的面积是大正方形面方形，其中小正方形的面积是大正方形面积的一半，若阴影部分的面积为积的一半，若阴影部分的面积为8 8，则小正，则小正方形的边长为多少？方形的边长为多少？探究三探究三: 若正方形若正方形
40、OEFGOEFG继续旋转时，继续旋转时，AM AM 与与 BNBN之间的关系是否还之间的关系是否还成立？成立？平行四边形菱形定义定义:有一组有一组邻边相等邻边相等的的平行四边形平行四边形叫做菱形叫做菱形平行四边形一个角是直角一个角是直角矩形矩形定义：有一个角是定义：有一个角是直角直角的平行四边形叫做的平行四边形叫做矩形矩形邻边相等邻边相等图图形形 性质性质 识别识别平平行行四四边边形形矩矩形形菱菱形形对边相等、对角相等、对对边相等、对角相等、对角线互相平分、中心对称角线互相平分、中心对称图形。图形。四个内都是直角、对角线四个内都是直角、对角线相等、既相等、既 是中心对称又是中心对称又是轴对称是
41、轴对称四边相等、对角线互相垂四边相等、对角线互相垂直且每条对角线平分一组直且每条对角线平分一组对角、既对角、既 是中心对称又是是中心对称又是轴对称轴对称、一组对边一组对边 平行平行且相等、两且相等、两组对边分别平行、两组对组对边分别平行、两组对边分别相等、两组对角分边分别相等、两组对角分别相等、两对角线互相平别相等、两对角线互相平分的四边形是平行四边形分的四边形是平行四边形一个角是直角的平行四边形一个角是直角的平行四边形 、三个角是直角的四边形、三个角是直角的四边形 、对角线相等的平行四边形是对角线相等的平行四边形是矩形矩形四边相等的四边形四边相等的四边形 、一组邻、一组邻边相等的平行四边形、对角边相等的平行四边形、对角线互相垂直的平行四边形是线互相垂直的平行四边形是菱形。菱形。正方形正方形2.矩形矩形有一组邻边相等有一组邻边相等3.菱形菱形有一个角是直角有一个角是直角1.平行四边形平行四边形有一组邻边相等有一组邻边相等有一个角是直角有一个角是直角常常见见说说明明方方法法
