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1、第第7章章有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计7.1线性相位线性相位FIR数字滤波器的条件和特点数字滤波器的条件和特点7.2利用窗函数法设计利用窗函数法设计FIR滤波器滤波器7.3利用频率采样法设计利用频率采样法设计FIR滤波器滤波器7.4利用等波纹最佳逼近法设计利用等波纹最佳逼近法设计FIR滤波器滤波器7.5IIR和和FIR数字滤波器的比较数字滤波器的比较7.6几几种特殊类型滤波器简介种特殊类型滤波器简介7.7滤滤波器分析设计工具波器分析设计工具FDATool7.1线性相位线性相位FIR数字滤波器的条件和特点数字滤波器的条件和特点本本节节主主要要介介绍绍FIR滤滤波波器器
2、具具有有线线性性相相位位的的条条件件、FIR滤波器的幅度特性、零点分布特点和网络结构的特点。滤波器的幅度特性、零点分布特点和网络结构的特点。1.线性相位条件线性相位条件对于长度为对于长度为N的的h(n)，传输函数为：，传输函数为：式中，式中，Hg()称为幅度特性，称为幅度特性，()称为相位特性。这里称为相位特性。这里Hg()不同于不同于|H(ej)|，Hg()为为的实函数，可能取负值，的实函数，可能取负值，而而|H(ej)|为为的正实函数。的正实函数。(7.1.1)(7.1.2)H(ej)线性相位：线性相位：()是是的线性函数的线性函数，即：，即：()=-,为常数为常数(7.1.3)若若()满
3、足下式：满足下式：()=0-,0是起始相位是起始相位(7.1.4)也称这种情况为线性相位。也称这种情况为线性相位。以上两种情况都满足以上两种情况都满足群时延是一个常数群时延是一个常数，即，即一般称：满足一般称：满足(7.1.3)式是式是第一类第一类线性相位；线性相位；满足满足(7.1.4)式为式为第二类第二类线性相位。线性相位。2.线性相位线性相位FIR的时域约束条件的时域约束条件线性相位线性相位FIR滤波器的时域约束条件是指满足线性滤波器的时域约束条件是指满足线性相位时，对相位时，对h(n)的约束条件。的约束条件。1)第一类线性相位对第一类线性相位对h(n)的约束条件的约束条件相位函数相位函
4、数()=，由式（）和（）得到，由式（）和（）得到:（7.1.5） (7.1.6)将（）式中两式相除得到：将（）式中两式相除得到：即即移项并用三角公式化简得到移项并用三角公式化简得到:（）（）函数函数h(n)sin(n)关于求和区间的中心关于求和区间的中心(N1)/2奇对奇对称，是满足（）式的称，是满足（）式的一组解一组解。因为因为sin(n)关于关于n=奇对称，如果取奇对称，如果取=(N1)/2，则要，则要求求h(n)关于关于(N1)/2偶对称，所以要求偶对称，所以要求和和h(n)满足如下条件满足如下条件:（7.1.8） 表表7.1.1线性相位线性相位FIR数字滤波器的时域和频域特性一览数字滤
5、波器的时域和频域特性一览2)第二类线性相位对第二类线性相位对h(n)的约束条件的约束条件相位函数相位函数()=/2，由式（）和（），可得到，由式（）和（），可得到:（）（）函数函数h(n)cos(n)关于关于求和区间的中心求和区间的中心(N1)/2奇奇对称对称，是满足式（）的，是满足式（）的一组解一组解，因为因为cos(n)关于关于n=偶对称，所以要求偶对称，所以要求和和h(n)满满足如下条件：足如下条件：（7.1.10） 2线性相位线性相位FIR滤波器幅度特性滤波器幅度特性Hg()的特点的特点实质上实质上，幅度特性的，幅度特性的特点特点就是线性相位就是线性相位FIR滤波器滤波器的的频域约束条
6、件频域约束条件。引入两个参数符号：引入两个参数符号： 情况情况1：h(n)=h(Nn1),N为奇数。为奇数。将时域约束条件将时域约束条件h(n)=h(Nn1)和和()=代入代入式（）和（），得到式（）和（），得到:所以所以（）（）因为因为cos(n-)关于关于=0,2三点三点偶对称偶对称，所以由，所以由式（）可以看出，式（）可以看出，Hg()关于关于=0,2三点三点偶对称偶对称。因。因此情况此情况1可以实现各种（低通、高通、带通、带阻）滤波可以实现各种（低通、高通、带通、带阻）滤波器。器。情况情况2：h(n)=h(Nn1),N为偶数。为偶数。仿照情况仿照情况1的推导方法得到的推导方法得到:（7
7、.1.12）式中，。因为式中，。因为是偶数，所是偶数，所以当时以当时而且而且cos(n)关于关于过零点奇对称过零点奇对称，关于，关于=0和和2偶对称。所以偶对称。所以Hg()=0，Hg()关于关于=奇奇对称，关于对称，关于=0和和2偶对称偶对称。因此，情况。因此，情况2不能实现高不能实现高通和带阻滤波器。通和带阻滤波器。情况情况3：h(n)=h(Nn1)，N为奇数。为奇数。将时域约束条件将时域约束条件h(n)=h(Nn1)和和()=/2代入式（代入式（7.1.1）和（）和（7.1.2），），并考虑并考虑，得到，得到:当当=0，,2时，时，sin(n)=0,且且sin(n)关于过零关于过零点奇对
8、称点奇对称Hg()关于关于=0,2三三点奇对称点奇对称情况情况3只能实现只能实现带通滤波器带通滤波器情况情况4：h(n)=h(Nn1),N为偶数。为偶数。用情况用情况3的推导过程可以得到的推导过程可以得到:（）（） N是偶数，是偶数，=(N1)/2=N/21/2。所以，当。所以，当=0,2时，时，sin(n)=0；当；当=时，时，sin(n)=(1)nN/2,为为峰值点。而且峰值点。而且sin(n)关于过零点关于过零点=0和和2两两点奇对称，关于峰值点点奇对称，关于峰值点=偶对称。因此偶对称。因此Hg()关于关于=0和和2两点奇对称，关于两点奇对称，关于=偶对称。由此可见，情况偶对称。由此可见
9、，情况4不不能实现低通和带阻滤波器。能实现低通和带阻滤波器。3.线性相位线性相位FIR滤波器零点分布特点滤波器零点分布特点线性相位的系统函数满足：线性相位的系统函数满足：(7.1.21)“+”和和“-”分别对应第一类和第二类线性相位。分别对应第一类和第二类线性相位。一般情况：一般情况：线性相位线性相位FIR零点零点分布的特点：分布的特点：互为互为倒数的共轭对倒数的共轭对图图7.1.1线性相位线性相位FIR数字滤波器的零点分布数字滤波器的零点分布当然，也有当然，也有一些特殊情一些特殊情况，如图中况，如图中z1、z2和和z4情情况。况。7.2利用窗函数法设计利用窗函数法设计FIR滤波器滤波器7.2
10、.1窗函数法设计原理窗函数法设计原理设计思想设计思想：从时域出发，设计：从时域出发，设计h(n)，逼近，逼近hd(n)。设希望设计的滤波器传输函数为设希望设计的滤波器传输函数为Hd(ej)，hd(n)是与其对是与其对应的单位脉冲响应，因此应的单位脉冲响应，因此：一旦一旦Hd(ej)给定，就可得到给定，就可得到hd(n)。一般情况下，一般情况下，Hd(ej)逐段恒定，在边界频率处有不连续点，因而逐段恒定，在边界频率处有不连续点，因而hd(n)是是无限时宽无限时宽的，且的，且是非因果是非因果的，为得到一有限长滤波器的，为得到一有限长滤波器h(n)，最直接，最直接的方法是截断的方法是截断hd(n)，
11、即用一个窗口函数，即用一个窗口函数RN(n)对对hd(n)进行加窗处理：进行加窗处理：h(n)=hd(n)RN(n)。并保证截取的一段关于并保证截取的一段关于n=（N1）/2偶对称。偶对称。相应的单位取样响应相应的单位取样响应hd(n)为：为：(7.2.1)它是一个无限长的非因果序列。波形如下图所示。它是一个无限长的非因果序列。波形如下图所示。设理想低通滤波器的传输函数设理想低通滤波器的传输函数Hd(ej)为：为：(7.2.2)实际设计的滤波器的单位脉冲响应为实际设计的滤波器的单位脉冲响应为h(n)，长度为，长度为N，其系统函数为，其系统函数为H(z)，用一个有限长的序用一个有限长的序列列h(
12、n)去代替去代替hd(n)，肯定会引起误差，肯定会引起误差图图7.2.1理想低通的单位脉冲响应及矩形窗理想低通的单位脉冲响应及矩形窗吉布斯（吉布斯（Gibbs）效应：）效应：用一个有限长的序列用一个有限长的序列h(n)去代替去代替hd(n)会引起误差，表现在频域就是会引起误差，表现在频域就是吉布斯效应吉布斯效应。该效应。该效应引起通带内和阻带内的波动性，尤其使阻带的衰减不足，引起通带内和阻带内的波动性，尤其使阻带的衰减不足，从而不能满足技术上的要求。从而不能满足技术上的要求。吉布斯效应是由于将吉布斯效应是由于将hd(n)直接截断引起的，因此，也直接截断引起的，因此，也称为称为截断效应截断效应。
13、图图7.2.2吉普斯效应吉普斯效应Hd(ej)是一个以是一个以2为周期的函数，可以展为傅里叶级数，为周期的函数，可以展为傅里叶级数，即即傅里叶级数的系数为傅里叶级数的系数为hd(n)，当然就是，当然就是Hd(ej)对对应的单位脉冲响应。设计应的单位脉冲响应。设计FIR滤波器就是根据要求找到滤波器就是根据要求找到N个傅里叶级数系数个傅里叶级数系数h(n)，n=1,2,N1，以，以N项傅氏级项傅氏级数去近似代替无限项傅氏级数，这样在一些频率不连续数去近似代替无限项傅氏级数，这样在一些频率不连续点附近会引起较大误差，这种误差就是前面说的点附近会引起较大误差，这种误差就是前面说的截断效截断效应。应。因
14、此，从这一角度来说，窗函数法也称为因此，从这一角度来说，窗函数法也称为傅氏级数法傅氏级数法。显然，选取傅氏级数的项数愈多，引起的误差就愈小，但显然，选取傅氏级数的项数愈多，引起的误差就愈小，但项数增多即项数增多即h(n)长度增加，也使成本和滤波计算量加大，长度增加，也使成本和滤波计算量加大，应在满足技术要求的条件下，尽量减小应在满足技术要求的条件下，尽量减小h(n)的长度。的长度。（7.2.4）根据傅里叶变换的时域卷积定理，得到（）式根据傅里叶变换的时域卷积定理，得到（）式的傅里叶变换：的傅里叶变换：（7.2.5）第一过零点第一过零点内为主瓣内为主瓣旁瓣旁瓣将将Hd(ej)写成写成Hd(ej)
15、=Hdg()ej ，则按照（）式，则按照（）式，理想低通滤波器的幅度特性函数为理想低通滤波器的幅度特性函数为将将Hd(ej)和和WR(ej)代入（）式，得到：代入（）式，得到：将将H(ej)写成写成H(ej)=Hg()ej ，则，则（7.2.6）加窗后的滤波器的幅度特性等于理想低通滤波器的幅度特性加窗后的滤波器的幅度特性等于理想低通滤波器的幅度特性Hdg()与与矩形窗幅度特性矩形窗幅度特性WRg()的卷积。的卷积。图图7.2.3矩形窗加窗效应矩形窗加窗效应当当=c时，如时，如(c)所示，当所示，当c2/N时，积分近似为时，积分近似为WRg()一半一半波形的积分，对波形的积分，对Hg(0)归一化
16、后的值归一化后的值近似为近似为1/2当当=0时，时，Hg(0)等于图等于图(a)与与(b)两两波形乘积的积分，相当于对波形乘积的积分，相当于对WRg()在在c之间一段波形的积分，当之间一段波形的积分，当c2/N时，近似为时，近似为之间波形的之间波形的积分积分当当=c2/N时，如时，如(d)所示，所示，WR()主瓣完全在区间主瓣完全在区间c,c之内，而最大的一个负旁瓣移到区之内，而最大的一个负旁瓣移到区间间c,c之外，因此之外，因此Hg(c2/N)有一个最大的正峰。有一个最大的正峰。当当=c+2/N时，如时，如(e)所示，所示，WRg()主瓣完全移到积分区间外边，主瓣完全移到积分区间外边，由于最
17、大的一个负旁瓣完全在区间由于最大的一个负旁瓣完全在区间c,c内，因此内，因此Hg(c+2/N)形成最大的负峰。形成最大的负峰。Hg()最大的正峰与最大的负峰对应最大的正峰与最大的负峰对应的频率相距的频率相距4/N对对hd(n)加矩形窗处理后，加矩形窗处理后，Hg()与原理想低通与原理想低通Hdg()的差别有以下两点：的差别有以下两点：在理想特性不连续点在理想特性不连续点=c附近形成过渡带。过渡带的宽附近形成过渡带。过渡带的宽度近似等于度近似等于WRg()主瓣宽度主瓣宽度4/N。通带内产生了波纹，最大的峰值在通带内产生了波纹，最大的峰值在c2/N处。阻带内处。阻带内产生了余振，最大的负峰在产生了
18、余振，最大的负峰在c+2/N处。通带与阻带中波处。通带与阻带中波纹的情况与窗函数的幅度谱有关，纹的情况与窗函数的幅度谱有关，WRg()旁瓣幅度的大旁瓣幅度的大小直接影响小直接影响Hg()波纹幅度的大小。波纹幅度的大小。v 这这两两点点就就是是对对hd(n)截截断断后后，在在频频域域的的反反映映，即即吉吉布布斯斯效应效应。如何减少吉布斯效应的影响，设计一个满足要求的如何减少吉布斯效应的影响，设计一个满足要求的FIR滤波器呢？滤波器呢？直直观观上上，增增加加矩矩形形窗窗口口的的宽宽度度（即即加加大大N）可可以以减减少少吉吉布布斯斯效效应应的影响。的影响。N 时，时，在主瓣附近，在主瓣附近，WRg(
19、)近似为：近似为：该函数的性质是：该函数的性质是：随随x (N )，主瓣幅度加高，同时旁瓣也加高，保持主瓣，主瓣幅度加高，同时旁瓣也加高，保持主瓣和旁瓣幅度相对值不变；波动的频率加快，当和旁瓣幅度相对值不变；波动的频率加快，当x时，时，sinx/x趋近于趋近于 函数，因此，当函数，因此，当N加大时，加大时，H()的波动幅度没有多的波动幅度没有多大改善。大改善。N加大带来的最大好处是过渡带变窄加大带来的最大好处是过渡带变窄(过渡带过渡带:4/N)。因此因此加大加大N并不是减少吉布斯效应的有效方法。并不是减少吉布斯效应的有效方法。图图7.2.4矩形窗函数长度的影响矩形窗函数长度的影响所以有如下结论
20、：所以有如下结论：v调整窗口长度调整窗口长度N可以有效地控制过渡带的宽度。可以有效地控制过渡带的宽度。v减少带内波动以及加大阻带的衰减只能从窗函数的形状减少带内波动以及加大阻带的衰减只能从窗函数的形状上找解决方法。上找解决方法。为了消除吉布斯效应，取得较好的频率特性，一般采用其为了消除吉布斯效应，取得较好的频率特性，一般采用其它类型的窗口，它类型的窗口，这些窗口函数在靠近两端的这些窗口函数在靠近两端的h(n)逐步衰减到零，逐步衰减到零，使窗口频谱的主瓣包含更多的能量。使窗口频谱的主瓣包含更多的能量。从而降低通带内的纹波并从而降低通带内的纹波并加大阻带的衰减。加大阻带的衰减。下面是几种常用的窗函
21、数下面是几种常用的窗函数1.矩形窗矩形窗(RectangleWindow)2.三角形窗三角形窗(BartlettWindow)3.汉宁汉宁(Hanning)窗窗-升余弦窗升余弦窗4.哈明哈明(Hamming)窗窗改进的升余弦窗改进的升余弦窗5.布莱克曼布莱克曼(Blackman)窗窗6.凯塞凯塞贝塞尔窗贝塞尔窗(Kaiser-BaselWindow)7.2.2.几种常用的窗函数几种常用的窗函数（） 为了描述方便，定义窗函数的几个为了描述方便，定义窗函数的几个参数参数:旁瓣峰值旁瓣峰值 n窗函数的幅频函数窗函数的幅频函数|Wg()|的最大旁的最大旁瓣的最大值相对主瓣最大值的衰减值（瓣的最大值相对
22、主瓣最大值的衰减值（dB）；）；过渡带宽度过渡带宽度Bg用该窗函数设计的用该窗函数设计的FIR数字滤波器数字滤波器（FIRDF）的过渡带宽度；）的过渡带宽度；阻带最小衰减阻带最小衰减 s用该窗函数设计的用该窗函数设计的FIRDF的阻带最的阻带最小衰减。小衰减。1矩形窗（矩形窗（RectangleWindow）wR(n)=RN(n)其幅度函数为其幅度函数为图图7.2.4矩形窗函数长度的影响矩形窗函数长度的影响2三角形窗（三角形窗（BartlettWindow）（） 其频谱函数为其频谱函数为其幅度函数为其幅度函数为（）（）图7.2.5 三角窗的四种波形主瓣主瓣能量能量更集更集中，中，但过但过渡带渡
23、带宽了宽了很多很多3汉宁（汉宁（Hanning）窗）窗升余弦窗升余弦窗（） 当当N1时，时，N1N汉宁窗的幅度函数汉宁窗的幅度函数WHng()由三部分相加，旁瓣互由三部分相加，旁瓣互相对消，使能量更集中在主瓣中。汉宁窗的四种波形如图相对消，使能量更集中在主瓣中。汉宁窗的四种波形如图所示，参数为所示，参数为: n=31dB;Bg=8/N; s=44dB。图图7.2.6汉宁窗的四种波形汉宁窗的四种波形4哈明（哈明（Hamming）窗）窗改进的升余弦窗改进的升余弦窗 （）其频谱其频谱函数函数WHm(ej)为为其幅度函数其幅度函数WHmg()为为当当N时，其可近似表示为时，其可近似表示为图图7.2.7
24、哈明窗的四种波形哈明窗的四种波形这种改进的这种改进的升余弦窗，升余弦窗，能量更加集能量更加集中在主瓣，中在主瓣，但其主瓣宽但其主瓣宽度和汉宁窗度和汉宁窗的相同的相同（）5布莱克曼（布莱克曼（Blackman）窗）窗其频谱函数为其频谱函数为其幅度函数为其幅度函数为幅度函数由五部分组成，它们都是移位幅度函数由五部分组成，它们都是移位不同，且幅度也不同的不同，且幅度也不同的WRg()函数，函数，使旁瓣再进一步抵消。旁瓣峰值幅度进使旁瓣再进一步抵消。旁瓣峰值幅度进一步增加，其幅度谱主瓣宽度是矩形窗一步增加，其幅度谱主瓣宽度是矩形窗的的3倍倍图7.2.8 布莱克曼窗的四种波形旁瓣进旁瓣进一步减一步减小，
25、但小，但过渡带过渡带变宽变宽6凯塞凯塞贝塞尔窗（贝塞尔窗（Kaiser-BaselWindow）以上五种窗函数都称为参数固定窗函数，每种窗以上五种窗函数都称为参数固定窗函数，每种窗函数的旁瓣幅度都是固定的。凯塞函数的旁瓣幅度都是固定的。凯塞贝塞尔窗是一种贝塞尔窗是一种参数可调的窗函数，是一种最优窗函数。参数可调的窗函数，是一种最优窗函数。（7.2.15）式中式中I0()是零阶第一类修正贝塞尔函数，可用下面级数计算：是零阶第一类修正贝塞尔函数，可用下面级数计算：一般一般I0()取取1525项，便可以满足精度要求。项，便可以满足精度要求。 参数可以参数可以控制窗的形状。一般控制窗的形状。一般 加大
26、，主瓣加宽，旁瓣幅度减小，加大，主瓣加宽，旁瓣幅度减小，典型数据为典型数据为4 9。当。当 =5.44时，窗函数接近哈明窗。时，窗函数接近哈明窗。 =7.865时，窗函数接近布莱克曼窗。在设计指标给定时，时，窗函数接近布莱克曼窗。在设计指标给定时，可以调整可以调整 值，使滤波器阶数最低，所以其性能最优。凯值，使滤波器阶数最低，所以其性能最优。凯塞（塞（Kaiser）给出的估算）给出的估算和滤波器阶数和滤波器阶数N的公式如下的公式如下:（7.2.17） 式中，式中，Bt=|sp|,是数字滤波器过渡带宽度。应当注是数字滤波器过渡带宽度。应当注意，因为式（意，因为式（7.2.17）为阶数估算，所以必
27、须对设计结）为阶数估算，所以必须对设计结果进行检验。另外，凯塞窗函数没有独立控制通带波纹果进行检验。另外，凯塞窗函数没有独立控制通带波纹幅度，实际中通带波纹幅度近似等于阻带波纹幅度。凯幅度，实际中通带波纹幅度近似等于阻带波纹幅度。凯塞窗的幅度函数为塞窗的幅度函数为（7.2.16） （7.2.18）对对 的的8种典型值，将凯塞窗函数的性能列于表种典型值，将凯塞窗函数的性能列于表7.2.1中，中，供设计者参考。由表可见供设计者参考。由表可见,当当 =5.568时时,各项指各项指标都好于哈明窗。标都好于哈明窗。表表7.2.1凯塞窗参数对滤波器的性能影凯塞窗参数对滤波器的性能影表表7.2.26种窗函数
28、的基本参数种窗函数的基本参数7.2.3用窗函数法设计用窗函数法设计FIR滤波器的步骤滤波器的步骤(1)根据对过渡带及阻带衰减的指标要求，选择窗根据对过渡带及阻带衰减的指标要求，选择窗函数的类型，并估计窗口长度函数的类型，并估计窗口长度N。(2)构造希望逼近的频率响应函数构造希望逼近的频率响应函数Hd(ej)，即，即一般取一般取(3)计算计算hd(n)。如果给出待求滤波器的频响函数为如果给出待求滤波器的频响函数为Hd(ej)，那么单位脉冲响应用下式求出：那么单位脉冲响应用下式求出：（7.2.21）如果如果Hd(ej)较复杂，或者不能用封闭公式表示，则不较复杂，或者不能用封闭公式表示，则不能用上式
29、求出能用上式求出hd(n)。可以对。可以对Hd(ej)从从=0到到=2采样采样M点，采样值为点，采样值为，k=0,1,2,M1，进行，进行M点点IDFT(IFFT)，得到：，得到：（7.2.22）根据频域采样理论，根据频域采样理论，hdM(n)与与hd(n)应满足如下关系：应满足如下关系：因此，如果因此，如果M选得较大，可以保证在窗口内选得较大，可以保证在窗口内hdM(n)有效有效逼近逼近hd(n)。对（）式给出的线性相位理想低通滤波器作为对（）式给出的线性相位理想低通滤波器作为Hd(ej)，由（）式求出单位脉冲响应，由（）式求出单位脉冲响应hd(n)：为保证线性相位特性，为保证线性相位特性，
30、 =(N1)/2。(4)加窗得到设计结果：加窗得到设计结果：h(n)=hd(n)w(n)。例例7.2.1 用窗函数法设计线性相位高通用窗函数法设计线性相位高通FIRDF，要求，要求通带截止频率通带截止频率p=/2rad，阻带截止频率，阻带截止频率s=/4rad，通带最大衰减通带最大衰减 p=1dB，阻带最小衰减，阻带最小衰减 s=40dB。解解(1）选择窗函数选择窗函数w(n)，计算窗函数长度，计算窗函数长度N。已知阻带最小衰减已知阻带最小衰减 s=40dB，由表（）可知汉宁窗和，由表（）可知汉宁窗和哈明窗均满足要求，我们选择哈明窗均满足要求，我们选择汉宁窗汉宁窗。过渡带宽度过渡带宽度Btps
31、=/4，汉宁窗的精确过渡带汉宁窗的精确过渡带宽度宽度BtN，所以要求，所以要求BtN/4，解之得，解之得N。对高通滤。对高通滤波器波器N必须取奇数，取必须取奇数，取N=25。（2）构造构造Hd(ej):式中式中（3）求出求出hd(n):将将=12代入得代入得 （4）加窗加窗:全通滤全通滤波器波器理想低通滤理想低通滤波器的单位波器的单位脉冲响应脉冲响应例例7.2.2对模拟信号进行低通滤波处理，要求通带对模拟信号进行低通滤波处理，要求通带0f1.5kHz内衰减小于内衰减小于1dB，阻带阻带kHzf上衰减上衰减大于大于40dB。希望对模拟信号采样后用线性相位。希望对模拟信号采样后用线性相位FIR数字
32、滤数字滤波器实现上述滤波，采样频率波器实现上述滤波，采样频率Fs=10kHz。用窗函数法设。用窗函数法设计满足要求的计满足要求的FIR数字低通滤波器，求出数字低通滤波器，求出h(n)，并画出损，并画出损耗函数曲线。为了降低运算量，希望滤波器阶数尽量低。耗函数曲线。为了降低运算量，希望滤波器阶数尽量低。解解（1）确定相应的数字滤波器指标确定相应的数字滤波器指标:通带截止频率为通带截止频率为 阻带截止频率为阻带截止频率为阻带最小衰减为阻带最小衰减为 s=40dB（2）用窗函数法设计用窗函数法设计FIR数字低通滤波器，为了数字低通滤波器，为了降低阶数选择凯塞窗。根据式（）计算凯塞窗的控制降低阶数选择
33、凯塞窗。根据式（）计算凯塞窗的控制参数为参数为指标要求过渡带宽度指标要求过渡带宽度Bt=sp，根据式（）计算滤波器，根据式（）计算滤波器阶数为阶数为取满足要求的最小整数取满足要求的最小整数M=23。所以。所以h(n)长度为长度为N=M+1=24。但是，如果用汉宁窗，。但是，如果用汉宁窗，h(n)长度为长度为N=40。理想低通滤波器的通带截止频率理想低通滤波器的通带截止频率c=(s+p，所以由式（），所以由式（）和式（）和式（）,得到得到:式中，式中，w(n)是长度为是长度为24（ ）的凯塞窗函数。）的凯塞窗函数。7.3利用频率采样法设计利用频率采样法设计FIR滤波器滤波器1用频率采样法设计滤波
34、器的基本思想用频率采样法设计滤波器的基本思想设希望逼近的滤波器的频响函数设希望逼近的滤波器的频响函数Hd(ej)，对它，对它=0到到2之间等之间等间隔采样间隔采样N点，得到点，得到Hd(k)：再对再对Hd(k)进行进行N点点IDFT，得到，得到h(n)：（）（）h(n)作为所设计的作为所设计的FIR滤波器的单位脉冲响应，其系统函数滤波器的单位脉冲响应，其系统函数H(z)为为（）（）根据根据频率域采样频率域采样理论，利用频率域采样值恢复原信号理论，利用频率域采样值恢复原信号Z变换式，得到变换式，得到H(z)的内插表示形式：的内插表示形式：（）（）此式就是直接利用频率采样值此式就是直接利用频率采样
35、值Hd(k)形成滤波器的系统形成滤波器的系统函数，（）式适合函数，（）式适合FIR直接型网络结构，（）式适合频直接型网络结构，（）式适合频率采样结构。率采样结构。下面讨论两个问题：下面讨论两个问题：一个一个是为了设计线性相位是为了设计线性相位FIR滤滤波器，频域采样序列波器，频域采样序列Hd(k)应满足的条件；应满足的条件；另一个另一个是逼近是逼近误差问题及其改进措施。误差问题及其改进措施。2设计线性相位滤波器时对设计线性相位滤波器时对Hd(k)的约束条件的约束条件FIR滤波器具有线性相位的条件是滤波器具有线性相位的条件是h(n)为实序列，为实序列，且满足且满足h(n)=h(Nn1)，其频响函
36、数应满足的条件是：，其频响函数应满足的条件是：（7.3.5）（7.3.6）(7.3.7)N = 奇数 (7.3.8)N = 偶数 在在=02区间上区间上N个等间隔的采样频点为个等间隔的采样频点为将将=k代入（）代入（）（）式中，并写成（）式中，并写成k的函数：的函数：k = 0，1，2，N 1 （7.3.9）（7.3.10）（7.3.11）N = 奇数 （7.3.12） N = 偶数 Hg(k)关于关于N/2点偶对称点偶对称Hg(k)关于关于N/2点奇对称，且点奇对称，且Hg(N/2)=0 设用理想低通作为希望逼近的滤波器设用理想低通作为希望逼近的滤波器Hd(ej)，截，截止频率为止频率为c，
37、采样点数为，采样点数为N，Hg(k)和和(k)用下列公式计算：用下列公式计算：（7.3.13） N=偶数时，偶数时，N=奇数时，奇数时，kc是通带内最后一是通带内最后一个采样点的序号，个采样点的序号，所以所以kc的值取不大的值取不大于于cN/(2)的的最大整数。对于最大整数。对于高通和带阻滤波高通和带阻滤波器，器，N只能取奇数。只能取奇数。3逼近误差及其改进措施逼近误差及其改进措施时域角度分析：时域角度分析：待逼近的滤波器为待逼近的滤波器为Hd(ej)，对应的单位脉冲响应为，对应的单位脉冲响应为hd(n)，在频域，在频域02范围等间隔采样范围等间隔采样N点，利用点，利用IDFT得到的得到的h(
38、n)应是应是hd(n)以以N为周期的周期延拓的主值区序列，即为周期的周期延拓的主值区序列，即由于时域混叠由于时域混叠及截断，使及截断，使h(n)与与hd(n)有有偏差偏差频域角度分析：频域角度分析：H(ej)=FTh(n)的内插表示形式：的内插表示形式：式中式中在采样频点，在采样频点，(2k/N)=1，因此采样，因此采样点处与点处与H(k)相等，逼近误差为相等，逼近误差为0。在采样点之间，在采样点之间，由由N项项H(k)(2k/N)之和形成。之和形成。图图7.3.1频域幅度采样序列频域幅度采样序列Hg(k)及其内插波形及其内插波形Hg()dg()的误差与的误差与Hdg()特性的平特性的平滑程度
39、有关，滑程度有关，Hdg()特性愈平滑特性愈平滑的区域，误差愈小；特性曲线间断的区域，误差愈小；特性曲线间断点处，误差最大。点处，误差最大。间断点变成倾斜下降的过渡带曲线，间断点变成倾斜下降的过渡带曲线，过渡带宽度近似为过渡带宽度近似为2/N。通带和阻。通带和阻带内产生震荡波纹，且间断点附近带内产生震荡波纹，且间断点附近振荡幅度最大，使阻带衰减减小，振荡幅度最大，使阻带衰减减小，往往不能满足技术要求。往往不能满足技术要求。增加增加N可以使过渡带变窄，但是通可以使过渡带变窄，但是通带最大衰减和阻带最小衰减随带最大衰减和阻带最小衰减随N的的增大并无明显改善。且增大并无明显改善。且N太大，会太大，会
40、增加滤波器的阶数，即增加了运算增加滤波器的阶数，即增加了运算量和成本。量和成本。提高阻带衰减提高阻带衰减的具体方法是在的具体方法是在频响间断点附近区间内插一个频响间断点附近区间内插一个或几个过渡采样点，使不连续或几个过渡采样点，使不连续点变成缓慢过渡带，这样，虽点变成缓慢过渡带，这样，虽然加大了过渡带，但阻带中相然加大了过渡带，但阻带中相邻内插函数的旁瓣正负对消，邻内插函数的旁瓣正负对消，明显增大了阻带衰减。明显增大了阻带衰减。表表7.3.1过渡带采样点的个数过渡带采样点的个数m与滤波器阻带最小衰减与滤波器阻带最小衰减 s的经验数据的经验数据 随着随着m， s明显明显4频率采样法设计步骤频率采
41、样法设计步骤（1）根据阻带最小衰减根据阻带最小衰减 s选择过渡带采样点的个数选择过渡带采样点的个数m。（2）确定过渡带宽度确定过渡带宽度Bt，估算频域采样点数（即滤波器长度），估算频域采样点数（即滤波器长度）N。如果给定过渡带宽度。如果给定过渡带宽度Bt，则要求，则要求(m+1)2/NBt，滤波器，滤波器长度长度N必须满足如下估算公式必须满足如下估算公式:（7.3.15） （3）构造一个希望逼近的频率响应函数构造一个希望逼近的频率响应函数:Hdg()为相应为相应的理想频响特的理想频响特性，且满足表性，且满足表对称性。对称性。（4）按照（）式进行频域采样按照（）式进行频域采样:（7.3.17）
42、（5）对对H(k)进行进行N点点IDFT，得到第一类线性相位，得到第一类线性相位FIR数字滤波器的单位脉冲响应数字滤波器的单位脉冲响应:（6）检验设计结果。如果阻带最小衰减未达到指标要求，检验设计结果。如果阻带最小衰减未达到指标要求，则要改变过渡带采样值，直到满足指标要求为止。如果滤则要改变过渡带采样值，直到满足指标要求为止。如果滤波器边界频率未达到指标要求，则要微调波器边界频率未达到指标要求，则要微调Hdg()的边界的边界频率。频率。窗函数设计法和频率采样法简单方便，易于实现。窗函数设计法和频率采样法简单方便，易于实现。存在以下存在以下缺点缺点:滤波器边界频率不易精确控制。滤波器边界频率不易
43、精确控制。都不能分别控制通带和阻带波纹幅度。都不能分别控制通带和阻带波纹幅度。所设计的滤波器在阻带边界频率附近的衰减最小，距阻所设计的滤波器在阻带边界频率附近的衰减最小，距阻带边界频率越远，衰减越大。这两种设计法存在较大的资带边界频率越远，衰减越大。这两种设计法存在较大的资源浪费。源浪费。7.4利用等波纹最佳逼近法设计利用等波纹最佳逼近法设计FIR数字滤波数字滤波7.4.1等波纹最佳逼近法的基本思想等波纹最佳逼近法的基本思想设希望设计的滤波器幅度响应为设希望设计的滤波器幅度响应为，实际逼近，实际逼近的幅度的幅度响应为响应为，加权误差为，加权误差为，则：，则：准则：准则：选择选择FIR滤波器的单
44、位脉冲响应滤波器的单位脉冲响应h(n)，使得，使得E(w)的的最大绝对值最小最大绝对值最小W()称为误差加权函称为误差加权函数，用来控制不同频数，用来控制不同频段的逼近精度，段的逼近精度，W()取值越大的频段取值越大的频段,逼逼近精度越高近精度越高把数字频段分为把数字频段分为“逼逼近（或研究）区域近（或研究）区域”和和“无关区域无关区域”。逼。逼近区域一般指通带和近区域一般指通带和阻带，而无关区域一阻带，而无关区域一般指过渡带般指过渡带由式（）和（）得到由式（）和（）得到（7.4.2） （7.4.3） （7.4.4） 用等波纹最佳逼近设计法求滤波器阶数用等波纹最佳逼近设计法求滤波器阶数N和误差
45、加权函数和误差加权函数W()时，要求给出滤波器通带和阻带的振荡波纹幅度时，要求给出滤波器通带和阻带的振荡波纹幅度1和和2（7.4.5） 图图7.4.2误差加权函数误差加权函数W()和滤波和滤波器阶数器阶数N对逼近精度的影响对逼近精度的影响当当N一定时，误差加权函一定时，误差加权函数数W()较大的频带逼近较大的频带逼近精度较高，精度较高，W()较小的较小的频带逼近精度较低，如频带逼近精度较低，如果改变果改变W()使通（阻）使通（阻）带逼近精度提高，则必带逼近精度提高，则必然使阻（通）带逼近精然使阻（通）带逼近精度降低。滤波器阶数度降低。滤波器阶数N增增大才能使通带和阻带逼大才能使通带和阻带逼近精度同时提高。近精度同时提高。设计步骤：设计步骤：（1）根据给定的逼近指标估根据给定的逼近指标估算滤波器阶数算滤波器阶数N和误差加权函和误差加权函数数W()；（2）采用采用remez算法得到滤算法得到滤波器单位脉冲响应波器单位脉冲响应h(n)。
