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1、 - -线段和的最小值问题线段和的最小值问题A AB B如如图图，要要在在街街道道旁旁修修建建一一个个奶奶站站P P，向向居居民民区区A A、B B提提供供牛牛奶奶，奶奶站站P P应应建建在在什什么么地地方方，才才能能使使从从A A，B B到到它它的的距距离离之之和最短？为什么？和最短？为什么？街道街道 P PP PA AB BA A P P如如图图，要要在在街街道道旁旁修修建建一一个个奶奶站站P P，向向居居民民区区A A、B B提提供供牛牛奶奶，奶奶站站P P应应建建在在什什么么地地方方，才才能能使使从从A A，B B到到它它的的距距离离之之和最短？为什么？和最短？为什么？街街道道 P P
2、求线段和最小值的一般步骤：求线段和最小值的一般步骤：连结对称点连结对称点A与与B之间的线段，交直线之间的线段，交直线l于点于点P，点点P即为所求的点，线段即为所求的点，线段AB的长就是的长就是AP+BP的最的最小值。小值。选点选点P所在直线所在直线l为对称轴；画出点为对称轴；画出点A的对称点的对称点A； B BA AP PL LA A基本图形基本图形:两点一线两点一线B BB BP PL LA A基本解法基本解法:利用对称性利用对称性,将将“折折”转转“直直”1 1、如图，正方形、如图，正方形ABCDABCD的边长为的边长为2 2，E E为为ABAB的中点，的中点，P P是是ACAC上一动上一
3、动点连结点连结BDBD，由正方形对称性可知，由正方形对称性可知，B B与与D D关于直线关于直线ACAC称连称连结结EDED交交ACAC于于P P，则，则PB+PEPB+PE的最小值等于线段的最小值等于线段_ 的长度，的长度，最小值等于最小值等于_；2、小聪根据实际情况，以街道旁为、小聪根据实际情况，以街道旁为x轴，建立了如图轴，建立了如图1所示的所示的平面直角坐标系，测得平面直角坐标系，测得A点的坐标为（点的坐标为（0，3），），B点的坐标为点的坐标为（6，5），求从），求从A、B两点到奶站两点到奶站P距离之和的最小值。距离之和的最小值。练习练习APCBAEPDCDE5出题背景变式有出题背景
4、变式有：角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。坐标轴、抛物线等。解题思路解题思路：找点关于线的对称点，实现找点关于线的对称点，实现“折折”转转“直直”。变式变式1 1（2008 2008 年湖北荆门市中考题）年湖北荆门市中考题） 如图，菱形如图，菱形ABCDABCD 的两条对角线分别长的两条对角线分别长6 6 和和8 8，点点P P是对角线是对角线AC AC 上的一个动点，点上的一个动点，点M M、N N 分别是分别是边边ABAB、BCBC 的中点，则的中点，则PMPM+ +PNPN 的最小值是的最小值是_A AD DC CB B
5、M MN NP PM MP P5 5练习练习 (2011 (2011广西广西试题改编）试题改编） 如图所示，在边长为如图所示，在边长为2 2的正三角形的正三角形ABCABC中，中，E E、F F、G G分分别为别为ABAB、ACAC、BCBC的中点，点的中点，点P P线段线段EFEF上一个动点，连上一个动点，连接接BPBP、GPGP，则，则（1 1）PB+PGPB+PG的最小值是的最小值是 （2 2）BPGBPG周长的最小值是周长的最小值是 。 F FE EP PG GC CB BA AP P32变式变式2 2如图，在直角坐标系中，点如图，在直角坐标系中，点A A的坐标是（的坐标是（2,42,
6、4），点），点B B的坐标是（的坐标是（6,26,2），在），在y y轴和轴和x x轴上找两点轴上找两点P P、Q Q，使得，使得A A，B B，P P，Q Q四点组成的四边形周长最小，请画出示意图，四点组成的四边形周长最小，请画出示意图，并求出并求出P P、Q Q两点的坐标。两点的坐标。B BA AP PQ Q.PQ.课堂小结课堂小结不管在什么背景下，有关线段之和最短问题，不管在什么背景下，有关线段之和最短问题，总是化归到总是化归到“两点之间的所有连线中，线段最短两点之间的所有连线中，线段最短”，而转化的方法大都是借助于，而转化的方法大都是借助于“轴对称点轴对称点”，实现实现“折折”转转“直
7、直”本节课我们学习了本节课我们学习了 问题，问题，这类问题的解题方法是怎样的？这类问题的解题方法是怎样的？线段和的最小值线段和的最小值数学思想：转化思想数学思想：转化思想练习、练习、(2010东营东营) )如图，已知二次函数如图，已知二次函数y=axy=ax2 2-4x+c-4x+c的图象与坐标轴交于点的图象与坐标轴交于点A A（-1-1， 0 0）和点）和点B B（0 0，-5-5）（1 1）求该二次函数的解析式；）求该二次函数的解析式；（2 2）已知该函数图象的对称轴上存在一点）已知该函数图象的对称轴上存在一点P P，使得使得ABPABP的周长最小请求出点的周长最小请求出点P P的坐标的坐
8、标xOAByBP2 2、已知：如图，、已知：如图，ABAB是是O O的直径，的直径，AB=4AB=4，点，点C C是半圆的三等份点，点是半圆的三等份点，点D D是弧是弧BCBC的中点，的中点，ABAB上上有一动点有一动点P P，连接，连接PCPC，PDPD，则，则PC+PDPC+PD的最小值是的最小值是多少？并画出点多少？并画出点P P的位置的位置. . ABCOPDDP2 2、(2009(2009年鄂州年鄂州) )已知直角梯形已知直角梯形ABCDABCD中，中，ADADBCBC，ABABBCBC，ADAD=2=2，BCBC= =DCDC=5=5，点，点P P在在BCBC上移动，则当上移动，则
9、当PAPA+ +PDPD取取最小值时，最小值时，APDAPD中边中边APAP上的高为（上的高为（ ）A A、 B、 C C、 D D、3 3APDBC.DOxyBEPAC4.4.如图，抛物线如图，抛物线y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的顶点的顶点P P的坐标为的坐标为，交，交x x轴于轴于A A、B B两点，交两点，交y y轴于点轴于点（1 1）求抛物线的解析式）求抛物线的解析式（2 2）把）把ABCABC绕绕ABAB的中点的中点E E旋转旋转180180，得到四边形，得到四边形ADBCADBC判断四边形判断四边形ADBCADBC的形状，并说明理由的形状，并说明理由（3 3）试问在线段）试问在线段ACAC上是否存在一点上是否存在一点F F，使得，使得FBDFBD的周长最小，的周长最小，若存在，请写出点若存在，请写出点F F的坐标；若不存在，请说明理由的坐标；若不存在，请说明理由拓展拓展（20122012台州市中考题）台州市中考题）如如图，菱形，菱形ABCD中，中，AB=2，A=120，点，点P，Q，K分别为线段分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则上的任意一点，则PK+QKPK+QK的最小的最小值为（值为（ ）A、1 B、 C、 2 D、+1A AQ QB BP PK KC CD DP PQ QK KBEPQ5
