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1、3.2.1刚体定轴转动的转动定律刚体定轴转动的转动定律1 .力矩力矩3.2 3.2 刚体定轴转动的动力学刚体定轴转动的动力学v力力改变质点的运动状态改变质点的运动状态质点获得加速度质点获得加速度v力矩力矩改变刚体的转动状态改变刚体的转动状态 刚体获得角加速度刚体获得角加速度1)力力 F 对对z 轴的力矩轴的力矩hA ( (力不在垂直于轴的平面内力不在垂直于轴的平面内) ).2)2)力对点的力矩力对点的力矩O .大小大小 指向由右螺旋法则确定指向由右螺旋法则确定r力对定轴力矩的矢量形式力对定轴力矩的矢量形式（力对轴的力矩只有两个指向）（力对轴的力矩只有两个指向）A.2. 刚体定轴转动的转动定律刚
2、体定轴转动的转动定律第第 k个质元个质元切线方向切线方向在上式两边同乘以在上式两边同乘以 rk对所有质元求和对所有质元求和fk内力矩之和为内力矩之和为0 0转动惯量转动惯量 J Jrk刚体绕定轴转动微分方程刚体的转动定律）刚体绕定轴转动微分方程刚体的转动定律）r与牛顿第二定律比较：与牛顿第二定律比较：.3. 转动惯量转动惯量定义定义质量不连续分布质量不连续分布r质量连续分布质量连续分布v确定转动惯量的三个要素确定转动惯量的三个要素:(1):(1)总质量总质量 (2) (2)质量分布质量分布 (3) (3)转轴的位置转轴的位置r J 与刚体的总质量有关与刚体的总质量有关例如等长的细木棒和细铁棒绕
3、端点轴转动惯量例如等长的细木棒和细铁棒绕端点轴转动惯量LzOxdxM.r J 与质量分布有关与质量分布有关例如圆环绕中心轴旋转的转动惯量例如圆环绕中心轴旋转的转动惯量例如圆盘绕中心轴旋转的转动惯量例如圆盘绕中心轴旋转的转动惯量dlOmROmrdrR.OLxdxMzLOxdxMr 平行轴定理及垂直轴定理平行轴定理及垂直轴定理zLCMzzr J 与转轴的位置有关与转轴的位置有关 刚体绕任意轴的转动惯量刚体绕任意轴的转动惯量 刚体绕通过质心的轴刚体绕通过质心的轴 两轴间垂直距离两轴间垂直距离.(1) 飞轮的角加速度飞轮的角加速度(2) 如以重量如以重量P =98 N的物体挂在的物体挂在绳端，试计算飞
4、轮的角加速绳端，试计算飞轮的角加速解解 (1)(2)两者区别两者区别4. 转动定律的应用举例转动定律的应用举例例例求求一轻绳绕在半径一轻绳绕在半径 r =20 cm 的飞轮边缘，在绳端施以的飞轮边缘，在绳端施以F=98 N 的拉力，飞轮的转动惯量的拉力，飞轮的转动惯量 J=0.5 kgm2，飞轮与转轴间的摩，飞轮与转轴间的摩擦不计，擦不计， (见图见图).一定滑轮的质量为一定滑轮的质量为 m ，半径为，半径为 r ，不能伸长的轻绳两边分别，不能伸长的轻绳两边分别系系 m1 和和 m2 的物体挂于滑轮上，绳与滑轮间无相对滑动。的物体挂于滑轮上，绳与滑轮间无相对滑动。（设轮轴光滑无摩擦，滑轮的初角
5、速度为零）（设轮轴光滑无摩擦，滑轮的初角速度为零）例例求求 滑轮转动角速度随时间变化的规律。滑轮转动角速度随时间变化的规律。解解 以以m1 m1 ， m2 m2 ， m m 为研究对象为研究对象, , 受力分受力分析析滑轮滑轮 m：物体物体 m1：物体物体 m2：.3.2.2 刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理1. 刚体定轴转动的动能刚体定轴转动的动能z O的动能为的动能为刚体的总动能刚体的总动能P绕定轴转动刚体的动能等于刚体对转轴的转动惯量与其绕定轴转动刚体的动能等于刚体对转轴的转动惯量与其角速度平方乘积的一半角速度平方乘积的一半r结论结论.2. 刚体定轴转动时力矩的所做的功刚体定
6、轴转动时力矩的所做的功O 根据功的定义根据功的定义（力矩做功的微分形式）（力矩做功的微分形式）对一有限过程对一有限过程假设假设 M = C力的累积过程力的累积过程力矩的空间累积效应力矩的空间累积效应.P.3. 刚体定轴转动动能定理刚体定轴转动动能定理对于一有限过程对于一有限过程绕定轴转动刚体在任一过程中动能的增量，等于在该过程中作用在刚体绕定轴转动刚体在任一过程中动能的增量，等于在该过程中作用在刚体上所有外力所作功的总和。这就是绕定轴转动刚体的上所有外力所作功的总和。这就是绕定轴转动刚体的动能定理动能定理(2) 力矩的功就是力的功。力矩的功就是力的功。(3) 内力矩作功之和为零。内力矩作功之和
7、为零。r 讨论讨论(1) 合力矩的功合力矩的功.例例 一根长为一根长为 l ，质量为，质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直平在竖直平 面内转动，初始时它在水平位置面内转动，初始时它在水平位置解解由动能定理由动能定理求求 它由此下摆它由此下摆 角时的角时的 此题也可用机械能守恒定律方便求解此题也可用机械能守恒定律方便求解OlmCx.1. 质点动量矩质点动量矩 (角动量角动量)定理和动量矩守恒定律定理和动量矩守恒定律1)质点的动量矩质点的动量矩(对对O点点)其大小其大小质点的动量矩与质点的动量及位矢质点的动量矩与质点的动量及位矢(取决于固定点的选择取决于固定点的选择)有
8、有关关特例：质点作圆周运动特例：质点作圆周运动3.2.3 刚体定轴转动的角动量守恒定律刚体定轴转动的角动量守恒定律O S惯性参照系惯性参照系.例例 一质点一质点m，速度为，速度为v，如下图，如下图，A、B、C 分别为三个参考点分别为三个参考点,此时此时m 相对三个点的距离分别为相对三个点的距离分别为d1 、d2 、 d3求求 此时刻质点对三个参考点的动量矩此时刻质点对三个参考点的动量矩md1d2 d3ABC解解.(质点动量矩定理的积分形式质点动量矩定理的积分形式)(质点动量矩定理的微分形式质点动量矩定理的微分形式)2)质点的动量矩定理质点的动量矩定理质点所受合力矩的冲量矩等于质点的动量矩的增量
9、质点所受合力矩的冲量矩等于质点的动量矩的增量r 说明说明冲量矩是质点动量矩变化的原因冲量矩是质点动量矩变化的原因质点动量矩的变化是力矩对时间的积累结果质点动量矩的变化是力矩对时间的积累结果.3)质点动量矩守恒定律质点动量矩守恒定律质点动量矩守恒质点动量矩守恒(1) (1) 守恒条件守恒条件(2) 有心力的动量矩守恒。有心力的动量矩守恒。讨论讨论M Omv1mv2应用举例：应用举例： 行星运动的开普勒第二定律行星运动的开普勒第二定律行星对太阳的位矢在相等的时间内扫过相等的面积行星对太阳的位矢在相等的时间内扫过相等的面积M M.当飞船静止于空间距行星中心当飞船静止于空间距行星中心 4 R 时，以速
10、度时，以速度v 0发射一发射一 求求 角及着陆滑行时的速度多大？角及着陆滑行时的速度多大？解解 引力场有心力）引力场有心力）质点的动量矩守恒质点的动量矩守恒系统的机械能守恒系统的机械能守恒例例 发射一宇宙飞船去考察一发射一宇宙飞船去考察一 质量为质量为 M 、半径为、半径为 R 的行星的行星.质量为质量为 m 的仪器。要使该仪器恰好掠过行星表面的仪器。要使该仪器恰好掠过行星表面. 3.2.4 刚体绕定轴转动情况下的动量矩定理和动量矩守恒定律刚体绕定轴转动情况下的动量矩定理和动量矩守恒定律1. 刚体定轴转动的动量矩刚体定轴转动的动量矩 O质点对质点对 Z 轴的动量矩轴的动量矩 O刚体上任一质点对
11、刚体上任一质点对 Z 轴的动量矩为轴的动量矩为且刚体上任一质点对且刚体上任一质点对 Z 轴的动量矩轴的动量矩具有相同的方向具有相同的方向(所有质元对所有质元对 Z 轴的动量矩之轴的动量矩之和和).2. 刚体定轴转动的动量矩定理刚体定轴转动的动量矩定理对定轴转动刚体，对定轴转动刚体，Jz 为常量。为常量。（动量矩定理积分形式）（动量矩定理积分形式）定轴转动刚体所受合外力矩的冲量矩等于其动量矩的增量定轴转动刚体所受合外力矩的冲量矩等于其动量矩的增量3. 刚体定轴转动的动量矩守恒定律刚体定轴转动的动量矩守恒定律对定轴转动刚体对定轴转动刚体动量矩定理动量矩定理微分形式微分形式.变形体绕某轴转动时，假设
12、变形体绕某轴转动时，假设r 说明说明mk则变形体对该轴的动量矩则变形体对该轴的动量矩动量矩守恒举例动量矩守恒举例探究问题探究问题: :为跳水为跳水 芭蕾舞芭蕾舞 花样滑冰项目写一篇技术报告花样滑冰项目写一篇技术报告.例例 一均质棒，长度为一均质棒，长度为 L，质量为，质量为M，现有一子弹在距轴为，现有一子弹在距轴为 y 处水平射入细棒，子弹的质量为处水平射入细棒，子弹的质量为 m ,速度为速度为 v0 。求求 子弹细棒共同的角速度子弹细棒共同的角速度 。解解其中其中mr探究讨论探究讨论子弹、细棒系统的动量矩守恒子弹、细棒系统的动量矩守恒 角动量守恒定律在生产和生角动量守恒定律在生产和生活中的应用活中的应用.
