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1、12.3空间中的垂直关系空间中的垂直关系第一课时线线垂直、线面垂直第一课时线线垂直、线面垂直学习目标学习目标学习目标学习目标1.理理解解线线线线垂垂直直、线线面面垂垂直直的的概概念念并并能能画画出出它它们们的直观图的直观图2掌掌握握线线线线垂垂直直、线线面面垂垂直直的的判判定定定定理理，并并能能作作出正确的判定，会求其距离出正确的判定，会求其距离3掌掌握握线线面面垂垂直直的的性性质质定定理理，并并能能应应用用该该定定理理证证明空间位置关系明空间位置关系 课堂互动讲练课堂互动讲练知能优化训练知能优化训练第一课时第一课时课前自主学案课前自主学案课前自主学案课前自主学案温故夯基温故夯基温故夯基温故夯
2、基初初中中我我们们是是这这样样定定义义垂垂直直的的：如如果果两两条条相相交交直直线线所成的角是所成的角是_，则称这两条直线互相垂直，则称这两条直线互相垂直直角直角知新益能知新益能知新益能知新益能1直线与直线的垂直直线与直线的垂直两两条条直直线线垂垂直直的的定定义义：如如果果两两条条直直线线_或或_，并并且且交交角角为为直直角角，则则称这两条直线互相垂直称这两条直线互相垂直2直线与平面垂直直线与平面垂直(1)直线与平面垂直的定义：如果一条直线和一个平直线与平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面相交于点面相交于点O，并且和这个平面内过交点，并且和这个平面内过交点O的任何直的任何直线都垂直，则称这条
3、直线和这个平面垂直线都垂直，则称这条直线和这个平面垂直相交于一点相交于一点经过平移后相交于一点经过平移后相交于一点这这条条直直线线叫叫做做平平面面的的_，这这个个平平面面叫叫做做这这条条直直线线的的_，交交点点叫叫做做_，垂垂线线上上任任意意一一点点到到垂垂足足间间的的线线段段，叫叫做做这这个个点点到到这这个个平平面面的的_，垂线段的长度叫做这个，垂线段的长度叫做这个_(2)直直线线和和平平面面垂垂直直的的判判定定定定理理：如如果果一一条条直直线线与与一一个个平平面面内内的的两两条条相相交交直直线线都都垂垂直直，那那么么这这条条直直线线就就垂垂直直于于这这个个平平面面. (简简而而言言之之：线
4、线线线垂垂直直，则则线线面面垂垂直直)(3)推推论论：如如果果两两条条平平行行直直线线中中的的一一条条垂垂直直于于一一个个平平面，那么另一条也垂直于这一平面面，那么另一条也垂直于这一平面垂线垂线垂面垂面垂足垂足垂线段垂线段点到点到平面的距离平面的距离垂直于同一条直线的两条直线平行吗？垂直于同一条直线的两条直线平行吗？提示：提示：不一定不一定平行、相交、异面都有可能平行、相交、异面都有可能3直线与平面垂直的性质直线与平面垂直的性质(1)由由直直线线和和平平面面垂垂直直的的定定义义知知，直直线线与与平平面面内内的的_都都垂垂直直，除除此此以以外外还还有有性性质质定定理理(2)垂直于垂直于_的两条直
5、线平行的两条直线平行垂直于垂直于_的两个平面平行的两个平面平行思考感悟思考感悟所有直线所有直线同一个平面同一个平面同一条直线同一条直线课堂互动讲练课堂互动讲练考点突破考点突破考点突破考点突破考点一考点一线面垂直的判定线面垂直的判定关键证明线垂直于平面内的两条相交直线关键证明线垂直于平面内的两条相交直线 如如图图，在在正正方方体体ABCDA1B1C1D1中中，G为为CC1的中点，的中点，O为底面为底面ABCD的中心的中心求证：求证：A1O平面平面GBD.【分析分析】要证明线面垂直，可在平面要证明线面垂直，可在平面GBD内找内找两条相交直线与两条相交直线与A1O垂直垂直例例例例1 1【点点评评】把
6、把线线面面垂垂直直的的证证明明，转转化化为为线线线线垂垂直直，其中勾股定理是证明线线垂直的重要方法其中勾股定理是证明线线垂直的重要方法跟跟踪踪训训练练1正正方方体体A1B1C1D1ABCD中中，E、F分分别别是是棱棱AB、BC的的中中点点，O是是下下底底面面ABCD的的中中心心，求证：求证：EF平面平面BB1O.证证明明：如如图图所所示示，连连接接AC，BD，则则O为为AC和和BD的交点的交点ABCD是正方形，是正方形，ACBO.又又B1B面面ABCD，AC面面ABCD，BB1AC.又又BOBB1B，AC面面BB1O.又又E、F分别是分别是AB、BC的中点，的中点，在在ABC中，中，EFAC.
7、EF平面平面BB1O.主要依据线面垂直的定义及性质定理主要依据线面垂直的定义及性质定理考点二考点二线面垂直的性质的应用线面垂直的性质的应用例例例例2 2如如图图，已已知知矩矩形形ABCD，过过A作作SA平平面面AC，再过，再过A作作AESB于点于点E，过，过E作作EFSC于点于点F.(1)求证：求证：AFSC；(2)若平面若平面AEF交交SD于点于点G，求证：，求证：AGSD.【分分析析】本本题题是是证证线线线线垂垂直直问问题题，可可通通过过证证线线面面垂垂直直来来证证明明结结合合图图欲欲证证AFSC，只只需需证证SC垂垂直直于于AF所所在在的的平平面面，即即SC平平面面AEF.由由已已知知，
8、欲欲证证SC平平面面AEF，只只需需证证AE垂垂直直于于SC所所在在平平面面，即即AE平平面面SBC；再再由由已已知知只只需需证证AEBC，而而要要证证AEBC，只只需需证证BC平平面面SAB，而而这这可可由由已已知知得证得证【证明证明】(1)SA平面平面AC，BC平面平面AC，SABC，四边形四边形ABCD为矩形，为矩形，ABBC.BC平面平面SAB，BCAE.又又SBAE，AE平面平面SBC，AESC.又又EFSC，SC平面平面AEF.AFSC.(2)SA平面平面AC，SADC.又又ADDC，DC平面平面SAD.DCAG.又由又由(1)有有SC平面平面AEF，AG面面AEF，SCAG，AG
9、平面平面SDC，AGSD.跟踪训练跟踪训练2已知已知AA，AA.求证：求证：.证证明明：如如图图所所示示，设设经经过过直直线线AA的的两两个个平平面面，分分别别与与平平面面，相相交交于于直直线线 a a，b和和a，b，因为因为AA，AA，所以，所以AAa，AAa，AA，a，a都在平面都在平面内，内，所以所以aa，所以，所以a.同理同理b.又又abA，所以，所以.先利用定义找出或作出垂线段，在直角三角形先利用定义找出或作出垂线段，在直角三角形中求出该线段长中求出该线段长考点三考点三点到平面的距离点到平面的距离例例例例3 3已已知知P为为ABC外外一一点点，PA、PB、PC两两两两垂垂直直，PAP
10、BPCa，求求P点点到到平平面面ABC的的距距离离【分分析析】欲欲求求点点到到平平面面的的距距离离，可可先先过过点点作作平平面的垂线，进一步求出垂线段的长面的垂线，进一步求出垂线段的长【解解】过过P作作PO平平面面ABC于于O点点，连连接接AO、BO、CO，POOA，POOB，POOC.PAPBPCa，PAOPBOPCO.OAOBOC，O为为ABC的外心的外心PA、PB、PC两两垂直，两两垂直，【点评点评】求点到平面距离的基本程序是：求点到平面距离的基本程序是：首先，找到或作出要求的距离；首先，找到或作出要求的距离；然后，使所求距离在某一个三角形中；然后，使所求距离在某一个三角形中；最最后后，
11、在在三三角角形形中中根根据据三三角角形形的的边边角角关关系系求求出出距离距离在平行线上寻找合适的点，转化为点到平面在平行线上寻找合适的点，转化为点到平面的距离的距离考点四考点四平行线到平面的距离平行线到平面的距离 已已知知长长方方体体ABCDA1B1C1D1中中，棱棱AA15，AB12，求求直直线线B1C1到到平平面面A1BCD1的的距距离离【分分析析】应应先先证证出出B1C1与与平平面面A1BCD1平平行行，然后再转化求出距离然后再转化求出距离例例例例4 4【解解】B1C1BC，B1C1 平面平面A1BCD1，BC平面平面A1BCD1，B1C1平面平面A1BCD1，故点故点B1到平面到平面A
12、1BCD1的距离即为所求的距离即为所求【点点评评】只只有有当当直直线线平平行行于于平平面面时时，才才存存在在直直线线到到平平面面的的距距离离，关关键键是是先先判判断断直直线线和和平平面面平平行行，再再将将线线面面距距离离转转化化为为点点面面距距离离，进进而而转转化化为为点点线线距距离离，最最后后通通过过解解三三角角形形求求解解，这这种种转转化化的的思思想想非常重要非常重要解：解：(1)ABCD和和CDEF为矩形，为矩形，CDDE，ABDE.又又ABAD，AB平面平面AED，BA的长即为所求距离，的长即为所求距离，因此点因此点B到平面到平面AED的距离为的距离为2.方法感悟方法感悟方法感悟方法感
13、悟1直线与直线垂直直线与直线垂直如如果果两两条条直直线线相相交交于于一一点点或或经经过过平平移移后后相相交交于于一一点点，并且交角为直角，则称这两条直线互相垂直并且交角为直角，则称这两条直线互相垂直两条直线垂直包括相交垂直和异面垂直两条直线垂直包括相交垂直和异面垂直2直线和平面垂直直线和平面垂直(1)直线与平面垂直的定义，应注意：直线与平面垂直的定义，应注意：定义中的定义中的“任何直线任何直线”这一条件，这一条件，直线与平面垂直是相交中直线与平面垂直是相交中的特殊情况，的特殊情况，利用定义可得直线和平面垂直则直利用定义可得直线和平面垂直则直线与平面内的所有直线垂直线与平面内的所有直线垂直(2)
14、判定定理判定定理直线与平面垂直应注意两点：直线与平面垂直应注意两点：定理中的条件，是定理中的条件，是“平面内的两条相交直线平面内的两条相交直线”既既不能说是不能说是“两条直线两条直线”，也不能说，也不能说“无数条直线无数条直线”应用定理的关键是在平面内，找到两条相交直应用定理的关键是在平面内，找到两条相交直线与已知直线垂直线与已知直线垂直(3)推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面此推平面，那么另一条直线也垂直于这个平面此推论也是判定直线与平面垂直的方法论也是判定直线与平面垂直的方法(4)垂直于同一平面的两条直线平行；垂直于同一垂直于同一平面的两条直线平行；垂直于同一直线的两个平面平行直线的两个平面平行3线面垂直、线线垂直的证明方法线面垂直、线线垂直的证明方法(1)线面垂直的证明方法：线面垂直的证明方法：定义法；定义法；判定定理法；判定定理法；判定定理的推论判定定理的推论(2)线线垂直的证明方法：线线垂直的证明方法：定义法；定义法；线面垂直线面垂直的性质的性质(3)线线垂直与线面垂直可相互转化线线垂直与线面垂直可相互转化
